湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二下学期第一次模块检测数学试题含答案.pdf

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1、长郡中学长郡中学 20222023 学年度高二第二学期第一次模块检测学年度高二第二学期第一次模块检测数学数学得分：_本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 8 页时量 120 分钟满分 150 分第第卷卷一、选择题一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1集合3,2aA，,Ba b，若 2AB，则AB（）A1,2,3B0,1,3C0,1,2,3D1,2,3,42已知随机变量 X 服从正态分布23,N，且40.84P X，则24PX（）A0.16B0.32C0.68D0.843已知 m，n 为常数，则“2xmyn

2、”是“224xmyn”的（）条件A充要B必要不充分C充分不必要D既不充分也不必要4已知0 x，0y，且40 xyxy，若不等式axy恒成立，则 a 的取值范围是（）A,6B,7C,8D,95若0 x，0y，则下列不等式一定成立的是（）A222xyxB1222log1xyxC222yxxD1222log1yxx6已知函数 1f xxaxb为偶函数，且在0,上单调递增，则 0f x 的解集为（）A,10,1 B,11,C1,1D1,01,7已知 x，y 的对应值表为：x013456y1y2y3y4y5y6y且 x，y 线性相关，由于表格污损，y 的对应值看不到了，若6119.2iiy，且线性回归直

3、线方程为0.6yxa，则8x 时，y 的预报值为（）A6.1B22.1C12.6D3.58设2log 3a，3log 4b，5log 8c，则（）AbacBabcCcbaDbca二、选择题二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）9已知0a，0b，且21ab，则（）A2abB1222abC22loglog1ab D21ab 10乒乓球（table tennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”某次比赛采

4、用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响假设甲在任一局赢球的概率为01pp，实际比赛局数的期望值记为 fp，下列说法正确的是（）A三局就结束比赛的概率为331ppB fp的常数项为 3C函数 fp在10,2上单调递减D13328f11设随机变量 X 表示从 1 到 n 这 n 个整数中随机抽取的一个整数，随机变量 Y 表示从 1 到 X 这 X 个整数中随机抽取的一个整数，记,P Xa Yb表示Xa，Yb同时发生的概率，则（）A当3n 时，12,13P XYB当4n 时，5424P XYC当2nk

5、kkN且时，21,1P Xk YkD当2n 时，Y 的均值为5412设函数 25422xxf x，对于给定的正数 K，定义函数 ,gf xf xKfxK f xK，若对于函数 25422xxf x定义域内的任意 x，恒有 gfxf x，则 K 的值可以是（）A12B23C2D2 2第第卷卷三、填空题三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知0a，0b，若341loglog2ab，则ab_14小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了衡山、大围山、岳麓山、君山四个景点的旅游，且每人只参加了其中一个景点的旅游，记事件 A 为“4 个人去的景点互不相同”，事件 B 为“只有

6、小赵去了衡山景点”，则P A B _15有如下四个命题：甲乙两组数据分别为甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；乙：29，34，35，48，42，46，55，53，55，67则甲乙的中位数分别为 45 和 44相关系数0.83r ，表明两个变量的相关性较弱若由一个2 2列联表中的数据计算得2的观测值约为 4.103，则认为两个变量有关，此推断犯错误的概率不超过 0.05（参考第 16 题附表）用最小二乘法求出一组数据,1,2,iix yinL的回归直线方程ybxa后要进行残差分析，相应数据,1,2,iix yinL的残差是指iiieybxa以上命题错误的序号是_16某校团委

7、对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的45，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的35若根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则被调查的学生中男生可能有_人（请将所有可能的结果都填在横线上）附表：22n adbcabcdacbd，其中nabcd 0.0500.010 x3.8416.635四、解答题四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分 10 分）集合513Axx，2220Bxaxab xb（1）用区间

8、表示集合 A；（2）若0a，0b，ABA，求 a，b 的取值范围18（本小题满分 12 分）已知定义域为 R 的函数 1222xxbf x是奇函数（1）求 b 的值；（2）若对任意的tR，不等式22220f ttftk恒成立，求 k 的取值范围19（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，侧棱PD 矩形ABCD，且PDCD，过棱PC的中点 E，作EFPB交PB于点 F，连接DE，DF，BD，BE（1）证明：PBDF；（2）若1PD，平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为3，求三棱锥PDEF的体积20（本小题满分 12 分）某互联网公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集了近 6

9、 个月广告投入量 x（单位：万元）和收益 y（单位：万元）的数据如表：月份123456广告投入量24681012收益14.2120.3131.831.1837.8344.67他们分别用两种模型ybxa，bxae分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值xy61iiix y621iix7301464.24364（1）根据残差图，比较模型，的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由（2）残差绝对值大于 2 的数据被认为是异常数据，需要剔除（）剔除异常数据后求出（1）中所选模型的回归方程；（）当广告投入量18x 时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？附：对于一

10、组数据11,x y，22,xy，,nnxy，其回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnx，aybx21（本小题满分 12 分）为弘扬中华传统文化，吸收前人在修身、处世、治国、理政等方面的智慧和经验，养浩然正气，塑高尚人格，不断提高学生的人文素质和精神境界，某校举行传统文化知识竞赛活动竞赛共有“儒”和“道”两类题，每类各 5 题其中每答对 1 题“儒”题得 10 分，答错得 0 分；每答对 1 题“道”题得 20 分，答错扣 5 分每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出 4 题回答（每个题抽后不放回），要求“道”题

11、中至少抽 2 题作答已知小明同学“儒”题中有 4 题会作答，答对各个“道”题的概率均为25（1）若小明同学在“儒”题中只抽 1 题作答，求他在这次竞赛中得分为 35 分的概率；（2）若小明同学第 1 题是从“儒”题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，应从“道”题中抽取几道题作答？22（本小题满分 12 分）已知函数 2lnf xxxaxx aR（1）证明：曲线 yf x在点 1,1f处的切线 l 恒过定点；（2）若 f x有两个零点1x，2x，且212xx，证明：22124xxe长郡中学长郡中学 20222023 学年度高二第二学期第一次模块检测学年度高二第二学期第一次模块检测数学参考答案

12、数学参考答案一、二、选择题一、二、选择题题号123456789101112答案ACCDBCADABDABDBCDAB6C【解析】函数 1f xxaxb为偶函数，且有 10f，10f，0ab，即ab，函数 11f xa xx，又 f x在0,上单调递增，0a，抛物线的开口向上，则 0f x 的解集为1,17A【解析】由表格知，196x，6119.2iiy，3.2y，代入0.6yxa得：193.20.66a，1.3a，则回归方程为0.61.3yx，当8x 时，0.6 8 1.36.1y 8D【解析】因为3lg42lg2log 4lg3lg3b，5lg83lg2log 8lg5lg5c，则2lg23

13、lg22lg2 lg53lg2 lg3lg3lg5lg3 lg5bclg2 2lg5 3lg3lg2 lg25lg270lg3 lg5lg3 lg5，所以bc，又因为3255553log 5log 8log125log 52，所以312c，又由322223log 3log8log 22a，所以32a，所以bca9ABD【解析】22aba b，222 abab，22ab，2ab，故 A 正确；0a，0b，且21ab，01a，01b，11ab，1222ab，故 B 正确；21abb ，故 D 正确；212aba b，12a b，222logloglog1aba b，故 C 错误10ABD【解析】设

14、实际比赛局数为 x，则331P xpp，313133411P xC ppC pp，222451P xC pp，因此三局就结束比赛的概率为331pp，则 A 正确；323131223343141151fpppC ppC ppC pp 432612333pppp，由 03f，则常数项为 3，则 B 正确；由13328f，则 D 正确；由 3222436633 21441fppppppp，01p，24410pp，令 0fp，则102p；令 0fp，则112p，则函数 fp在10,2上单调递增，在1,12上单调递减，则 C 不正确11BCD【解析】对于 A，当3n 时，123P X，1122P YX，

15、则1112,1212326P XYP XP YX，选项 A 错误；对于 B，当4n 时，由4XY，XY，可得3X，1Y 或2X，2Y，所以1111543,12,2434224P XYP XYP XY，选项 B 正确；对于 C，当2nk kkN且，1P Xkk，11P Yxkk，则21,1P Xk Yk，选项 C 正确；对于 D，当2n 时，Y 的可能取值为 1，2，则111311,12,112224P YP XYP XY，11122,2224P YP XY，则 Y 的均值为31512444，选项 D 正确故选 BCD12AB【解析】令2524txx，可得302t，所以122 2t，即 2542

16、2xxf x的最小值为 1，因为 ,gf xf xKfxK f xK，gfxf x，所以对任意的 x 恒有 f xK，即 K 的最大值为 1三、填空题三、填空题13321429151645，50，55，60，65【解析】设男生有 x 人，由题意可得2 2列联表如下，喜欢不喜欢合计男生45x15xx女生35x25xx合计75x35x若认为喜欢网络游戏和性别有关，且该推断犯错误的概率超过 0.01 但不超过 0.05，则23.8416.635224213225555732155xxxxxxxx x x，23.8416.63521x，解得40.369.7x，又 x 为 5 的整数倍，被调查的学生中男

17、生可能人数为 45，50，55，60，65四、解答题四、解答题17【解析】（1）由513x，有203xx，解得2x 或3x，,23,A （5 分）（2）由ABA，有AB，而2220axab xb，可得1 20axxb，又0a，0b，解得2bx 或1xa （7 分）AB，202103ba ，解得13a ，40b，a，b 的取值范围是1,3a ，4,0b （10 分）18【解析】（1）因为定义域为 R 的函数 1222xxbf x是奇函数，所以 1004bf，解得1b，（2 分）经检验，当1b 时，1211 1 2222 12xxxxf x，1 1 21 211 1 22 122 212 12xx

18、xxxxfxf x ，函数为奇函数，所以1b （5 分）（2）因为函数 f x为奇函数且在定义域 R 上单调递减，所以由22220f ttftk可得2222f ttftk，即2222f ttftk，也即2222tttk，所以232ttk（9 分）当13t 时，函数232ytt有最小值为min13y，所以13k （12 分）19【解析】（1）因为PD 矩形ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC 平面PCD而DE 平面PCD，所以BCDE又因为PDCD，点 E 是PC的中点，所以DEPC而PCBCC，所以DE 平面PBC而PB 平面PBC，所以PBDE又

19、PBEF，DEEFE，所以PB 平面DEF所以PBDF得证（6 分）（2）如图，以 D 为原点，射线DA，DC，DP分别为 x，y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系因为1PDDC，设0BC，则0,0,0D，0,0,1P，,1,0B，0,1,0C，,1,1PB，点 E 是PC的中点，所以1 10,2 2E，由PD 平面ABCD，所以0,0,1DP 是平面ABCD的一个法向量；由（1）知，PB 平面DEF，所以,1,1BP 是平面DEF的一个法向量若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为3，则211cos322BP DPBPDP ，解得2（9 分）所以2PB，1124PFPB，所以11111

20、2124432248P DEFFDEPB DEPVVV （12 分）20【解析】（1）选择模型，因为模型的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型的带状区域比模型的带状区域窄，所以模型的拟合精度高，回归方程的预报精度高（4 分）（2）（）剔除异常数据，即组号为 3 的数据，剩下数据的平均数为17 667.25x ，130 631.829.645y ；（6 分）5151464.246 31.85 7.2 29.64206.4iiix yxy ，522221536465 7.268.8iixx 所以206.4368.8b，29.643 7.28.04aybx 所以所选模型的回归方程为38.04

21、yx（10 分）（）当广告投入量18x 时，该模型收益的预报值是3 18 8.0462.04万元（12 分）21【解析】（1）记A“小明在竞赛中得 35 分”，则 A 表示“儒”题答错，“道”题 2 对 1 错，所以 22312336555625P AC（5 分）（2）当剩下 3 道题小明选择从“儒”题中抽取 1 题，“道”题中抽取 2 题作答时，设 4 题总得分为 X，此时设“道”题中答对的题数为，则22,5xB，24255E（）“儒”题中的第二题答对时总得分的期望：14420205 22020523055E XEE（）“儒”题中的第二题答错时总得分的期望：24410205 21020522

22、055E XEE，此时小明的总得分期望值333020127.544E X；当剩下 3 道题小明选择都从“道”题中抽取作答时，设答对题数为，4 题总得分为 Y，则23,5B，26355E，（10 分）10205 3255Y，所以 6255255255E YE因为 E XE Y，即小明应从“道”题中抽取 2 道题作答22【解析】（1）ln1 21ln22fxxaxxax ，122fa，又 11fa，曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为1221yaax，即12 12yax，当12x 时，0y，故切线 l 过定点1,02（5 分）（2）1x，2x是 f x的两个零点，且212xx，2111122

23、222ln0ln0 xxaxxxxaxx，可得1122ln1ln1xaxxax ，121221121221ln2ln1ln1lnlnx xxxxxxxxxxx，令210 xttx，21211221ln1 lnln21xxxttxx xxxt，构造函数 1 ln1ttg tt，212ln1tttg tt，（8 分）令 12lnh tttt，则 2210th tt，则 h t在2,上单调递增，而 13222ln22ln2022h，0g t，则 g t在2,上单调递增，23ln2g tg，可得12ln23ln2x x，则1228lnlnx xe，即1228x xe，则22121242xxx xe（12 分）