新高考高二下学期期中考试必刷真题强化训练（广东卷）期中专题02 立体几何大题综合 解析版.pdf

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1、新高考高二下学期期中考试必刷真题强化训练（广东卷）新高考高二下学期期中考试必刷真题强化训练（广东卷）期期中专题中专题 0202 立体几何大题综合立体几何大题综合1（2022 秋广东江门高二台山市第一中学校考期中）如图，在正方体1111ABCDABC D中，E为1BB的中点(1)求证：1BC 平面1ACD；(2)求直线1DC与平面1AD E所成角的余弦值2（2022 秋广东清远高二校联考期中）如图，在棱长为 a 的正方体OABCO A B C 中，,E F分别是棱,AB BC上的动点，且BECF.(1)求证：A FC E；(2)当三棱锥BBEF的体积取得最大值时，求平面EFB与平面BFB的夹角的

2、正切值.3（2022 秋广东肇庆高二校考期中）如图在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，E为11AB的中点，F为AB的中点，H为1DD的中点，K为1BB的中点.(1)求直线1AH到直线KC的距离；(2)求直线FC到平面1AEC的距离.4（2022 秋广东江门高二校考期中）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PDCD，F，G 分别是 PB，AD 的中点(1)求证：FG/平面 PCD；(2)求点 C 到平面 PGB 的距离5（2022 秋广东清远高二校联考期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 为矩形，AB平面 PAD

3、，E 是 AD 的中点，PAD为等腰直角三角形，DPAP，2PAAB=2(1)求证：PEBD；(2)求点 A 到平面 PBE 的距离6（2022 秋广东江门高二新会陈经纶中学校考期中）如图，在直角梯形ABCD中，,=90,ADBCADCAE平面ABCD，EFCD，112BCCDAEEFAD(1)求证：BEAF；(2)在线段BC上是否存在点 M，使平面EMD与平面AMD的夹角的大小为3？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由7（2022 秋广东江门高二台山市第一中学校考期中）如图，边长为 1 的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M、N分别在正方形对角线AC和BF上移

4、动，且(02)CMBNaa(1)求证MN与平面BCE平行；(2)当22a 时，求二面角AMNB的余弦值8（2022 秋广东肇庆高二肇庆市端州中学校考期中）如图在四棱锥PABCD中，侧面PAD 底面ABCD，侧棱2PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，222ADABBC，O为AD的中点(1)求证：PO平面ABCD；(2)求二面角CPDA的正弦值9（2022 秋广东江门高二江门市第二中学校考期中）如图，已知PA 平面ABCD，底面ABCD为矩形，2,PAADABM N分别为,AB PC的中点.(1)求证：MN平面PAD；(2)求平面PMC与平面PAD的夹角的余弦值.10（202

5、2 秋广东阳江高二校联考期中）图 1 是直角梯形 ABCD，/AB DC，90,2,3,3,2DABDCADCEED.以 BE 为折痕将BCE折起，使点 C 到达C1的位置，且16AC，如图 2.(1)证明：平面1BC E 平面 ABED；(2)求直线1BC与平面1AC D所成角的正弦值.11（2022 秋广东深圳高二深圳外国语学校校考期中）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，E 为侧棱 PC 的中点(1)设经过 A、B、E 三点的平面交 PD 于 F，证明：F 为 PD 的中点；(2)若PA 底面ABCD，且2PAAD，求点P到平面 ABE 的距离12（2022 秋广东阳江

6、高二校联考期中）如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD 是一个边长为 2 的菱形，DAB60.侧棱 DD1平面 ABCD，DD13.(1)求二面角 B-D1C-D 的平面角的余弦值；(2)设 E 是 D1B 的中点，在线段 D1C 上是否存在一点 P，使得 AE平面 PDB？若存在，请求出11DPDC的值；若不存在，请说明理由.13（2022 秋广东茂名高二统考期中）在直四棱柱1111ABCDABC D中，四边形ABCD为平行四边形，M为1AA的中点，1BCBD，12ABAA.(1)求证：DM平面1BDC；(2)求平面1MBC与平面1DBC夹角的余弦值.14（2022 秋

7、广东揭阳高二惠来县第一中学校考期中）已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且2ADAB，PAD是正三角形，CD 平面PAD，E、F、G、O分别是PC、PD、BC、AD的中点(1)求平面EFG与平面ABCD所成角的大小；(2)线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角的大小为6，若存在，求出PMPA的值；若不存在，说明理由15（2022 秋广东佛山高二顺德一中校考期中）如图，在直棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD是边长为4的菱形，60BAD，14AA，P是1AD上的动点（不含端点）.(1)当P为1AD的中点时，求直线AD到平面PBC的距离；(2)求直线1AD和平面B

8、CP所成角的正弦值的取值范围.16（2022 秋广东佛山高二顺德一中校考期中）如图，在直角梯形ABED中，/BE AD，DEAD，BCAD，4AB，2 2BC，2 3BE.将矩形BEDC沿BC翻折，使得平面ABC平面BCDE.(1)求DB与平面ADE所成角的正弦值.(2)求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.17（2022 秋广东珠海高二珠海市第二中学校考期中）如图 1，在MBC中，24BMBCBMBC，,A D分别为棱,BM MC的中点，将MAD沿AD折起到PAD的位置，使90PAB，如图 2，连接,PB PC.(1)求证：平面PAD 平面ABCD；(2)若E为PC中点，求直线DE

9、与平面PBD所成角的正弦值；(3)线段PC上是否存在一点G，使二面角GADP的余弦值为3 1010？若存在，求出PGPC的值；若不存在，请说明理由.18（2022 秋广东广州高二广州市第八十九中学校考期中）如图，已知梯形ABCD，AB/CD，,120ADDCBCADC，四边形ACFE为正方形，且平面ACFE 平面ABCD(1)求证：BC 平面ACFE；(2)点 M 在线段EF上运动，求平面MAB与平面ADE夹角余弦值的取值范围19（2022 秋广东东莞高二校考期中）如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，M 分别是 BC，AE 的中点，AD=AA1=1，AB=2.(1)试问在线段 C

10、D1上是否存在一点 N，使 MN平面 ADD1A1?若存在，确定 N 的位置；若不存在，请说明理由；(2)在（1）中，当 MN平面 ADD1A1时，试确定直线 BB1与平面 DMN 的交点 F 的位置，并求 BF 的长.20（2022 秋广东湛江高二湛江二十一中校考期中）如图，在长方体1111ABCDABC D中，11ADAA，2AB，点E在棱AB上移动(1)证明：11D EAD；(2)求平面1ACD的法向量.(3)当E为AB的中点时，求点E到面1ACD的距离.21（2022 秋广东广州高二统考期中）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，

11、2 3PA，G 为 CD 的中点，E，F 是棱 PD 上两点（F 在 E 的上方），且2EF(1)若BF/平面 AEG，求 DE；(2)当点 F 到平面AEC的距离取得最大值时，求直线 AG 与平面 AEC 所成角的正弦值22（2022 秋广东广州高二校联考期中）在多面体ABCDEF中，平面ABCD为正方形，2AB，3AE，5DE，二面角EADC的平面角的余弦值为55，且/EFBD.(1)证明：平面ABCD平面DCE；(2)若0EFDB ，求平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值的取值范围.23（2022 秋广东佛山高二佛山市顺德区容山中学校考期中）如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，点E

12、在底面圆周上，且,BECE M为AE上的一点，且,BMAC N为线段AC上一动点（不与,A C重合）(1)若2ANNC，设平面BMN 面BECl，求证：/MNl；(2)当平面BMN与平面DEC夹角为3，试确定N点的位置.24（2022 秋广东肇庆高二肇庆市端州中学校考期中）如图，四棱锥PABCD的底面为菱形，,23ABCABAP，PA 底面ABCD，,E F分别是线段,PB PD的中点，G是线段PC上的一点.(1)若G是直线PC与平面AEF的交点，试确定PGCG的值；(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为35，求三棱锥PEFG体积.25（2022 秋广东江门高二校考期中）如图甲，在矩形A

13、BCD中，22 2,ABADE为线段DC的中点，ADEV沿直线AE折起，使得6DC，如图乙.(1)求证：BE 平面ADE；(2)线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成的角为4？若不存在，说明理由；若存在，求出H点的位置.26（2022 秋广东惠州高二统考期中）如图，在四棱锥PABMN中，PNM是边长为 2 的正三角形，ANNP，ANBM，3AN，1BM，2 2AB，C，D分别是线段AB，NP的中点.(1)求证：平面ANMB 平面NMP；(2)求直线CD与平面ABP所成角的正弦值.27（2022 秋广东广州高二校联考期中）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面,2,4,2

14、 3ABCD PAADBDAB，BD是ADC的平分线，且BDBC.(1)若点E为棱PC的中点，证明：BE平面PAD；(2)已知二面角PABD的大小为60，求平面PBD和平面PCD的夹角的余弦值.28（2022 秋广东珠海高二珠海市斗门区第一中学校考期中）如图，等腰直角ACD的斜边 AC 为直角ABC 的直角边，E 是 AC 的中点，F 在 BC 上将三角形 ACD 沿 AC翻折，分别连接 DE，DF，EF，使得平面DEF 平面 ABC已知2AC，30B，(1)证明：EF平面 ABD；(2)若2DF，求二面角ABCD的余弦值29（2022 秋广东阳江高二统考期中）如图，在四面体 ABCD 中，A

15、BC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，AB=BD(1)求证：平面ACD 平面 ABC；(2)若DEmDB，二面角DAEC的余弦值为17，求 m30（2022 春广东广州高二执信中学校考期中）已知ABC 是边长为 6 的等边三角形，点 M，N 分别是边 AB，AC 的三等分点，且13AMAB，13CNCA，沿 MN 将AMN折起到AMN的位置，使90AMB(1)求证：A M平面 MBCN；(2)在线段 BC 上是否存在点 D，使平面A ND与平面A MB所成锐二面角的余弦值为3913？若存在，设0BDBC ，求的值；若不存在，说明理由期中专题期中专题 0202 立体几何大题综合立体几

16、何大题综合1（2022 秋广东江门高二台山市第一中学校考期中）如图，在正方体1111ABCDABC D中，E为1BB的中点(1)求证：1BC 平面1ACD；(2)求直线1DC与平面1AD E所成角的余弦值【答案】(1)证明见详解(2)22【分析】（1）要证1BC 平面1ACD，可证111BCADBCCD，结合正方体性质即可求证；（2）以AD方向为x轴正方向，AB方向为y轴正方向，1AA方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出1DC 和平面1AD E的法向量，由向量的夹角公式求出1DC与平面1AD E所成角的正弦值，结合同角三角函数即可求解.【详解】（1）连接11,AD AC，因为几何体为正方

17、体，所以11/DCAB，四边形11ABC D为平行四边形，所以11/BCAD，因为11ADDA，所以11BCAD，又11,CDBC CDCC BCCCC BC平面11BCC B，1CC 平面11BCC B，所以CD 平面11BCC B，又1BC 平面11BCC B，所以1BCCD，1,CDA DD CD平面1ACD，1AD 平面1ACD，所以1BC 平面1ACD；（2）以AD方向为x轴正方向，AB方向为y轴正方向，1AA方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为 1，则110,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,2ACDE，10,1,1DC ，111,0,1,0,1,2ADA

18、E ，设平面1AD E的法向量为,nx y z，则100n ADn AE ，即020 xzyz，设2x，则1,2yz，2,1,2n，设直线1DC与平面1AD E所成角为，则132sincos,229DC n ，即4，所以2cos2，故直线1DC与平面1AD E所成角的余弦值为22.2（2022 秋广东清远高二校联考期中）如图，在棱长为 a 的正方体OABCO A B C 中，,E F分别是棱,AB BC上的动点，且BECF.(1)求证：A FC E；(2)当三棱锥BBEF的体积取得最大值时，求平面EFB与平面BFB的夹角的正切值.【答案】(1)证明见解析.(2)52.【分析】（1）不妨设1,a

19、BEm，建立空间直角坐标系，求的相关点坐标，求出向量AF，C E 的坐标，计算二者的数量积，即可证明结论；（2）确定三棱锥BBEF的体积取得最大值时 m 的值，求出平面EFB与平面BFB的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】（1）不妨设1,aBEm，以 C 为原点，,CO CB CC 为单位正交基底建立如图空间直角坐标系.则0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,1,1,1,1,0,0,1COBBAC,(,1,0),(0,0)E mFm，(1,1,1)A Fm ，(,1,1)C Em,则(1)(1)1 10A F C Emm ,A FC E，故A FC E.（2）由（1）知1B

20、B,而1133BBEFBEFBEFVSBBS，故当BEFS取到最大值时，三棱锥BBEF的体积取得最大值，22111111(1)()222228BEFSmmmmm ，当12m 时，BEFS有最大值，即三棱锥BBEF的体积取得最大值，取(1,0,0)AB 为平面BFB的法向量，11(,0)22EF ,1(,0,1)2EB ,设(,)nx y z为平面 EFB的法向量，则00n EFn EB，即11022102xyxz，令1z，则2,2yx，所以(2,2,1)n，令平面EFB与平面BFB的夹角为,0,2，则|2coscos|,3n ABn ABn AB ，225sin5sin1(),tan33cos

21、2，平面EFB与平面BFB的夹角的正切值为52.3（2022 秋广东肇庆高二校考期中）如图在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，E为11AB的中点，F为AB的中点，H为1DD的中点，K为1BB的中点.(1)求直线1AH到直线KC的距离；(2)求直线FC到平面1AEC的距离.【答案】(1)305(2)66【分析】（1）建立空间直角坐标系，经过计算可发现1/AH KC，则直线1AH到直线KC的距离可转化成点1A到直线KC的距离，然后利用向量方法进行求解即可；（2）经过计算可发现/FC平面1AEC，则直线FC到平面1AEC的距离可转化成C到平面1AEC的距离，然后利用向量方法进行求解即

22、可【详解】（1）以1D为原点，11D A，11DC，1DD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则111,0,0,0,1,1,1,0,1,0,1,0,ACAC11110,0,1,1,1,1,1,0,2222HKFE所以111,0,2AH ，11,0,2KC，则1=AH KC ，即1/AHKC ，则1/AH KC，所以直线1AH到直线KC的距离可转化成点1A到直线KC的距离，110,1,2KA，21145KC，1KA在KC上的投影向量的长度为112 5KA KCKC，115142KA，所以点1A到直线KC的距离51304205d 所以直线1AH到直线KC的距离为305（2）由

23、（1）可得11,02FC ，10,12AE，11,1,1AC ，设平面1AEC的法向量为(,)nx y z，由11020n AEyzn ACxyz ，令2y，则1,1xz，得(1,2,1)n，因为0FC n ，所以FCn，则/FC平面1AEC，所以直线FC到平面1AEC的距离可转化成C到平面1AEC的距离，则10,0,1CC ，所以直线FC到平面1AEC的距离111666CCndn 4（2022 秋广东江门高二校考期中）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PDCD，F，G 分别是 PB，AD 的中点(1)求证：FG/平面 PCD；(2)求

24、点 C 到平面 PGB 的距离【答案】(1)证明见解析(2)263【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过证明面PCD的法向量与线FG的方向向量垂直即可；（2）求出面PGB的法向量，利用空间向量法求出点到面的距离.【详解】（1）以D为原点，DA，DC，DP 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(1,1,1),GPABCF明显面PCD的一个法向量为1,0,0n r，又0,1,1GF ，1,0,00,1,10n GF ，GFn，又GF 面PCD，/GF面PCD；（2）(1,0,2),(2,2,2)PGPB

25、 ，设平面PGB的一个法向量为(,)ma b c，00m PBm PG，即222020abcac，令1c，则2,1ab 所以平面PGB的一个法向量为(2,1,1)m，又2,0,0CB ，所以点 C 到平面 PGB 的距离4263|4 1 1CB mdm 5（2022 秋广东清远高二校联考期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 为矩形，AB平面 PAD，E 是 AD 的中点，PAD为等腰直角三角形，DPAP，2PAAB=2(1)求证：PEBD；(2)求点 A 到平面 PBE 的距离【答案】(1)证明见解析(2)22【分析】（1）利用线面垂直性质定理去证明PEBD；（2）建立空间直角坐标

26、系，利用向量的方法去求点 A 到平面 PBE 的距离【详解】（1）AB平面PAD，PE 平面 PAD，PEAB，又PAD是等腰直角三角形，E是斜边 AD 的中点，PEAD，又AD 平面ABCD，AB平面ABCD，ABADA，PE 平面ABCD又BD平面 ABCD，PEBD；（2）在平面 ABCD 内，过E点作 AD 的垂线 EF，交 BC 于 F，由AB平面 PAD，AB平面ABCD，可得平面 PAD平面ABCD又平面 PAD平面ABCDAD，EF 平面ABCD，EFAD则EF平面 PAD，又EPEA，则EPEAEF、两两垂直则以E为原点，分别以 EP，EA，EF 所在的直线为x轴，y轴，z轴

27、建立空间直角坐标系Exyz，如图因为22PAAB，则0 0 0E，(0,1,1)B，010A，(1,0,0)P则(0,1,1)EB ，(1,0,0)EP ，(1,1,0)PA 设平面 PBE 的一个法向量为(,)nx y z，00EB nyzEP nx ，取1y，则1z ，故(0,1,1)n 设点 A 到平面 PBE 的距离为 h，则 h=1222PA nn，点 A 到平面 PBE 的距离为226（2022 秋广东江门高二新会陈经纶中学校考期中）如图，在直角梯形ABCD中，,=90,ADBCADCAE平面ABCD，EFCD，112BCCDAEEFAD(1)求证：BEAF；(2)在线段BC上是否

28、存在点 M，使平面EMD与平面AMD的夹角的大小为3？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）作,FGEA AGEF，通过证明BGAF，AFEG来证明AF 平面BGE，从而证得BEAF；（2）建立空间直角坐标系，并设001,0,1,2Myy，通过计算两个平面的法向量得到cos,cos3n AE，解出0y的值，再根据0y的取值范围判断即可【详解】（1）如图，作,FGEA AGEF，连接EG，AF，BG，EFCD且EFAG，AGCD，即点 G 在平面ABCD内，所以四边形CDAG为平行四边形，四边形AEFG为平行四边形.又90ADC，BGAG

29、，因为AE平面ABCD，BG 平面ABCD，所以AEBG，又因为AGAEA，,AG AE 平面AEFG，BG 平面AEFG，因为AF 平面AEFG，BGAFAEAG，所以平行四边形AEFG为矩形，又因为AEEF=，所以矩形AEFG为正方形，所以AFEG，又因为BGEGG，,BG EG 平面BGE，所以AF 平面BGE，因为BE 平面BGE，所以AFBE.（2）由（1）知AG，AD，AE为三条两两互相垂直的直线，所以以A为原点，AG为x 轴，AD为 y 轴，AE为 z 轴建立空间直角坐标系Axyz，如图，则(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,2,0)AGED，设001,0,1,

30、2Myy，(0,2,1)ED ，01,2,0DMy，设平面EMD的法向量为(,)nx y z，则00n EDn DM ，即02020yzxyy，令1y，得02,2zxy，所以平面EMD的法向量为02,1,2ny，又AE平面ABCD，即AE平面AMD，(0,0,1)AE 为平面AMD的一个法向量，所以2021cos,cos324112n AEy ，解得0112y，又因为021,y，故在BC上不存在点 M，使平面EMD与平面AMD的夹角大小为3.7（2022 秋广东江门高二台山市第一中学校考期中）如图，边长为 1 的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M、N分别在正方形对角

31、线AC和BF上移动，且(02)CMBNaa(1)求证MN与平面BCE平行；(2)当22a 时，求二面角AMNB的余弦值【答案】(1)证明见详解(2)13【分析】（1）采用建系法，表示出,M N坐标，要证MN与平面BCE平行，即证MN 平面BCE的法向量；（2）分别求出平面AMN和平面MNB的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解.【详解】（1）因为平面ABCD 平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，BEAB，所以BE 平面ABCD，BCAB，所以BC平面ABEF，显然,BA BE BC三垂直，以BA方向为x轴正方向，BE方向为y轴正方向，BC方向为z轴正方向，建立BAEC空间直角坐标系，1

32、,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0ACBF，因为(02)CMBNaa，所以2aCMCA ，2aBNBF，设111222,M x y zN xyz，111,1CMx y z，1,0,1 CA，由2aCMCA ，得,0,122aaM，222,BNxyz，1,1,0 BF，由2aBNBF 得,022aaN，0,122aaMN，可设平面BCE的法向量为1,0,0n r，0MN n ，所以MN与平面BCE平行；（2）当22a 时，111 1,0,0222 2MN，1,0,0A，0,0,0B，111 1,0,0222 2AMAN ，111 1,0,0222 2BMBN，设平面AMN的法向量为1,

33、nx y z，则1100nAMnAN ，即xyz，可设1x，故11,1,1n，设平面MNB的法向量为2333,nxy z，则2200nBMnBN ，即333300 xzxy，令31x，则331yz，故21,1,1n ，设二面角AMNB的平面角为，则121coscos,3n n ，故二面角AMNB的余弦值为13.8（2022 秋广东肇庆高二肇庆市端州中学校考期中）如图在四棱锥PABCD中，侧面PAD 底面ABCD，侧棱2PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，222ADABBC，O为AD的中点(1)求证：PO平面ABCD；(2)求二面角CPDA的正弦值【答案】(1)证明过程见详

34、解(2)63【分析】（1）由面面垂直的性质定理即可证明；（2）利用向量法先求得两平面的法向量的夹角的余弦值，再求正弦值即可【详解】（1）PAPD，O为AD的中点，POAD，侧面PAD 底面ABCD，侧面PAD 底面ABCDAD，PO平面PAD，PO平面ABCD；（2）底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，222ADABBC，OCAD，又PO平面ABCD，以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，易得平面PAD的法向量1,0,0m，1,0,0,0,1,0,0,0,1CDP，1,0,1,0,1,1PCPD ，设平面PCD的法向量,nx y

35、 z，则00n PCxzn PDyz ，取1x，得1,1,1n，设二面角CPDA夹角为，则1cos3m nmn，则216sin133，二面角CPDA的正弦值为639（2022 秋广东江门高二江门市第二中学校考期中）如图，已知PA 平面ABCD，底面ABCD为矩形，2,PAADABM N分别为,AB PC的中点.(1)求证：MN平面PAD；(2)求平面PMC与平面PAD的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)63【分析】(1)若E为PD中点，连接,NE AE，易证AMNE为平行四边形，则/MNAE，根据线面平行的判定即可证明；(2)建立空间直角坐标系，易知(1,0,0)n 是面PAD的一个

36、法向量，求出平面PMC的法向量量，利用向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）若E为PD中点，连接,NE AE，又MN为ABPC的中点，底面ABCD为矩形，所以/NECD且12NECD，而1122AMABCD且/AMCD，所以/NEAM且NEAM，故AMNE为平行四边形，故/MNAE，又MN面PAD，AE 面PAD，则/MN面PAD.（2）由题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，2PAADAB，所以(0,0,2)P，(0,2,0)D，(1,0,0)M，(2,2,0)C，则(0,2,2)PD uuu r，(1,0,2)PM ，(2,2,2)PC ，若(,)mx y z是面PMC的一个法向量，则20

37、2220m PMxzm PCxyz ，令2x，故(2,1,1)m，又(1,0,0)n 是面PAD的一个法向量，所以26cos,3|6m nm nm n ，故平面PMC与平面PAD的夹角的余弦值63.10（2022 秋广东阳江高二校联考期中）图 1 是直角梯形 ABCD，/AB DC，90,2,3,3,2DABDCADCEED.以 BE 为折痕将BCE折起，使点 C 到达C1的位置，且16AC，如图 2.(1)证明：平面1BC E 平面 ABED；(2)求直线1BC与平面1AC D所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)2 77【分析】（1）首先作辅助线，连接 AE，AC，AC 交 BE

38、于点 F，利用垂直关系证明 C1F平面 ABED，即可证明；（2）以点D为原点，建立空间直角坐标系，求平面1AC D的法向量，利用向量法求线面角的正弦值.【详解】（1）证明：如图，连接 AE，AC，AC 交 BE 于点 F.因为2CE ED，3DC，所以2CE，所以ABCE，又/AB DC，所以四边形 AECB 是平行四边形，22312AE,AEEC，所以四边形AECB是菱形，在RtACD中，AC=223(3)2 3+=，所以3AFCF.在图中，16AC，所以22211AFC FAC，所以1C FAF，由题意得1C FBE，又BEAFF，,BE AF 平面 ABED，所以1C F 平面 ABE

39、D，又1C F 平面1BC E，所以平面1BC E 平面 ABED.（2）如图，以 D 为坐标原点，DA，DE的方向分别为 x，y 轴的正方向，1FC的方向为 z 轴正方向建立空间直角坐标系.Dxyz则(0,0,0),(3,0,0),(3,2,0),(0,1,0)DABE，F3 3(,0)22，13 3(,3)22C，所以131(,3)22BC ，3,0,0DA ,13 3(,3)22DC ，设平面1AC D的法向量为n=(x，y，z)，由100n DAn DC ,得30333022xxyz取3z，得(0,2,3)n，所以7n，记直线1BC与平面1AC D所成的角为，则sin=1cos BC

40、n,=110132 7772BCnBC n .11（2022 秋广东深圳高二深圳外国语学校校考期中）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，E 为侧棱 PC 的中点(1)设经过 A、B、E 三点的平面交 PD 于 F，证明：F 为 PD 的中点；(2)若PA 底面ABCD，且2PAAD，求点P到平面 ABE 的距离【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）由线面平行的性质定理证明，（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，【详解】（1）因为底面ABCD为矩形，所以/ABCD.又AB 平面PCD，且CD 平面PCD，所以/AB平面PCD.又AB平面 ABE，且平面ABE平面PC

41、DEF，所以/ABEF.又因为/ABCD，所以/CDEF因为 E 为 PC 的中点，所以 F 为 PD 的中点.（2）如图所示，以A为原点，,AB AD AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则(2,0,0),(2,2,0),(0,0,2),(1,1,1)BCPE，设(,)nx y z是平面ABE的法向量，则0,0n AEn AB ，即200 xxyz令1y，则平面ABE的一个法向量为(0,1,1)n 又因为(0,0,2)AP ，所以点P到平面ABE的距离为222|0 0+0 1+21|2|011AP nn （-），即点P到平面ABE的距离为212（2022 秋广

42、东阳江高二校联考期中）如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD 是一个边长为 2 的菱形，DAB60.侧棱 DD1平面 ABCD，DD13.(1)求二面角 B-D1C-D 的平面角的余弦值；(2)设 E 是 D1B 的中点，在线段 D1C 上是否存在一点 P，使得 AE平面 PDB？若存在，请求出11DPDC的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)34(2)存在，23【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的夹角即可求二面角，（2）根据线面平行的向量方法，利用法向量与方向向量垂直即可求解.【详解】（1）如图 1，连接 BD，由题意，ADB 是正三角形，设 M 是 AB

43、的中点，则DMAB，所以 DMDC，又 DD1平面 ABCD，所以 DM平面 DD1C1C.以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，D1(0,0,3)，C(0,2,0)，B(3,1,0)，则BC(3,1,0)，1BD(3,1,3).显然，平面 D1CD 的一个法向量是1,0,0m，设平面 BD1C 的法向量为n(x,y,z)，则1=30,330,n BCxyn BDxyz 令 x3，得n(3,3,2)，设二面角 B-D1C-D 的平面角为，由几何体的特征可知为锐角，则cos|m nmn 33 94 1 34.故二面角 B-D1C-D 的平面角的余弦值为34.（2）设

44、11DPDC，即有11D PDC ，其中01由（1）知 D1(0,0,3)，C(0,2,0)，则10,2,3DC ，所以 P(0,2,33)，又 D(0,0,0)，B(3,1,0)，于是DP(0,2,33)，DB(3,1,0)，设平面 PBD 的法向量为,ax y z，则2330=30a DPyza DBxy 令 x3，得23,3,1a，因为 A(3,1,0)，D1B 的中点为 E3 1 3(,)22 2，所以AE 3 3 3(,)22 2，因为/AE平面 PDB，所以AEa，即3 3 323932,3,3,022 21222 1AaE ，得23，即线段 D1C 上存在点 P 使得/AE平面

45、PDB，此时11DPDC2313（2022 秋广东茂名高二统考期中）在直四棱柱1111ABCDABC D中，四边形ABCD为平行四边形，M为1AA的中点，1BCBD，12ABAA.(1)求证：DM平面1BDC；(2)求平面1MBC与平面1DBC夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)105【分析】（1）利用勾股定理可证得ADBD，以D为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用向量数量积运算可证得DMDB，1DMDC，由线面垂直的判定可得结论；（2）利用面面角的向量求法直接求解即可.【详解】（1）四边形ABCD为平行四边形，1ADBCBD，又2AB，222ADBDAB，ADBD，以D为坐标原点，1

46、,DA DB DD 正方向为,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则0,0,0D，21,0,2M，0,1,0B，11,1,2C，21,0,2DM，0,1,0DB ，11,1,2DC ，101 0 10DM DBDM DC ，即DMDB，1DMDC，1DBDCDQ，1,DB DC 平面1BDC，DM平面1BDC.（2）由（1）：平面1DBC的一个法向量为21,0,2DM；设平面1MBC的法向量,nx y z，21,1,2BM，11,0,2BC ，120220BM nxyzBC nxz ，令2z，解得：2x，3y，2,3,2n，310cos,56152DM nDM nDMn ，平面1MBC

47、与平面1DBC夹角的余弦值为105.14（2022 秋广东揭阳高二惠来县第一中学校考期中）已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且2ADAB，PAD是正三角形，CD 平面PAD，E、F、G、O分别是PC、PD、BC、AD的中点(1)求平面EFG与平面ABCD所成角的大小；(2)线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角的大小为6，若存在，求出PMPA的值；若不存在，说明理由【答案】(1)3(2)存在，354PMPA【分析】（1）证明出PO平面ABCD，OGAD，设2AB，以点O为坐标原点，OA、OG、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果；

48、（2）设PMPAuuuruur，其中01，利用空间向量法可得出关于的方程，结合01可求得的值，即可得出结论.【详解】（1）解：因为PAD是正三角形，O为AD的中点，所以POAD，因为CD 平面PAD，PO平面PAD，POCD，,ADCDD AD CDQ=平面ABCD，PO平面ABCD，因为ADBC且ADBC，O、G分别为AD、BC的中点，所以AOBG且AOBG，所以四边形ABGO为平行四边形，所以OGAB，ABAD，则OGAD，以点O为坐标原点，OA、OG、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设2AB，则4AD，2,0,0A、0,2,0G、2,0,0D、2,2,0C、

49、0,0,2 3P、1,1,3E、1,0,3F，0,1,0EF ，1,1,3EG，设平面EFG的法向量为,nx y z，则有302 30n EGxyzn EFz ，可取3,0,1n，易知平面ABCD的一个法向量为0,0,1m，则1cos,2m nm nmn ，即平面EFG与平面ABCD所成的锐二面角得余弦值为12，因此平面EFG与平面ABCD所成的锐二面角为3；（2）解：假设线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角的大小为6，设 2,0,2 32,0,2 3PMPA ，其中01，0,2,2 32,0,2 32,2,2 32 3GMGPPM ，由题意可得222 31cos,22 44

50、12 1n GMn GMnGM ，整理可得24610，因为01，解得354，因此在线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角的大小为6，且354PMPA.15（2022 秋广东佛山高二顺德一中校考期中）如图，在直棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD是边长为4的菱形，60BAD，14AA，P是1AD上的动点（不含端点）.(1)当P为1AD的中点时，求直线AD到平面PBC的距离；(2)求直线1AD和平面BCP所成角的正弦值的取值范围.【答案】(1)3(2)422,142【分析】（1）根据/AD平面PBC，可将所求距离转化为点D到平面PBC的距离，以AC与BD的交点O为坐标原点