专题15 三角函数解答题-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编（全国通用版）含解析.pdf

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1、2013-2022 十年全国高考数学真题分类汇编十年全国高考数学真题分类汇编专题专题 15三角函数解答题三角函数解答题一、解答题一、解答题1(2022 年全国乙卷理科第 17 题)记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知sinsin()sinsin()CABBCA(1)证明：2222abc；(2)若255,cos31aA，求ABC的周长2(2022 新高考全国 II 卷第 18 题)记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,S SS，已知12331,sin23SSSB(1)求ABC的面积；(2)若2sins

2、in3AC，求 b3(2022新高考全国I卷 第18题)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB(1)若23C，求 B；(2)求222abc的最小值4(2021 年新高考全国卷第 18 题)在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，1ba，2ca(1)若2sin3sinCA，求ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由5(2021 年新高考卷第 19 题)记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知2bac，点D在边AC上，sinsinBDABCaC(1)证明：BDb；

3、(2)若2ADDC，求cosABC6(2020 年新高考 I 卷(山东卷)第 17 题)在3ac，sin3cA，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角,A B C的对边分别为,a b c，且sin3sinAB=，6C，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分7(2020 新高考 II 卷(海南卷)第 17 题)在3ac，sin3cA，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角,A B C

4、的对边分别为,a b c，且sin3sinAB=，6C，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分8(2020 年高考数学课标卷理科第 17 题)ABC中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC(1)求 A；(2)若 BC=3，求ABC周长的最大值9(2019 年高考数学课标卷理科第 18 题)ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知sinsin2ACabA(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且1c，求ABC面积的取值范围10(2019 年高考数学课标全国卷理科第 17 题)ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c设22(sinsin)sinsins

5、inBCABC(1)求A；(2)若22abc，求sinC11(2018 年高考数学课标卷(理)第 17 题)(12 分)在平面四边形ABCD中，90ADC，45A，2AB,5BD(1)求cosADB;(2)若2 2DC,求BC12(2017 年高考数学新课标卷理科 第 17 题)ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c,已知ABC的面积为23sinaA(1)求sinsinBC;(2)若6coscos1BC,3a,求ABC的周长13(2017 年高考数学课标卷理科第 17 题)(12 分)ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c已知sin3cos0AA，2 7a，2b(1)求c；

6、(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积14(2017 年高考数学课标卷理科第 17 题)(12 分)ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c,已知2sin()8sin2BAC(1)求cosB(2)若6ac,ABC面积为 2,求.b15(2016 高考数学课标卷理科 第 17 题)(本题满分为 12 分)ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知2cos(coscos).C aB+bAc(I)求C；(II)若7c，ABC的面积为3 32，求ABC的周长16(2015 高考数学新课标 2 理科 第 17 题)(本题满分 12 分)ABC中，D是BC上的点，AD平分

7、BAC，ABD面积是ADC面积的 2 倍()求sinsinBC；()若1AD，22DC，求BD和AC的长17(2013 高考数学新课标 2 理科第 17 题)ABC中内角,A B C的对边分别为,a b c，已知cossinabCcB(1)求B；(2)若2b，求ABC面积的最大值18(2013高考数学新课标1理科 第17题)如图，在ABC中，90ABC，3,1ABBC，P为ABC内一点，90BPC(1)若12PB，求PA；(2)若150APB，求tanPBA2013-2022 十年全国高考数学真题分类汇编十年全国高考数学真题分类汇编专题专题 15三角函数解答题三角函数解答题三角函数解答题三角函

8、数解答题一、解答题一、解答题1(2022 年全国乙卷理科第 17 题)记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知sinsin()sinsin()CABBCA(1)证明：2222abc；(2)若255,cos31aA，求ABC的周长【答案】【答案】(1)见解析(2)14解析：【小问 1 详解】证明：因为sinsinsinsinCA BBCA，所以sinsincossinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC，所以2222222222222acbbcaabcacbcabacbcab，即22222222222acbabcbca，所以2222abc；【小

9、问 2 详解】解：因为255,cos31aA，由(1)得2250bc，由余弦定理可得2222cosabcbcA，则50502531bc，所以312bc，故2222503181bcbcbc，所以9bc，所以ABC的周长为14abc【题目栏目】三角函数三角函数的综合问题【题目来源】2022 年全国乙卷理科第 17 题2(2022 新高考全国 II 卷第 18 题)记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,S SS，已知12331,sin23SSSB(1)求ABC的面积；(2)若2sinsin3AC，求 b【答案】【答案】(1)

10、28(2)12解析：(1)由题意得222212313333,22444SaaSbSc，则22212333334442SSSabc，即2222acb，由余弦定理得222cos2acbBac，整理得cos1acB，则cos0B，又1sin3B，则212 2cos133B，13 2cos4acB，则12sin28ABCSacB；(2)由正弦定理得：sinsinsinbacBAC，则223 294sinsinsinsinsin423bacacBACAC，则3sin2bB，31sin22bB【题目栏目】三角函数正弦定理和余弦定理正、余弦定理的综合应用【题目来源】2022 新高考全国 II 卷第 18 题

11、3(2022新高考全国I卷 第18题)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB(1)若23C，求 B；(2)求222abc的最小值【答案】【答案】(1)6；(2)4 25解析：(1)因为2cossin22sincossin1 sin1cos22coscosABBBBABBB，即1sincoscossinsincoscos2BABABABC，而02B，所以6B；(2)由(1)知，sincos0BC，所以,022CB，而sincossin2BCC，所以2CB，即有22AB所以222222222sinsincos 21 cossincosabABB

12、BcCB 2222222cos11 cos24cos52 854 25coscosBBBBB 当且仅当22cos2B 时取等号，所以222abc的最小值为4 25【题目栏目】三角函数三角函数的综合问题【题目来源】2022 新高考全国 I 卷第 18 题4(2021 年新高考全国卷第 18 题)在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，1ba，2ca(1)若2sin3sinCA，求ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【答案】【答案】解析:(1)因为2sin3sinCA，则2223caa，则4a，故5b，6c，2221cos

13、28abcCab+-=，所以，C为锐角，则23 7sin1cos8CC，因此，113 715 7sin452284ABCSabC ；(2)显然cba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得22222221223cos022121aaaabcaaCaba aa a，解得13a，则0 3a，由三角形三边关系可得12aaa，可得1a，aZ，故2a【题目栏目】三角函数正弦定理和余弦定理正、余弦定理的综合应用【题目来源】2021 年新高考全国卷第 18 题5(2021 年新高考卷第 19 题)记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知2bac，点D在边AC上，sinsinBDABCaC

14、(1)证明：BDb；(2)若2ADDC，求cosABC【答案】【答案】解析：(1)由题设，sinsinaCBDABC，由正弦定理知：sinsincbCABC，即sinsinCcABCb，acBDb，又2bac，BDb，得证(2)由题意知：2,33bbBDb ADDC，22222241399cos24233bbbccADBbbb，同理2222221099cos2233bbbaaCDBbbb，ADBCDB，2222221310994233bbcabb，整理得2221123bac，又2bac，42221123bbaa，整理得422461130aa bb，解得2213ab或2232ab，由余弦定理知：

15、222224cos232acbaABCacb，当2213ab时，7cos16ABC不合题意；当2232ab时，7cos12ABC；综上，7cos12ABC【题目栏目】三角函数正弦定理和余弦定理正、余弦定理的综合应用【题目来源】2021 年新高考卷第 19 题6(2020 年新高考 I 卷(山东卷)第 17 题)在3ac，sin3cA，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角,A B C的对边分别为,a b c，且sin3sinAB=，6C，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案

16、】解法一：【答案】解法一：由sin3sinAB=可得：3ab，不妨设3,0am bm m，则：22222232cos3232cababCmmm mm，即cm选择条件选择条件的解析：的解析：据此可得：2333acm mm，1m，此时1cm选择条件选择条件的解析：的解析：据此可得：222222231cos222bcammmAbcm，则：213sin122A，此时：3sin32cAm，则：2 3cm选择条件选择条件的解析：的解析：可得1cmbm，cb，与条件3cb矛盾，则问题中的三角形不存在解法二：3,6sinAsinB CBAC,3sin3sin6sinAACA,313sin3322sinAACs

17、inAcosA，3sinAcosA,3tanA ,23A,6BC,若选，3ac,33abc,233c,c=1;若选，3csinA,则332c,2 3c;若选,与条件3cb矛盾【题目栏目】三角函数三角函数的综合问题【题目来源】2020 年新高考 I 卷(山东卷)第 17 题7(2020 新高考 II 卷(海南卷)第 17 题)在3ac，sin3cA，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角,A B C的对边分别为,a b c，且sin3sinAB=，6C，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个

18、解答计分【答案】【答案】解析：解法一：解法一：由sin3sinAB=可得：3ab，不妨设3,0am bm m，则：22222232cos3232cababCmmm mm，即cm选择条件选择条件的解析：的解析：据此可得：2333acm mm，1m，此时1cm选择条件选择条件的解析：的解析：据此可得：222222231cos222bcammmAbcm，则：213sin122A，此时：3sin32cAm，则：2 3cm选择条件选择条件的解析：的解析：可得1cmbm，cb，与条件3cb矛盾，则问题中的三角形不存在解法二：3,6sinAsinB CBAC,3sin3sin6sinAACA,313sin3

19、322sinAACsinAcosA，3sinAcosA,3tanA ,23A,6BC,若选，3ac,33abc,233c,c=1;若选，3csinA,则332c,2 3c;若选,与条件3cb矛盾【题目栏目】三角函数正弦定理和余弦定理正、余弦定理的综合应用【题目来源】2020 新高考 II 卷(海南卷)第 17 题8(2020 年高考数学课标卷理科第 17 题)ABC中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC(1)求 A；(2)若 BC=3，求ABC周长的最大值【答案】【答案】(1)23；(2)32 3解析：(1)由正弦定理可得：222BCACABAC AB，2221cos22ACAB

20、BCAAC AB，0,A，23A.(2)由余弦定理得：222222cos9BCACABAC ABAACABAC AB，即29ACABAC AB22ACABAC AB(当且仅当ACAB时取等号)，22223924ACABACABAC ABACABACAB，解得：2 3ACAB(当且仅当ACAB时取等号)，ABC周长32 3LACABBC，ABC周长的最大值为32 3【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值【题目栏目】三角函数正弦定理和余弦定理正、

21、余弦定理的综合应用【题目来源】2020 年高考数学课标卷理科第 17 题9(2019 年高考数学课标卷理科第 18 题)ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知sinsin2ACabA(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且1c，求ABC面积的取值范围【答案】(1)3B;(2)33(,)82【官方解析】(1)由题设及正弦定理得sinsinsinsin2ACABA，因为sin0A，所以sinsin2ACB由ABC180，可得sincos22ACB，故BBBcos2sincos222因为Bcos02，故B1sin22，因此60B(2)由题设及(1)知ABC的面积34ABCSa由正弦

22、定理得sinsin(120)31sinsin2tan2cACaCCC由于ABC为锐角三角形，故090A，090C由(1)知120AC，所以3090C，故122a，从而3382ABCS因此ABC面积的取值范围是33(,)82【点评】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用(此题也可以用余弦定理求解)，最后考查ABC是锐角三角形这个条件的利用考查的很全面，是一道很好的考题【题目栏目】三角函数三角函数的综合问题【题目来源】2019 年高考数学课标卷理科第 18 题10(2019 年高考数学课标全国卷理科第 17 题)ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c设22(sins

23、in)sinsinsinBCABC(1)求A；(2)若22abc，求sinC【答案【答案】解析：(1)由已知得222sinsinsinsinsinBCABC，故由正弦定理得222bcabc由余弦定理得2221cos22bcaAbc因为0180A，所以60A(2)由(1)知120BC，由题设及正弦定理得2sinsin(120)2sinACC，即631cossin2sin222CCC，可得2cos(60)2C 由于0120C，所以2sin(60)2C ，故sinsin(6060)CCsin(60)cos60cos(60)sin60CC624【题目栏目】三角函数正弦定理和余弦定理正、余弦定理的综合应

24、用【题目来源】2019 年高考数学课标全国卷理科第 17 题11(2018 年高考数学课标卷(理)第 17 题)(12 分)在平面四边形ABCD中，90ADC，45A，2AB,5BD(1)求cosADB;(2)若2 2DC,求BC【答案】【答案】解析：(1)在ABD中，由正弦定理得sinsinBDABAADB由题设知，52sin45sinADB，所以2sin5ADB由题设知，90ADB，所以223cos1255ADB(2)由题设及(1)知，2cossin5BDCADB在BCD中，由余弦定理得2222cosBCBDDCBD DCBDC 22582 5 2 25 25所以5BC【题目栏目】三角函数

25、正弦定理和余弦定理正、余弦定理的综合应用【题目来源】2018 年高考数学课标卷(理)第 17 题12(2017 年高考数学新课标卷理科 第 17 题)ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c,已知ABC的面积为23sinaA(1)求sinsinBC;(2)若6coscos1BC,3a,求ABC的周长【答案】【答案】(1)2sinsin3BC;(2)ABC的周长为333【分析】(1)由三角形面积公式建立等式21sin23sinaacBA,再利用正弦定理将边化成角,从而得出sinsinBC的值;(2)由1coscos6BC 和2sinsin3BC,计算出1cos2BC,从而求出角A,根据题

26、设和余弦定理可以求出bc和bc的值,从而可求出ABC的周长【解析】(1)由题设得21sin23sinaacBA,即1sin23sinacBA由正弦定理得1sinsinsin23sinACBA故2sinsin3BC(2)由题设及(1)得1coscossinsin,2BCBC,即1cos()2BC 所以23BC,故3A 由题设得21sin23sinabcAA,即8bc 由余弦定理得229bcbc,即2()39bcbc,得33bc故ABC的周长为333【考点】三角函数及其变换【点评】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转

27、化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如sin()yAxb,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可【题目栏目】三角函数正弦定理和余弦定理三角形中的面积问题【题目来源】2017 年高考数学新课标卷理科第 17 题13(2017 年高考数学课标卷理科第 17 题)(12 分)ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c已知s

28、in3cos0AA，2 7a，2b(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积【答案】【答案】(1)4c;(2)3【解析】(1)由sin3cos0AA可得tan3A ,因为0,A,故23A由余弦定理可知:2222cosbcbcAa即222222 2 cos2 73cc 整理可得22240cc,解得6c (舍去)或4c(2)法一:设ADx,则在Rt ADC中,由勾股定理可得2224CDADACx在ABD中,有2326BAD由余弦定理可得2222cosABADAB ADBADBD即222248 cos2 746xxx即24374xx所以22 330 xx,解得3x 所以11si

29、n34 sin3226ABDSAD ABBAD 法二:依题意易知2326BAD又因为1sin2ABDSAD ABBAD,12ADCSAD AC所以4sinsin612ABDADCSABBADSAC所以111112sin2 4 sin3222223ABDABCSSACABBAC 法三:2,2 7,4ACBCAB,由余弦定理2222 7cos27abcCabACAD,即ACD为直角三角形,则cosACCDC,得7CD 由勾股定理223ADCDAC又23A,则2326DAB,1sin326ABDSADAB【考点】余弦定理解三角形;三角形的面积公式【点评】在解决三角形问题中,面积公式最常用,因为公式中

30、既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断【题目栏目】三角函数正弦定理和余弦定理三角形中的面积问题【题目来源】2017 年高考数学课标卷理科第 17 题14(2017 年高考数学课标卷理科第 17 题)(12 分)ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c,已知2sin()8sin2BAC(1)求cosB(2)若6ac,ABC面积为 2,求.b【答案】【答案】(1)15cos17B；(2)2b【命题意图】本题

31、考查三角恒等变形，解三角形【试题分析】在第()中，利用三角形内角和定理可知ACB，将2sin8)sin(2BCA转化为角B的方程，思维方向有两个：利用降幂公式化简2sin2B，结合22sincos1BB求出cosB；利用二倍角公式，化简2sin8sin2BB，两边约去2sinB，求得2tanB，进而求得Bcos在第()中，利用()中结论，利用勾股定理和面积公式求出acac、，从而求出b()【基本解法 1】由题设及2sin8sin,2BBCBA，故sin4-cosBB（1）上式两边平方，整理得217cos B-32cosB+15=0解得15cosB=cosB171（舍去），=【基本解法 2】由题

32、设及2sin8sin,2BBCBA，所以2sin82cos2sin22BBB，又02sinB，所以412tanB，17152tan12tan1cos22BBB()由158cosBsinB1717=得，故14a sin217ABCScBac又17=22ABCSac，则由余弦定理及a6c得2222b2cosa2(1 cosB)1715362(1)2174acacBac（+c）所以 b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,ac

33、 ac ac三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎【题目栏目】三角函数正弦定理和余弦定理三角形中的面积问题【题目来源】2017 年高考数学课标卷理科第 17 题15(2016 高考数学课标卷理科 第 17 题)(本题满分为 12 分)ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知2cos(coscos).C aB+bAc(I)求C；(II)若7c，ABC的面积为3 32，求ABC的周长【答案】【答案】(I)3C；(II)57【官方解答】(I)由已知及正弦定理得：2cossincossincossinCABBAC即2cossinsinCABC故2cossinsinCCCsin

34、sin0ABC可得1cos2C 3C(II)由已知得，13 3sin22abC又3C 所以6ab 由已知及余定理得：222cos7ababC，2213ab，从而225abABC周长为57abc【民间解答】(I)2coscoscosC aBbAc由正弦定理得：2cossincossincossinCABBAC2cossinsinCABCABC，0ABC、，sinsin0ABC2cos1C，1cos2C 0C，3C(II)由余弦定理得：2222coscababC，221722abab，237abab133 3sin242SabCab6ab 2187ab，5abABC周长为57abc【题目栏目】三角

35、函数正弦定理和余弦定理三角形中的面积问题【题目来源】2016 高考数学课标卷理科第 17 题16(2015 高考数学新课标 2 理科 第 17 题)(本题满分 12 分)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的 2 倍()求sinsinBC；()若1AD，22DC，求BD和AC的长【答案】【答案】解析：()1sin2ABDSAB ADBAD，1sin2ADCSAC ADCAD，因为2ABDADCSS，BADCAD，所以2ABAC由正弦定理可得sin1sin2BACCAB()因为:ABDADCSSBD DC，所以2BD 在ABD和ADC中，由余弦定理得2222cosAB

36、ADBDAD BDADB，2222cosACADDCAD DCADC222222326ABACADBDDC由()知2ABAC，所以1AC 考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理【题目栏目】三角函数正弦定理和余弦定理正、余弦定理的综合应用【题目来源】2015 高考数学新课标 2 理科第 17 题17(2013 高考数学新课标 2 理科第 17 题)ABC中内角,A B C的对边分别为,a b c，已知cossinabCcB(1)求B；(2)若2b，求ABC面积的最大值【答案】【答案】(1)4B；(2)21解析：(1)由已知及正弦定理得sinsincossinsin,ABCCB1又sin

37、sin()sincoscossinC,ABCBCB2由1，2 可得sincos,BB又(0,),.4BB(2)ABC的面积12sin24SacBac由已知及余弦定理得2242cos4acac又222acac，故422ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC的面积的最大值为21考点：(1)463 正、余弦定理的综合应用；(2)732 利用基本不等式求最值难度：B备注：高频考点【题目栏目】三角函数正弦定理和余弦定理三角形中的面积问题【题目来源】2013 高考数学新课标 2 理科第 17 题18(2013高考数学新课标1理科 第17题)如图，在ABC中，90ABC，3,1ABBC，P为ABC内一点，

38、90BPC(1)若12PB，求PA；(2)若150APB，求tanPBA【答案】【答案】(1)72(2)34解 析：()由 已 知 得，o60PBC，30PBA，在PBA中，由 余 弦 定 理 得2PA=o11323cos3042=74，PA=72；()设PBA，由已知得,sinPB，在PBA中，由正弦定理得，oo3sinsin150sin(30)，化简得，3cos4sin，tan=34，tanPBA=34考点:(1)452 两角和与差的公式的应用；(2)461 利用正弦定理求解三角形；(3)462 利用余弦定理求解三角形难度：备注：高频考点【题目栏目】三角函数正弦定理和余弦定理正、余弦定理的综合应用【题目来源】2013 高考数学新课标 1 理科第 17 题