专题11 计数原理-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编（全国通用版）含解析.pdf

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1、2013-2022 十年全国高考数学真题分类汇编十年全国高考数学真题分类汇编专题专题 11 计数原理计数原理一、选择题一、选择题1(2020 年新高考 I 卷(山东卷)第 3 题)6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有()A120 种B90 种C60 种D30 种2(2020 新高考 II 卷(海南卷)第 6 题)要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有()A2 种B3 种C6 种D8 种3(2021 年高考全国乙

2、卷理科第 6 题)将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有()A60 种B120 种C240 种D480 种4(2020 年高考数学课标卷理科第 8 题)25()()xxyxy的展开式中 x3y3的系数为()A5B10C15D205(2019 年高考数学课标卷理科第 4 题)24121xx()()的展开式中3x的系数为()A12B16C20D246(2018 年高考数学课标卷(理)第 5 题)522xx的展开式中4x的系数为()A10B20C40D807(2017 年高

3、考数学新课标卷理科第 6 题)621(1)(1)xx展开式中2x的系数为()A15B20C30D358(2017 年高考数学课标卷理科第 4 题)52xyxy的展开式中33x y的系数为()A80B40C40D809(2017 年高考数学课标卷理科第 6 题)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有()A12 种B18 种C24 种D36 种10(2016 高考数学课标卷理科第 5 题)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()()A24B18

4、C12D911(2015 高考数学新课标 1 理科第 10 题)25()xxy的展开式中，52x y的系数为()A10B20C30D6012(2013 高考数学新课标 2 理科第 5 题)已知5(1)(1)axx的展开式中2x的系数为 5，则a等于()A4B3C2D113(2013 高考数学新课标 1 理科第 9 题)设 m 为正整数，2()mxy展开式的二项式系数的最大值为a，21()mxy展开式的二项式系数的最大值为b，若 13a=7b，则m()A5B6C7D8二、多选题二、多选题14(2021 年新高考全国卷第 12 题)设正整数010112222kkkknaaaa，其中0,1ia，记

5、01knaaa则()A 2nnB 231nnC8543nnD21nn三、填空题三、填空题15(2022 新高考全国 I 卷第 13 题)81()yxyx的展开式中26x y的系数为_(用数字作答)16(2020 年高考数学课标卷理科第 14 题)4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有_种17(2020 年高考数学课标卷理科第 14 题)262()xx的展开式中常数项是_(用数字作答)18(2018 年高考数学课标卷(理)第 15 题)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则

6、不同的选法共有种。(用数字填写答案)19(2016 高考数学课标卷理科第 14 题)5(2)xx的展开式中，3x的系数是(用数字填写答案)20(2015 高考数学新课标 2 理科第 15 题)4()(1)axx的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为 32，则a _21(2014 高考数学课标 2 理科第 13 题)10 xa的展开式中，x7的系数为 15，则a=_(用数字填写答案)22(2014 高考数学课标 1 理科第 13 题)8()()xy xy的展开式中27x y的系数为_(用数字填写答案)2013-2022 十年全国高考数学真题分类汇编十年全国高考数学真题分类汇编专题专题 11 计数原

7、理计数原理一、选择题一、选择题1(2020 年新高考 I 卷(山东卷)第 3 题)6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有()A120 种B90 种C60 种D30 种【答案】【答案】C解析：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆故不同的安排方法共有12656 1060CC种故选：C【题目栏目】计数原理排列与组合问题的综合应用【题目来源】2020 年新高考 I 卷(山东卷)第 3 题2(2020 新高考

8、 II 卷(海南卷)第 6 题)要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有()A2 种B3 种C6 种D8 种【答案】【答案】C解析：第一步，将 3 名学生分成两个组，有12323C C 种分法第二步，将 2 组学生安排到 2 个村，有222A 种安排方法所以，不同的安排方法共有3 26种，故选：C【题目栏目】计数原理排列与组合问题的综合应用【题目来源】2020 新高考 II 卷(海南卷)第 6 题3(2021 年高考全国乙卷理科第 6 题)将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4个项目进行培训，

9、每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有()A60 种B120 种C240 种D480 种【答案】【答案】C解析：根据题意，有一个项目中分配 2 名志愿者，其余各项目中分配 1 名志愿者，可以先从 5 名志愿者中任选 2 人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有 4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C 种不同的分配方案，故选：C【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解【题目栏目】

10、计数原理排列与组合问题的综合应用【题目来源】2021 年高考全国乙卷理科第 6 题4(2020 年高考数学课标卷理科第 8 题)25()()xxyxy的展开式中 x3y3的系数为()A5B10C15D20【答案】【答案】C【解析】5()xy展开式的通项公式为515rrrrTC xy(rN且5r)所以2yxx的各项与5()xy展开式的通项的乘积可表示为：56155rrrrrrrxTxC xyC xy和22542155rrrrrrrTC xyxCyyyxx在615rrrrxTC xy中，令3r，可得：33345xTC x y，该项中33x y的系数为10，在42152rrrrTC xxyy中，令1

11、r，可得：521332TCyxxy，该项中33x y的系数为5所以33x y的系数为10515故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题【题目栏目】计数原理二项式定理二项式定理【题目来源】2020 年高考数学课标卷理科第 8 题5(2019 年高考数学课标卷理科第 4 题)24121xx()()的展开式中3x的系数为()A12B16C20D24【答案【答案】【答案】A【解析】因为2442412112=1xxxxx()()()()，所以3x的系数为314424812CC，故选A【点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展

12、开式指定项的系数，是常规考法。【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用【题目来源】2019 年高考数学课标卷理科第 4 题6(2018 年高考数学课标卷(理)第 5 题)522xx的展开式中4x的系数为()A10B20C40D80【答案】【答案】C解析：522xx展开式的通项公式为5210 35522rrrrrrCxCxx，令1034r，解得2r，故含4x的系数为225240C，故选 C【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用【题目来源】2018 年高考数学课标卷(理)第 5 题7(2017 年高考数学新课标卷理科第 6 题)621(1)(1)xx展开式中2x的系数

13、为()A15B20C30D35【答案】【答案】C【解 析】因 为6662211(1)(1)1(1)(1)xxxxx,则6(1)x展 开 式 中 含2x的 项 为2226115C xx,621(1)xx展开式中含2x的项为44262115C xxx,故2x前系数为15 1530,选 C【考点】二项式定理【点评】对于两个二项式乘积的问题,第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,分析好2x的项共有几项,进行加和这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况,尤其是两个二项式展开式中的r不同【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用【题目来源】2017 年高考数学新课标卷理科第

14、 6 题8(2017 年高考数学课标卷理科第 4 题)52xyxy的展开式中33x y的系数为()A80B40C40D80【答案】【答案】C【解析】555222xyxyxxyyxy,由52xy展开式的通项公式:5152rrrrTCxy可得:当3r 时,52xxy展开式中33x y的系数为33252140C ,当2r 时,52yxy展开式中33x y的系数为22352180C ,则33x y的系数为804040故选 C【考点】二项式展开式的通项公式【点评】(1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项

15、式系数中 n 和 r 的隐含条件,即 n,r 均为非负整数,且 nr,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再求所求解的项(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用【题目来源】2017 年高考数学课标卷理科第 4 题9(2017 年高考数学课标卷理科第 6 题)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有()A12 种B18 种C24 种D36 种【答案】【答案】D【命题意图命题意图】本题主要考查基本计数原理的应用，以考查考生的逻辑

16、分析能力和运算求解能力为主【解析解析】解法一：分组分配之分人解法一：分组分配之分人首先 分组将三人分成两组，一组为三个人，有336A 种可能，另外一组从三人在选调一人，有133C 种可能；其次 排序两组前后在排序，在对位找工作即可，有222A 种可能；共计有 36 种可能解法二：分组分配之分工作解法二：分组分配之分工作工作分成三份有246C 种可能，在把三组工作分给 3 个人有336A 可能，共计有 36 种可能解法三：分组分配之人与工作互动解法三：分组分配之人与工作互动先让先个人个完成一项工作，有3424A 种可能，剩下的一项工作在有 3 人中一人完成有133C 种可能，但由两项工作人数相同

17、，所以要除以222A，共计有 36 种可能解法四：占位法解法四：占位法其中必有一个完成两项工作，选出此人，让其先占位，即有123418CC中可能；剩下的两项工作由剩下的两个人去完成，即有222A 种可能，按分步计数原理求得结果为 36 种可能解法五：隔板法和环桌排列解法五：隔板法和环桌排列首先让其环桌排列，在插两个隔板，有246C 种可能，在分配给 3 人工作有336A 种可能，按分步计数原理求得结果为 36 种可能【知识拓展知识拓展】计数原理属于必考考点，常考题型有 1排列组合；2二项式定理，几乎二者是隔一年或隔两年交互出题，排列组合这种排序问题常考，已经属于高考常态，利用二项式定理求某一项

18、的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态，尤其是利用二项式定理求某一项的系数更为突出【题目栏目】计数原理组合问题【题目来源】2017 年高考数学课标卷理科第 6 题10(2016 高考数学课标卷理科第 5 题)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()()A24B18C12D9【答案】【答案】B【解析】EF有246C 种走法，FG有233C种走法，由乘法原理知，共6 318 种走法故选 B【题目栏目】计数原理组合问题【题目来源】2016 高考数学课标卷理科第 5 题11(2015 高考数学新课标 1 理科第

19、 10 题)25()xxy的展开式中，52x y的系数为()A10B20C30D60【答案】【答案】C解析：在25()xxy的 5 个因式中，2 个取因式中2x剩余的 3 个因式中 1 个取x，其余因式取 y,故52x y的系数为212532C C C=30，故选 C考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用【题目来源】2015 高考数学新

20、课标 1 理科第 10 题12(2013 高考数学新课标 2 理科第 5 题)已知5(1)(1)axx的展开式中2x的系数为 5，则a等于()A4B3C2D1【答案】【答案】D解析：5(1)(1)axx中含2x的项为：21255()CC a x，即21555,1CC aa 考点：(1)1071 求二项展开式的指定项或指定项系数；难度：B备注：高频考点【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用【题目来源】2013 高考数学新课标 2 理科第 5 题13(2013 高考数学新课标 1 理科第 9 题)设 m 为正整数，2()mxy展开式的二项式系数的最大值为a，21()mxy展开式的二

21、项式系数的最大值为b，若 13a=7b，则m()A5B6C7D8【答案】【答案】解析：由题知a=2mmC，b=121mmC，132mmC=7121mmC，即13(2)!mm m=7(21)!(1)!mmm，解得m=6，故选 B考点:(1)1072 求最大系数或系数最大的项；(2)1311 函数与方程思想难度：备注：高频考点【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用【题目来源】2013 高考数学新课标 1 理科第 9 题二、多选题二、多选题14(2021 年新高考全国卷第 12 题)设正整数010112222kkkknaaaa，其中0,1ia，记 01knaaa则()A 2nnB 2

22、31nnC8543nnD21nn【答案】【答案】ACD解 析:对 于 A 选 项，01knaaa，12101122222kkkknaaaa，所 以，012knaaan，A 选项正确；对于 B 选项，取2n，0122371 21 21 2n ，73，而0120 21 2，则 21，即 721，B 选项错误；对于 C 选项，3430234301018522251 21 2222kkkknaaaaaa ，所以，01852knaaa，2320123201014322231 21 2222kkkknaaaaaa ，所以，01432knaaa，因此，8543nn，C 选项正确；对于 D 选项，011212

23、22nn，故21nn，D 选项正确故选 ACD【题目栏目】计数原理二项式定理二项式定理的应用【题目来源】2021 年新高考全国卷第 12 题三、填空题三、填空题15(2022 新高考全国 I 卷第 13 题)81()yxyx的展开式中26x y的系数为_(用数字作答)【答案】【答案】-28解析：因为8881=yyxyxyxyxx，所以81yxyx的展开式中含26x y的项为6265352688C28yx yC x yx yx，81yxyx的展开式中26x y的系数为-28故答案为：-28【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式中的系数和问题【题目来源】2022 新高考全国 I 卷第 13 题1

24、6(2020 年高考数学课标卷理科第 14 题)4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有_种【答案】【答案】36解析：4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1名同学先取 2 名同学看作一组，选法有：246C 现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有：336A 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6 636种故答案为：36【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题【题目栏目】计数

25、原理两个计数原理的综合应用【题目来源】2020 年高考数学课标卷理科第 14 题17(2020 年高考数学课标卷理科第 14 题)262()xx的展开式中常数项是_(用数字作答)【答案】【答案】240解析：622xx其二项式展开通项：62612rrrrCxxT12 26(2)rrrrxCx12 36(2)rrrCx当1230r，解得4r 622xx的展开式中常数项是：6644221615 16240CC故答案为：240【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握nab的展开通项公式1Crn rrrnTab，考查了分析能力和计算能力，属于基础题【题目栏目】计数原

26、理二项式定理二项展开式通项公式的应用【题目来源】2020 年高考数学课标卷理科第 14 题18(2018 年高考数学课标卷(理)第 15 题)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有种。(用数字填写答案)【答案】【答案】16解析：方法一：直接法，1 女 2 男，有122412C C，2 女 1 男，有21244C C根据分类计数原理可得，共有 12+4=16 种，方法二，间接法：336420416CC种【题目栏目】计数原理排列问题【题目来源】2018 年高考数学课标卷(理)第 15 题19(2016 高考数学课标卷理科第 14 题)5(2)

27、xx的展开式中，3x的系数是(用数字填写答案)【答 案】【答 案】10【解 析】设 展 开 式 的 第1k 项 为1kT，0,1,2,3,4,5k5552155C2C 2kkkkkkkTxxx当532k时，4k，即4545 43255C 210Txx故答案为 10【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用【题目来源】2016 高考数学课标卷理科第 14 题20(2015 高考数学新课标 2 理科第 15 题)4()(1)axx的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为 32，则a _【答案】【答案】3分析：由已知得4234(1)1464xxxxx，故4()(1)axx的展开式中 x 的奇

28、数次幂项分别为4ax，34ax，x，36x，5x，其系数之和为441+6+1=32aa，解得3a 考点：二项式定理【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用【题目来源】2015 高考数学新课标 2 理科第 15 题21(2014 高考数学课标 2 理科第 13 题)10 xa的展开式中，x7的系数为 15，则a=_(用数字填写答案)【答案】【答案】12解析：7373C15C15x aaaa3310101,.2故a12考点：(1)求二项展开式的指定项或指定项系数；(2)组合数的运算。难度：B备注：常考题【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用【题目来源】2014 高考数

29、学课标 2 理科第 13 题22(2014 高考数学课标 1 理科第 13 题)8()()xy xy的展开式中27x y的系数为_(用数字填写答案)【答案】【答案】20解析:8()xy展开式的通项为818(0,1,8)rrrrTC xyr,777888TC xyxy,626267828TC x yx y8()()xy xy的展开式中27x y的项为7262782820 xxyyx yx y,故系数为20考点:(1)求二项式展开式的指定项系数(2)二项式的通项公式(3)函数与方程的思想难度:B备注:常考题【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用【题目来源】2014 高考数学课标 1 理科第 13 题