专题08 不等式-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编（全国通用版）含解析.pdf

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1、2013-2022 十年全国高考数学真题分类汇编十年全国高考数学真题分类汇编专题专题 08 不等式不等式一、选择题一、选择题1(2019 年高考数学课标全国卷理科第 3 题)已知2log 0.2a，0.22b，0.30.2c，则()AabcBacbCcabDbca2(2018 年高考数学课标卷(理)第 12 题)设0.2log0.3a，2log 0.3b，则()A0ababB0ababC0ababD0abab3(2017 年高考数学课标卷理科第 5 题)设x，y满足约束条件2330233030 xyxyy，则2zxy的最小值是()A15B9C1D94(2014 高考数学课标 2 理科第 9 题

2、)设 x,y 满足约束条件x+yxy+xy70-310350，则zxy2的最大值为()A10B8C3D25(2014 高考数学课标 1 理科第 9 题)不等式组124xyxy的解集记为D有下面四个命题:1:,22px yD xy；2:,22px yD xy3:,23px yD xy；4:,21px yD xy 其中真命题是()A23,ppB14,p pC12,p pD13,p p6(2013 高考数学新课标 2 理科第 9 题)已知0,ax y满足约束条件13(3)xxyya x若2zxy的最小值为 1，则a等于()A14B12C1D2二、多选题二、多选题7(2022 新高考全国 II 卷第

3、12 题)若 x，y 满足221xyxy，则()A1xyB2xy C222xyD221xy8(2020 年新高考 I 卷(山东卷)第 11 题)已知 a0，b0，且 a+b=1，则()A2212abB122a bC22loglog2ab D2ab9(2020 新高考 II 卷(海南卷)第 12 题)已知 a0，b0，且 a+b=1，则()A2212abB122a bC22loglog2ab D2ab三、填空题三、填空题10(2020 年高考数学课标卷理科第 13 题)若 x，y 满足约束条件220,10,10,xyxyy 则 z=x+7y的最大值为_11(2020 年高考数学课标卷理科第 13

4、 题)若 x，y 满足约束条件0,201,xyxyx，则 z=3x+2y 的最大值为_12(2018 年高考数学课标卷(理)第 14 题)若,x y满足约束条件250,230,50,xyxyx则zxy的最大值为_13(2018 年高考数学课标卷(理)第 13 题)若,x y满足约束条件220100 xyxyy，则32zxy最大值为14(2017 年高考数学新课标卷理科第 14 题)设,x y满足约束条件21210 xyxyxy,则32zxy的最小值为_15(2017 年高考数学课标卷理科第 13 题)若x,y满足约束条件y0200 xxyy,则z34xy的最小值为_16(2016 高考数学课标

5、卷理科第 13 题)若,x y满足约束条件1020220 xyxyxy,则zxy的最大值为_.17(2016 高考数学课标卷理科第 16 题)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元18(2015 高考数学新课标 2 理科第 14

6、 题)若,x y满足约束条件1020,220,xyxyxy，则zxy的最大值为_19(2015 高考数学新课标 1 理科第 15 题)若,x y满足约束条件10,0,40,xxyxy 则yx的最大值为2013-2022 十年全国高考数学真题分类汇编十年全国高考数学真题分类汇编专题专题 08 不等式不等式一、选择题一、选择题1(2019 年高考数学课标全国卷理科第 3 题)已知2log 0.2a，0.22b，0.30.2c，则()AabcBacbCcabDbca【答案】【答案】答案：B解析：22log 0.2log 10a，0.20221b，0.300.20.21,(0,1)cc，故acb【题目

7、栏目】不等式不等式的性质及其应用比较实数或代数式的大小【题目来源】2019 年高考数学课标全国卷理科第 3 题2(2018 年高考数学课标卷(理)第 12 题)设0.2log0.3a，2log 0.3b，则()A0ababB0ababC0ababD0abab【答案】【答案】B解析：一方面0.2log0.30,1a，2log 0.32,1b ，所以0ab0.31log0.2a，0.31log2b，所以0.30.311log0.2 2log0.40,1ab所以1101ab即01abab，而0ab，所以0ab，所以1abababab 综上可知0abab，故选 B【题目栏目】不等式基本不等式利用基本不

8、等式证明简单不等式【题目来源】2018 年高考数学课标卷(理)第 12 题3(2017 年高考数学课标卷理科第 5 题)设x，y满足约束条件2330233030 xyxyy，则2zxy的最小值是()A15B9C1D9【解析解析】解法一：常规解法解法一：常规解法根据约束条件2330233030 xyxyy画出可行域(图中阴影部分),作直线:20lxy，平移直线l，将直线平移到点A处Z最小，点A的坐标为6,3，将点A的坐标代到目标函数2Zxy，可得15Z ，即min15Z 解法二：直接求法解法二：直接求法对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的为最小值即可

9、，点A的坐标为6,3，点B的坐标为6,3，点C的坐标为0,1，所求值分别为1591，故min15Z，max9Z解法三：隔板法解法三：隔板法首先 看约束条件方程的斜率约束条件方程的斜率分别为23230；其次 排序按照坐标系位置排序23023；再次 看目标函数的斜率和y前的系数看目标函数的斜率和y前的系数分别为21；最后 画初始位置，跳格，找到最小值点目标函数的斜率在2,03之间，即为初始位置，y前的系数为正，则按逆时针旋转，第一格为最大值点，即2 2,3 3，第二个格为最小值点，即20,3，只需解斜率为0和23这两条线的交点即可，其实就是点A，点A的坐标为6,3，将点A的坐标代到目标函数2Zxy

10、，可得15Z ，即min15Z【知识拓展知识拓展】线性规划属于不等式范围，是高考必考考点，常考查数学的数形结合能力，一般变化只在两个方向变化，1约束条件的变化；2目标函数的变化；约束条件变化从封闭程度方面lAy=-32x+3y-3=02x-3y+3=0 xOyCB变化，目标函数则从方程的几何意义上变化，但此题型属于高考热点题型(已知封闭的约束条件，求已知的二元一次方程目标函数)，此题型属于过渡中档题，只需多积累各题型解决的方法即可【题目栏目】不等式简单的线性规划问题线性型目标函数的最值问题【题目来源】2017 年高考数学课标卷理科第 5 题4(2014 高考数学课标 2 理科第 9 题)设 x

11、,y 满足约束条件x+yxy+xy70-310350，则zxy2的最大值为()A10B8C3D2【答案】【答案】B解析：画出不等式表示的平面区域，可以平移直线2yxz=-，可得最大值为 8考点：(1)二元一次不等式(组)表示平面区域；(2)求线性目标函数的最值问题。难度：B备注：常考题【题目栏目】不等式简单的线性规划问题线性型目标函数的最值问题【题目来源】2014 高考数学课标 2 理科第 9 题5(2014 高考数学课标 1 理科第 9 题)不等式组124xyxy的解集记为D有下面四个命题:1:,22px yD xy；2:,22px yD xy3:,23px yD xy；4:,21px yD

12、 xy 其中真命题是()A23,ppB14,p pC12,p pD13,p p【答案】【答案】C解析:作出可行域如图:设2xyz，即122zyx 当直线过2,1A时，min220z ，0z，命题1p、2p真命题，选 C考点:(1)二元一次不等式组表示平面区域(2)求线性目标函数的最值问题(3)全(特)称命题真假判断(4)数形结合思想难度:C备注:高频考点【题目栏目】不等式简单的线性规划问题线性型目标函数的最值问题【题目来源】2014 高考数学课标 1 理科第 9 题6(2013 高考数学新课标 2 理科第 9 题)已知0,ax y满足约束条件13(3)xxyya x若2zxy的最小值为 1，则

13、a等于()A14B12C1D2【答案】【答案】B解析：由121xxy得到1,1xy，代入(3)ya x得12a 考点：(1)741 二元一次不等式(组)表示平面区域；(2)742 求线性目标函数的最值问题难度：B备注：高频考点【题目栏目】不等式简单的线性规划问题线性型目标函数的最值问题【题目来源】2013 高考数学新课标 2 理科第 9 题二、多选题二、多选题7(2022 新高考全国 II 卷第 12 题)若 x，y 满足221xyxy，则()A1xyB2xy C222xyD221xy【答案】【答案】BC解 析：因 为22222ababab(,a bR)，由221xyxy可 变 形 为，221

14、332xyxyxy，解得22xy，当且仅当1xy 时，2xy，当且仅当1xy时，2xy，所以 A 错误，B 正确；由221xyxy可变形为222212xyxyxy，解得222xy，当且仅当1xy 时取等号，所以 C 正确；因为221xyxy变形可得223124yxy，设3cos,sin22yxy，所以12cossin,sin33xy，因此222252111cossinsincos1sin2cos233333xy 422sin 2,23363，所以当33,33xy 时满足等式，但是221xy不成立，所以D 错误故选：BC【题目栏目】不等式基本不等式基本不等式的实际应用【题目来源】2022 新高考

15、全国 II 卷第 12 题8(2020 年新高考 I 卷(山东卷)第 11 题)已知 a0，b0，且 a+b=1，则()A2212abB122a bC22loglog2ab D2ab【答案】【答案】ABD解析：对于 A，222221221abaaaa21211222a，当且仅当12ab时，等号成立，故 A 正确；对于 B，211aba ，所以11222a b，故 B 正确；对于 C，2222221logloglogloglog224ababab，当且仅当12ab时，等号成立，故 C 不正确；对于 D，因为21212ababab ，所以2ab，当且仅当12ab时，等号成立，故 D 正确；故选：A

16、BD【题目栏目】不等式不等式的综合问题【题目来源】2020 年新高考 I 卷(山东卷)第 11 题9(2020 新高考 II 卷(海南卷)第 12 题)已知 a0，b0，且 a+b=1，则()A2212abB122a bC22loglog2ab D2ab【答案】【答案】ABD解析：对于 A，222221221abaaaa21211222a，当且仅当12ab时，等号成立，故 A 正确；对于 B，211aba ，所以11222a b，故 B 正确；对于 C，2222221logloglogloglog224ababab，当且仅当12ab时，等号成立，故 C 不正确；对于 D，因为21212abab

17、ab ，所以2ab，当且仅当12ab时，等号成立，故 D 正确；故选：ABD【题目栏目】不等式不等式的综合问题【题目来源】2020 新高考 II 卷(海南卷)第 12 题三、填空题三、填空题10(2020 年高考数学课标卷理科第 13 题)若 x，y 满足约束条件220,10,10,xyxyy 则 z=x+7y的最大值为_【答案】【答案】1【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7zxy即：1177yxz，其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程：22010 xyxy，可得点 A

18、的坐标为：()1,0A，据此可知目标函数的最大值为：max17 01z 故答案为：1【点睛】求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大【题目栏目】不等式简单的线性规划问题线性型目标函数的最值问题【题目来源】2020 年高考数学课标卷理科第 13 题11(2020 年高考数学课标卷理科第 13 题)若 x，y 满足约束条件0,201,xyxyx，则 z=3x+2y 的最大值为_【答案】【答案】7解析：

19、不等式组所表示的可行域如图因为32zxy，所以322xzy ，易知截距2z越大，则z越大，平移直线32xy ，当322xzy 经过 A 点时截距最大，此时 z 最大，由21yxx，得12xy，(1,2)A，所以max3 1227z 故答案为：7【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题【题目栏目】不等式简单的线性规划问题线性型目标函数的最值问题【题目来源】2020 年高考数学课标卷理科第 13 题12(2018 年高考数学课标卷(理)第 14 题)若,x y满足约束条件250,230,50,xyxyx则zxy的最大值为_【答案】【

20、答案】9解析：作出可行域，则直线zxy过点(5,4)A时z取得最大值 9【题目栏目】不等式简单的线性规划问题线性型目标函数的最值问题【题目来源】2018 年高考数学课标卷(理)第 14 题13(2018 年高考数学课标卷(理)第 13 题)若,x y满足约束条件220100 xyxyy，则32zxy最大值为【答案】【答案】6解析：作出不等式组对应的平面区域如图由32zxy得31+22yxz，平移直线31+22yxz，由图象知当直线31+22yxz 经过点2,0A时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为326z，故答案为 6【题目栏目】不等式简单的线性规划问题线性型目标函数的最值问题【题目来源】

21、2018 年高考数学课标卷(理)第 13 题14(2017 年高考数学新课标卷理科第 14 题)设,x y满足约束条件21210 xyxyxy,则32zxy的最小值为_【答案】【答案】5【解析】不等式21210 xyxyxy 组表示的可行域为如图所示易求得111 1(1,1),(,),(,)333 3ABC直线32zxy得322zyx在y轴上的截距越大,z就越小所以,当直线32zxy过点A时,z取得最小值所以z取得最小值为3(1)2 15 【考点】线性规则【点评】本题是常规的线性规划问题,线性规划问题常出现的形式有:直线型:转化成斜截式比较截距,要注意z前系数为负时,截距越大,z值越小;分式型

22、:其几何意义是已知点与未知点的斜率;平方型:其几何意义是距离,尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方;绝对值型:转化后其几何意义是点到直线的距离【题目栏目】不等式简单的线性规划问题线性型目标函数的最值问题【题目来源】2017 年高考数学新课标卷理科第 14 题15(2017 年高考数学课标卷理科第 13 题)若x,y满足约束条件y0200 xxyy,则z34xy的最小值为_【答案】【答案】1【解析】绘制不等式组表示的可行域,目标函数即:3144yxz,其中z表示斜率为34k 的直线系与可行域有交点时直线的截距值的14倍,截距最大的时候目标函数取得最小值,数形结合可得目标函数在点1,1A处取得最

23、小值341zxy【考点】应用线性规划求最值【点评】求线性目标函数 z=ax+by(ab0)的最值,当 b0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值最大,在 y 轴截距最小时,z 值最小;当 b0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值最小,在 y 轴上截距最小时,z 值最大【题目栏目】不等式简单的线性规划问题线性型目标函数的最值问题【题目来源】2017 年高考数学课标卷理科第 13 题16(2016 高考数学课标卷理科第 13 题)若,x y满足约束条件1020220 xyxyxy,则zxy的最大值为_.【答案】【答案】32【解析】作出不等式组满足的平面区域,可知当目标函数

24、经过点1(1,)2A时取得最大值,即max13122z.10 xy 20 xy220 xyyx【题目栏目】不等式简单的线性规划问题线性型目标函数的最值问题【题目来源】2016 高考数学课标卷理科第 13 题17(2016 高考数学课标卷理科第 16 题)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过 600

25、 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元【答案【答案】216000【解析】设生产 A 产品x件，B 产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为*1.50.51500.3905360000 xyxyxyxyxNyN 目标函数2100900zxy作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)在(60,100)处取得最大值，2100 60900 100216000z【题目栏目】不等式简单的线性规划问题线性规划的简单应用【题目来源】2016 高考数学课标卷理科第 16 题18(2015 高考数学新课

26、标 2 理科第 14 题)若,x y满足约束条件1020,220,xyxyxy，则zxy的最大值为_【答案】【答案】32解析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为yxz ，当z取到最大时，直线yxz 的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D，则zxy的最大值为32考点：线性规划【题目栏目】不等式简单的线性规划问题线性型目标函数的最值问题【题目来源】2015 高考数学新课标 2 理科第 14 题19(2015 高考数学新课标 1 理科第 15 题)若,x y满足约束条件10,0,40,xxyxy 则yx的最大值为【答案】【答案】3解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点 A(1,3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为 3考点：线性规划解法【题目栏目】不等式简单的线性规划问题线性型目标函数的最值问题【题目来源】2015 高考数学新课标 1 理科第 15 题