江西省赣州市2023届高三年级（一模）理科数学含答案.pdf

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1、赣州市 2023 年摸底考试理科数学参考答案 1赣州市 2023 年高三年级摸底考试数学(理科)参考答案一、选择题题号123456789101112答案BABDCDCDACBD11解：由题意得1122FMFFc，由椭圆定义得：222MFac记12MFF，则212AF FMF A，121222FF MFMFMAF ，则2122AFAFac，42AMca，故122MFFMF A，则2122MFAMFFMF(或由内角平分线定理得到)，则2accacac，即222510102cacaeee (负值已舍)12解：如图，设,E F 分别为棱11BC C D,的中点，则三棱锥1MAAN与三棱柱1AEMANF

2、外接球相同由余弦定理4cos5EAM，由正弦定理EAM外接圆半径5 22r，设三棱柱1AEMANF外接球半径为R，则2224332Rr，则三棱锥1MAAN外接球的表面积24344862SR二、填空题132；141e；153与2中的任选一个即可；1616.解：由(1)0f 结合()(2)1,(4)()3f xg xf xg x，(1)1,(3)3gg 由(4)()3f xg x得：(44)(4)3f xg x，即()(4)3f xg x，结合()(2)1f xg x得：(2)(4)2g xg x，从而有()(2)2g xg x，进而得：()(4)g xg x，故4是()g x的周期.又由()yf

3、 x的图像关于直线1x 对称，即()(2)f xfx，从而()(2)1f xg x可得：(2)(2)1fxg x，从而有：2(6)(6)2 1fxgx ，即(4)(8)1f xgx，结合(4)()3f xg x得(8)()2gxg x，()g x的图像关于(4,1)对称，且(4)1g，又()(2)2g xg x，得(2)1g.赣州市 2023 年摸底考试理科数学参考答案 2三、解答题17解：(1)由21222nnnaaa当1n 时，1124aa1 分当2n时，有2121(1)(1)22nnnaaa3 分得：nan，即2nan5 分1a不符合上式，故24,1,2nnan n6 分(2)由(1)知

4、21,161,2nnbnnn1,1611,21nnbnnn7 分故当1n 时，116S 8 分当2n时，1231111111623341nnSbbbbnn10 分11121216213131nnSnnn11 分因1S符合上式，故2131nnSn12 分18解：(1)设 A 小区方案一的满意度平均分为x，则45 0.00655 0.01465 0.01875 0.031 85 0.021 95 0.0 101072.7x2 分设 B 小区方案二的满意度平均分为y，则45 0.00555 0.01065 0.01075 0.02085 0.03295 0.0 231078.3y3 分72.778.

5、34 分方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎5 分(2)由题意可知方案二中，满意度不低于 70 分的频率为30.0200.0320.023100.754，低于 70分的频率为10.0050.0050.015100.2546 分现从 B 小区内随机抽取 5 个人，X 的所有可能取值为0 1 2 3 4 5 ,，则35,4XB:7 分赣州市 2023 年摸底考试理科数学参考答案 3505110C41024P X，41531151C441024P X8 分22533190452C410245142P X，5323312701353C410245124P X9 分445314054C444102P X

6、，55532435C41024P X10 分X 的分布列为X012345P11024151024455121355124051024243102411 分期望154EX 12 分19证：(1)证明：如图，连接AM，ABAP，M为PB的中点，AMPB1 分又平面PAB 平面PBC，平面PAB平面PBCBP，AM平面PAB，故AM 平面PBC2 分PC平面PBC，AMPC3 分又PCMN，且AMMNM，AM MN,平面AMDPC 平面AMD；而AD平面AMD，PCAD4 分(2)解：由ABP为等边三角形，2PB，得3AM 5 分如图，过C作MA的平行线z轴，结合(1)知zCB CP 轴,两两垂直，

7、故可建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则0,0,0C，1,0,0P，13,022M，13,322A，0,3,0B，设,x y zn为平面PAC的一个法向量 6 分则0,0,CACP nn7 分赣州市 2023 年摸底考试理科数学参考答案 4又13,322CA，1,0,0CP ，得1330,220,xyzx取2y，得1z ，则0,2,1n8 分N为AD的中点，1130,0222ANADCB 9 分0,0,3AM ，330,00,0,30,322MNANAM 10 分则2 34cos,51552MNMNMN nnn11 分设直线MN与平面PAC所成角为，则4sincos,5MN n12 分20

8、解：（1）因为点0(2,)My在C上，则204yp，而0142 2OFMpSy2 分所以016yp3 分2164pp，所以4p 4 分该抛物线的方程为28yx5分法一：设11,A x y，22,B xy，120 x x，不妨设10y，90BOA，则2212121212088yyx xy yy y，解得1264y y 6 分当AB与x轴不垂直时，120yy，12xx，此时直线AB的方程为：121112yyyxxyxx，整理得1212128y yyxyyyy7 分1264y y ，AB的方程为：1288yxyy，则直线AB恒过定点8,0M8 分ONAB，即ONNM，N在以OM为直径的圆上，该圆方程

9、为22416xy9 分即当Q为该圆心4,0时，4NQ 为定值 10 分当ABx轴时，128yy，此时128xx，ONAB，8,0N；赣州市 2023 年摸底考试理科数学参考答案 5当4,0Q时，也满足4NQ 11 分综上，平面内存在一个定点4,0Q，使得QN为定值412 分法二：设直线AB的方程为xmyn，11,A x y，22,B xy，联立22,8808,xmynymynyx6 分由题意264320mn，由韦达定理得：12128,8yym yyn 7 分由90BOA，即2212121212064y yOA OBx xy yy y 解得1264y y 8分即128648yynn ，直线AB恒

10、过定点8,0M10 分下同法一21解：(1)法一：由()ex af xx得()e1x afx，故当(,)xa 时，()0fx；当(,)xa时，()0fx故函数()f x在区间(,)a上单调递减，在(,)a 上单调递增1 分min()()1f xf aa，当1a 时，min()0f x，函数()f x无零点 2 分当1a 时，min()0f x，函数()f x有一个零点 3 分当1a 时，()0f a，又(0)e0af，(2)e20afaa4 分故当1a 时，函数()f x有两个零点5 分法二：方程e0 x ax等解于方程ln0 xxa，记1()ln()1F xxxaF xx，故当0,1x时，(

11、)0F x；当1,x时，()0F x故函数()F x在区间0,1上单调递减，在1,上单调递增 1 分min()(1)1F xga，当1a 时，函数()g x，即()f x无零点 2 分当1a 时，函数()g x即()f x有一个零点 3 分当1a 时，由(e)e20aaga，11()0eeaag4 分赣州市 2023 年摸底考试理科数学参考答案 6故当1a 时，函数()g x，即()f x有两个零点 5 分(2)法一：由 eln1x ag xxxa x，得：elnelnx ax agxxaxxxa6 分由(1)知：当1,3ln3a时，f x有 两 个 零 点12,x x(不 妨 设12xx)，

12、同 时12,x x也 是 lnF xxxa的两个零点，且函数 f x与 F x单调性完全相同 7 分()g x在 120,xx 上单调递增，在12,x x上单调递减 8 分 g x的极小值为 22222eln1xah ag xxxa x9 分又2x满足22e0 xax，即22lnaxx，代入上式得 2222222222ln1ln2h ag xxxxxxxxx10 分又22ln1,3ln3axx，21,3x 11 分 23,1h ag x 12 分法二：由 elnx agxxa，记 1ex am xgxm xx，结合1,3ln3a显然函数 m x在0,上单调递增，且 111e10,10amm a

13、a ，故存在唯一01,xa，使得00m x，且当00,xx时，0m x；当0,xx时，()0m x，故 gx在00,x上单调递减，在0,x 单调递增，又 11e1e0,1e0,2eln20eaaaaggagaaa，故存在两个零点12,x x(不妨设12xx)，下同法一注：eln0elnx ax axaxxxa，即 lnf xfxa或eln0eelnex axaaxaxxx均可处理22解：由曲线12cos,:sin,xCy(为参数)，得2222cossin12xy,曲线1C的普通方程为2212xy1 分又由cosx，siny得2222cos2sin2，曲线1C的极坐标方程为2222cos2sin

14、23分又曲线2:Cr，得22r，即222xyr4 分赣州市 2023 年摸底考试理科数学参考答案 7曲线2C的普通方程为2220 xyrr5 分由题意90AOB，设1,A，则2,90B，又曲线2C与直线AB有且仅有一个公共点，r即为点O到直线AB的距离，由曲线1C的极坐标方程为2222cos2sin2，得2221cos2sin2，22211cos2sin26 分222222cos902sin901sin2cos227 分22121132，即221221232 8 分1222122633 9 分又OAOBABr，1222122633OAOBrAB，即所求实数r的值为6310 分23解：(1)不等

15、式()6f x 即2216xx1,2316,xx或12,236,xx 或2,316,xx2 分解得1523x，或122x，或723x4 分原不等式的解集为7 5,3 35 分(2)证明：122f xxaxa11222xaxxaa6 分11222axaa(当且仅当1202xaxa时取等号)8 分122aa(当且仅当12xa时取等号)9 分1222aa(当且仅当12a 时取等号)赣州市 2023 年摸底考试理科数学参考答案 8()2f x(当且仅当12a ，12xa时等号成立)10 分法二：122f xxaxa11222xaxxaa6 分知 f x在1,2a单调递减，在1,2a上单调递增8 分 min11222f xfaaa1222aa9 分 2f x(当且仅当12a ，12xa时等号成立)10 分