数学建模期末试卷A及答案.pdf

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1、1（10 分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求.(1(1）模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息）模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息.(2(2）模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设）模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设,使问题的使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。(3(3）模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题）模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，

2、把问题化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。4 4）模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作）模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。出进一步的简化或假设。（5 5）模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳）模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。定。(6(6）模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如）模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合

3、实际，如果不够理想，应该修改、补充假设果不够理想，应该修改、补充假设,或重新建模，不断完善或重新建模，不断完善.(7)(7)模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。善。2（10 分)试建立不允许缺货的生产销售存贮模型.设生产速率为常数，销售速率为常数，。在每个生产周期内,开始一段时间（)边生产边销售，后一段时间()只销售不生产,存贮量的变化如图所示。设每次生产开工费为,每件产品单位时间的存贮费为，以总费用最小为准则确定最优周期，并讨论和的情况。单位时间总费用，使达到最小的最优周期。当时，

4、单位时间总费用，使达到最小的最优周期。当时，相当于不考虑生产的情况；当时，相当于不考虑生产的情况；当时，因，因为产量被售量抵消，无法形成贮存量。为产量被售量抵消，无法形成贮存量。3（10 分）设表示时刻的人口，试解释阻滞增长(Logistic)模型中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。-时刻；时刻；时刻的人口数量时刻的人口数量;人口的固有增长率；人口的固有增长率；-自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；-初始时刻的人口数量初始时刻的人口数量人口增长到一定数量后，增长率下降的原因人口增长到一定数量后，增长率下降的原因:

5、资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用.且阻滞作用随人口数量增加而变大，从而人口增长率是人口数量的的减函数且阻滞作用随人口数量增加而变大，从而人口增长率是人口数量的的减函数.假设为的线性函数：假设为的线性函数：，其中，称为人口的固有增长率，表示人口很少时（理论上是）的增长率。其中，称为人口的固有增长率，表示人口很少时（理论上是）的增长率。当时人口不再增长当时人口不再增长,即增长率，代入有，从而有即增长率，代入有，从而有，根据根据 MalthusMalthus 人口模型人口模型,有有4(25 分）已知 8 个城市 v0，v1，v7之间有一个公路网(如图所示)，每

6、条公路为图中的边,边上的权数表示通过该公路所需的时间（1）设你处在城市v0，那么从v0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短？（1)1)到其它各点的最短路如下图：到其它各点的最短路如下图：各点的父点如下各点的父点如下:v0v0v1v1v2v2v3v3v4v4v5v5v6v6v7v7v0v0v0v0v0v0v2v2v3v3v0v0v5v5v3v3各点的最短路径及最短路长分别为各点的最短路径及最短路长分别为:v0v0：0 0v0v0v1v1：1 1v0v0v2v2：2 2v0v0v2v2v3v3：3 3v0v0v2v2v3v3v4:v4:6 6v0v0v5v5：4 4v0v0v5v5v6:v

7、6:6 6v0v0v2v2v3v3v7:v7:9 9（2 2）最小生成树如下图：）最小生成树如下图：7(10 分）有 12 个苹果，其中有一个与其它的 11 个不同，或者比它们轻,或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果,并说明它的轻重情况。先把苹果编号先把苹果编号 1 11212，把，把 1 14 4 和和 5 58 8 放在天平两边：放在天平两边：（1 1）两边持平）两边持平:就在就在 9 91212 中，再把中，再把 9 9 和和 1010 放在天平两边放在天平两边,再平就在再平就在 1111 或或 1212 中中,若若 9 9和和 1010 不平，则在不平，则在 9 9

8、或或 1010 中；中；(2(2）两边不平：假设）两边不平：假设12341234 重重 56785678 轻，则进行第二次称量轻，则进行第二次称量 125125 和和 349349；若平了就在；若平了就在 678678中且是轻的，再称中且是轻的，再称 6 6 与与 7 7 即可；若即可；若 125125 重重 349349 轻则在轻则在 1212 中且是重的，中且是重的，再称再称 1 1 与与 2 2 即可；即可；若若 125125 轻轻 349349 重，则坏的是重，则坏的是 5 5。某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价 50 元/个，椅子销售价格 30 元/个，生产桌子和椅子要求需要木

9、工和油漆工两种工种.生产一个桌子需要木工4 小时，油漆工 2 小时。生产一个椅子需要木工 3 小时，油漆工 1 小时。该厂每个月可用木工工时为120 小时，油漆工工时为 50 小时.问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大?（建立模型不计算）(10）解解:（1 1）确定决策变量）确定决策变量:x1=:x1=生产桌子的数量生产桌子的数量 x2=x2=生产椅子的数量生产椅子的数量(2(2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大 maxmax z=50 x1+30 x2z=50 x1+30 x2(3(3）确定约束条件：）确定约束条件：4x1+3x24x1+3x2120120（木工工时限制）（木工工时限制）2x1+x22x1+x250(50(油漆工工时限制）油漆工工时限制）（4)4)建立的数学模型为建立的数学模型为:maxmax S=50 x1+30 x2S=50 x1+30 x2s s。t t。4x1+3x24x1+3x21201202x1+2x1+x2x25050 x1,x1,x2x2 0 0