中学平面几何有关三角形五心的试题分析讲解.pdf

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1、1/8 中学平面几何有关三角形五心的试题分析 一、垂心 三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例 1设 A1A2A3A4为O 内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为 A2A3A4，A3A4A1，A4A1A2，A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛)分析：连接 A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径 为 R.由A2A3A4知 13212sinHAAHA=2RA2H1=2RcosA3A2A4；由A1A3A4得 A1H2=2RcosA3A1A4.但A3A2A4

2、=A3A1A4，故 A2H1=A1H2.易证 A2H1A1A2，于是，A2H1 A1H2，故得 H1H2 A2A1.设 H1A1与 H2A2的交点为 M，故 H1H2与 A1A2关于 M 点成中心对称.同理，H2H3与 A2A3，H3H4与 A3A4，H4H1与 A4A1都关于 M 点成中心对称.故四边形 H1H2H3H4与四边形 A1A2A3A4关于 M 点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为 Q，Q 与 O 也关于 M 成中心对称.由 O，M 两点，Q 点就不难确定了.例 2H 为ABC 的垂心，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 的中心.一个

3、以 H 为圆心的H 交直线 EF，FD，DE 于 A1，A2，B1，B2，C1，C2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)分析：只须证明 AA1=BB1=CC1即可.设 BC=a，CA=b，AB=c，ABC 外 接圆半径为 R，H 的半径为 r.连 HA1，AH 交 EF 于 M.A21A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2 =r2+(AM2-MH2)，又 AM2-HM2=(21AH1)2-(AH-21AH1)2 =AHAH1-AH2=AH2AB-AH2 =cosAbc-AH2，而ABHAHsin=2RAH2=4R2cos2A,Aas

4、in=2Ra2=4R2sin2A.AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2.=.OAAAA1234HH12HHHMABBAABCCCF12111222DE2/8 由、有 A21A=r2+bcacb2222bc-(4R2-a2)=21(a2+b2+c2)-4R2+r2.同理，21BB=21(a2+b2+c2)-4R2+r2，21CC=21(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有 AA1=BB1=CC1.二、内心 三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设 I 为ABC 的内心，射线 AI 交ABC 外接圆于 A，则有 A I=AB=AC.换

5、言之，点 A必是IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例 3ABCD 为圆内接凸四边形，取 DAB，ABC，BCD，CDA 的内心 O1，O2，O3，O4.求证：O1O2O3O4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见中等数学1992；4 例 4已知O 内接ABC，Q 切 AB，AC 于 E，F 且与O 内切.试证：EF中点 P 是ABC 之内心.(B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析：在第 20 届 IMO 中，美国提供的一道题实际上是例 8 的一种特例，但它增加了条件 AB=AC.当 ABAC，怎样证明呢？如图，显然 EF 中点 P、圆心 Q，BC 中点 K 都在BAC 平

6、分线上.易知AQ=sinr.QKAQ=MQQN，QK=AQQNMQ =sin/)2(rrrR=)2(sinrR.由 RtEPQ 知 PQ=r sin.PK=PQ+QK=r sin+)2(sinrR=R2sin.PK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知 P 是ABC 这内心.三、旁心 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 ABCDOOO234O1AMBCKNEROQFrP3/8 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切.例 5在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中 r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与 a，b

7、，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学中学数学竞赛习题)分析：设 RtABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).p(p-c)=21(a+b+c)21(a+b-c)=41(a+b)2-c2 =21ab；(p-a)(p-b)=21(-a+b+c)21(a-b+c)=41c2-(a-b)2=21ab.p(p-c)=(p-a)(p-b).观察图形，可得 ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而 r=21(a+b-c)=p-c.r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p.由及图形

8、易证.例 6M 是ABC 边 AB 上的任意一点.r1，r2，r 分别是AMC，BMC，ABC内切圆的半径，q1，q2，q 分别是上述三角形在ACB 内部的旁切圆半径.证明：11qr22qr=qr.(IMO-12)分析：对任意ABC，由正弦定理可知 OD=OA2sinA =ABsin2sinBOAB2sinA KrrrrOOO213AOECBabcA.BCOOED4/8 =AB2sin2sin2sinBABA，OE=AB2sin2cos2cosBABA.22BtgAtgEOOD.亦即有 11qr22qr=2222BtgCNBtgCMAtgAtg =22BtgAtg=qr.四、众心共圆 这有两种

9、情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例 7 设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF 三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+BE+CF.(1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接 AC，CE，EA，由已知可证 AD，CF，EB 是ACE 的三条内角平分线，I 为ACE 的内心.从而有 ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC.再由BDF，易证 BP，DQ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有：BI+DI+FI2(IP+IQ+IS

10、).不难证明 IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.BI+DI+FIIA+IE+IC.AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI)(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I 就是一点两心.例 8ABC 的外心为 O，AB=AC，D 是 AB 中点，E 是ACD 的重心.证明 OE丄 CD.(加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设 AM 为高亦为中线，取 AC 中点 F，E 必在 DF 上且 DE:EF=2:1.设 CD 交 AM 于 G，G 必为ABC 重心.Erdos.IPABCDEFQSABCDEFOKG5/8 连 GE，MF，MF 交 DC 于 K.

11、易证：DG:GK=31DC:(3121)DC=2:1.DG:GK=DE:EFGEMF.OD 丄 AB，MFAB，OD 丄 MFOD 丄 GE.但 OG 丄 DEG 又是ODE 之垂心.易证 OE 丄 CD.例 9ABC 中C=30，O 是外心，I 是内心，边 AC 上的 D 点与边 BC 上的E 点使得 AD=BE=AB.求证：OI 丄 DE，OI=DE.(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作DAO 平分线交 BC 于 K.易证AIDAIBEIB，AID=AIB=EIB.利用内心张角公式，有 AIB=90+21C=105，DIE=360-1053=45.AKB=30+21

12、DAO =30+21(BAC-BAO)=30+21(BAC-60)=21BAC=BAI=BEI.AKIE.由等腰AOD 可知 DO 丄 AK，DO 丄 IE，即 DF 是DIE 的一条高.同理 EO 是DIE 之垂心，OI 丄 DE.由DIE=IDO，易知 OI=DE.例 10锐角ABC 中，O，G，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为 d外，重心到三边距 离和为 d重，垂心到三边距离和为 d垂.求证：1d垂+2d外=3d重.分析：这里用三角法.设ABC 外接圆 半径为 1，三个内角记为 A，B，C.易知 d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC，2d外=2(co

13、sA+cosB+cosC).AH1=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC，同样可得 BH2CH3.3d重=ABC 三条高的和 =2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB)OABCDEFIK30BCOIAOGHOGHGO GH1231122336/8 BCHBHsin=2，HH1=cosCBH=2cosBcosC.同样可得 HH2，HH3.d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)欲证结论，观察、，须 证(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)+(cosA+cosB+cosC)=sinBsin

14、C+sinCsinA+sinAsinB.即可.三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.五、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例 11过等腰ABC 底边 BC 上一点 P 引 PMCA 交 AB 于 M；引 PNBA 交AC 于 N.作点 P 关于 MN 的对称点 P.试证：P点在ABC 外接圆上.(杭州大学中学数学竞赛习题)分析：由已知可得 MP=MP=MB，NP=NP=NC，故点 M 是PBP 的外心，点 N 是PPC 的外心.有 BPP=21BMP=21BAC，PPC=21PNC=21BAC.BPC=BPP+PPC=BAC.从而

15、，P点与 A，B，C 共圆、即 P在ABC 外接圆上.由于 PP 平分BPC，显然还有 PB:PC=BP:PC.例 12在ABC 的边 AB，BC，CA 上分别取点 P，Q，S.证明以APS，BQP，CSQ 的外心为顶点的三角形与ABC 相似.(B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析：设 O1，O2，O3是APS，BQP，CSQ 的外心，作出六边形 O1PO2QO3S 后再由外 心性质可知 PO1S=2A，QO2P=2B，SO3Q=2C.PO1S+QO2P+SO3Q=360.从而又知O1PO2+O2QO3+O3SO1=360 将O2QO3绕着 O3点旋转到KSO3，易判断KSO1O2PO1，同时可

16、得O1O2O3O1KO3.O2O1O3=KO1O3=21O2O1K ABCPPMNABCQKPOOO.S1237/8 =21(O2O1S+SO1K)=21(O2O1S+PO1O2)=21PO1S=A；同理有O1O2O3=B.故O1O2O3ABC.六、重心 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式，便于解题.例 13AD，BE，CF 是ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在PAD，PBE，PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第 26 届莫斯科数学奥林匹克)分析：设 G 为ABC 重心，直线 PG 与 AB，BC 相交.从 A

17、，C，D，E，F 分别 作该直线的垂线，垂足为 A，C，D，E，F.易证 AA=2DD，CC=2FF，2EE=AA+CC，EE=DD+FF.有 SPGE=SPGD+SPGF.两边各扩大 3 倍，有 SPBE=SPAD+SPCF.例 14如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将ABC 简记为，由三中线 AD，BE，CF 围成的三角形简记为.G为重心，连 DE 到 H，使 EH=DE，连 HC，HF，则就是HCF.(1)a2，b2，c2成等差数列.若ABC 为正三角形，易证.不妨设 abc，有 CF=2222221cba，BE=2222221bac，AD=2222221acb.将 a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得 CF=a23，BE=b23，AD=c23.CF:BE:AD=a23:b23:c23 =a:b:c.故有.(2)a2，b2，c2成等差数列.AAFFGEEDCPCBD8/8 当中 abc 时，中 CFBEAD.，SS(aCF)2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有SS=43.22aCF=433a2=4CF2=2a2+b2-c2 a2+c2=2b2.