高中数学第二章平面向量23平面向量的基本定理及坐标表示232233知识巧解学案新人教A版必修4.pdf

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1、1/9 2.3.2 平面向量的坐标表示及运算 2.3.3 平面向量共线的坐标表示 疱工巧解牛 知识巧学 一、平面向量的正交分解 1.由平面向量基本定理可知，我们选定平面中的一组不共线向量作为基底，则这个平面内的任意一向量都可用这组基底唯一表示.在解决实际问题时，往往根据需要，人为地选定一组基底来表示相关的量.如图 2-3-11，ABC 中，D、E 分别是边AB、AC的中点.图 2-3-11 求证：DE21BC.证明：先选定一组基底，设AB=a，AC=b，则BC=b-a.又AD=21AB=21a，AE=21AC=21b，DE=AE-AD=21b21a=21(b-a).BC=2DE，即ABC 中，

2、DE21BC.学法一得 利用平面向量的基本定理证明向量共线的过程是：先选好一组基底，用该基底把相关的向量表示出来，再根据两向量共线的条件，确定唯一的实数，证得两向量共线，其实质是判定出两向量的方向与模的关系.2.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.此时，这两个互相垂直的基底为正交基底.二、正交分解下向量的坐标 1.向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底，任作一个向量 a.由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(x，y)，使得 a=xi+yj.由于向量 a与有序实数对(x，y)是一一对应的，因此，我们就把(x，y)叫做

3、向量 a 的(直角)坐标，记作a=(x，y),其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，a=(x，y)叫做向量的坐标表示.显然，i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).2/9 图 2-3-12 设向量 a=(x，y)，a 方向相对于 x 轴正方向的旋转角为.由三角函数的定义可知：x=|a|cos，y=|a|sin，即向量 a 的坐标由它的模和方向唯一确定，与它的位置无关.2.向量坐标的唯一性 在直角坐标平面内，以原点 O 为起点作OA=a，则点 A 的位置由 a 唯一确定.设OA=xi+yj，则向量OA的坐标(x，y)就是点 A 的坐标；反过来，点 A

4、的坐标(x，y)也就是向量OA的坐标.图 2-3-13 如图 2-3-13 所示，CD=OA=a，CD向量的坐标怎样表示?由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的，这就是我们常说的自由向量.向量在移动的过程中，其坐标是不变的，此时OA向量的坐标等于CD的坐标，即相等向量的坐标相同.3.一一对应原理 任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标表示的向量却不一定是唯一的，也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为坐标原点的向量是一一对应的关系.由此可见，在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在直角坐标

5、系中，点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.学法一得 平面向量的坐标表示是平面向量基本定理的具体运用，其关键是在直角坐标系的两坐标轴上取与正方向一致的两个单位向量作为基底，用该基底把平面直角坐标系中的某一向量表示出来.由于向量是可以平移的，模相等方向相同的向量是相等的向量，所以平面内任一向量所对应的坐标，与把该向量的起点移至原点，终点所对应的坐标相等.三、向量的坐标运算 1.加法运算 对于向量的加法除了用向量线性运算的结合律和分配律去证明外，还可用几何作图的方法予以证明.设 a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，求 a+b.3/9 图 2-3-14 如图 2-3-14 所示，OA=a，OB

6、=b，以 a、b 为邻边作平行四边形，则OC=a+b.作 BBx 轴，垂足为 B，AAx 轴，垂足为 A，CDx 轴，垂足为 D，ACCD，垂足为 C.从作图过程可知 RtBBORtCCA.所以 OB=AC=AD，BB=CC.所以 C 点的坐标为 xC=OA+AD=x1+x2，yC=CD+CC=y1+y2，即OC=(x1+x2，y1+y2)，也就是 a+b=(x1+x2，y1+y2).也就是说：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.上述结论对于三个或三个以上向量加法仍然成立.2.减法运算 由向量线性运算的结合律和分配律，可得 a-b=(x1i+y1j)-(x2i+y2j)=(x1-x

7、2)i+(y1-y2)j，即 a-b=(x1-x2，y1-y2)，也就是说：两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.类似于向量的加法运算，也可以通过作图验证减法的坐标运算规则.3.实数与向量积的坐标 如图 2-3-15，已知OA=a，OB=a，不妨设 0，作 AAx 轴，BBx 轴，垂足分别为 A、B.图 2-3-15 由AOABOB，BBAABOAOOBOA.由1OBOA，OA=x，AA=y，BOx1，BBy1，得 OB=x，BB=y，即OB=(x，y)，即 a=(x，y).同理可证当 0 时，结论也成立；当=0 时，a=0，结论显然也成立.综上所述，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘

8、原来向量的相应坐标.学法一得 当 0 时，a 所对应的坐标可看作把 a 的坐标伸长(1)或缩短(01)到原来的 倍而得到；当 0 时，可看作把 a 的相反向量的坐标伸长(-1)或缩短(-10)到原来的-倍而得到.典题热题 4/9 知识点一 利用图形间的关系求坐标 例 1 在平面内以点 O 的正东方向为 x 轴正向，正北方向为 y 轴的正向建立直角坐标系.质点在平面内作直线运动，分别求下列位移向量的坐标.(1)向量 a 表示沿东北方向移动了 2 个长度单位；(2)向量 b 表示沿北偏西 30方向移动了 3 个长度单位；(3)向量 c 表示沿南偏东 60方向移动了 4 个长度单位.解：设OP=a，

9、OQ=b，OR=c，并设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x3，y3).图 2-3-16(1)如图 2-3-16,可知POP=45，|OP|=2，所以 a=OP=PPPO=2i+2j,所以a=(2，2).(2)因为QOQ=60，|OQ|=3，所以 b=OQ=QO+QQ=23i+323j，所以 b=(23，323).(3)因为ROR=30，|OR|=4，所以 c=OR=RO+RR=32i-2j.所以 c=(32，-2).方法归纳 求解向量坐标时，常用到解直角三角形的知识或任意角的三角函数的定义.构造直角三角形是学习过程中常用到的一种解题手段.知识点二 向量的坐标运算 例 2 已知点 O(

10、0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP=OA+ABt.求：(1)t 为何值时，点 P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限?(2)四边形 OABP 能成为平行四边形吗?若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理由.解：(1)OP=OA+ABt=(1+3t，2+3t).若 P 在 x 轴上，只需 2+3t=0，即 t=32；若 P 在 y 轴上，只需 1+3t=0，即 t=31；若 P 在第二象限，则需,032,031tt解得-32t-31.(2)OA=(1，2)，PB=(3-3t，3-3t).5/9 若四边形 OABP 为平行四边形，需OA=PB.于是233,133tt无解，故四

11、边形 OABP 不能成为平行四边形.巧解提示:向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁.向量的坐标表示实际是向量的代数表示，使向量的运算完全代数化，为几何问题的解决又提供了一种崭新的方法.知识点三 求向量坐标 例 3 已知 A(0，0)，B(21，31)，C(21，32)，则下列计算正确的是()A.向量AB的坐标为(21，31)B.向量BC的坐标为(0，31)C.向量CA的坐标为(21，32)D.向量AC+AB的坐标为(0，31)思路分析：利用“向量的坐标=终点坐标-起点坐标”直接得到结果.AB=(21，31)-(0，0)=(21，31)，BC=(21，32)-(21，-31)

12、=(-1，1)，CA=(0，0)-(21，32)=(21，32)，AC+AB=(21，32)+(21，31)=(0，31).答案：D 例 4 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(3，2)、B(-2，4)，求向量OA+OB的方向和长度.解：如图 2-3-17,可知OA=(3，2)，OB=(-2，4).图 2-3-17 设OC=OA+OB，则OC=OA+OB=(3，2)+(-2，4)=(1，6).由两点间距离公式，得|OC|=376122.设OC相对 x 轴正向的转角为，则 tan=6，使用计算器计算得=8032.所以向量OA+OB的方向偏离 x 轴正方向约为 8032，长度等于37.6/9 知

13、识点四 利用向量坐标解综合题 例 5 已知 a=(6，-4)，b=(0，2)，c=a+b，若 c 的终点在直线 y=21x 上，求实数 的值.思路分析：此题是向量与直线结合的问题，关键是建立关于 的等式关系.图 2-3-18 解：如图 2-3-18 所示，过 A 作平行于 y 轴的直线交直线 y=21x 于 C 点，则可求得 C(6，3)，过 C 点作直线 OA 的平行线，交 y 轴于 D 点，则四边形 AODC 为平行四边形，易求得|OD|=7，所以27|OBOD，即=27.巧解提示:设 c=(x，y)，由题设，可得(x，y)=(6，-4)+(0，2)，即(x，y)=(6，-4+2).24,

14、6yx c 的终点在直线 y=21x 上，-4+2=216.解得=27.例 6 已知向量 u=(x，y)与向量 v=(y，2y-x)的对应关系用 v=f(u)表示.(1)设 a=(1，1)，b=(1，0)，求向量 f(a)及 f(b)的坐标；(2)证明对于任意向量 a、b 及常数 m、n 恒有 f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；(3)求使 f(c)=(p，q)(p，q 为常数)的向量 c 的坐标.思路分析：为应用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而使问题解决.解：(1)f(a)=(1，21-1)=(1，1)；f(b)=(0，20-1)=(0，-1).(2)设 a=

15、(a1，a2)，b=(b1，b2)，则 ma+nb=(ma1+nb1，ma2+nb2)，f(ma+nb)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1)，mf(a)+nf(b)=m(a2，2a2-a1)+n(b2，2b2-b1)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1).f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.(3)设 c=(x，y)，则 f(c)=(y，2y-x)=(p，q)，.2,qxypy 7/9 x=2p-q，即向量 c=(2p-q，p).例 7 已知任意四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点，如图 2-3-19 所示.图 2-3-19 求

16、证：EF=21(AB+DC).思路分析：根据向量加法的三角形法则或坐标运算法则可以用不同方法证明.证明：建立直角坐标系，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).则AB=(x2-x1，y2-y1)，DC=(x3-x4，y3-y4)，21(AB+DC)=(2,241324132yyyyxxxx).又 E(2,24141yyxx)，F(2,23232yyxx)，则EF=(22,2241324132yyyyxxxx)，EF=21(AB+DC).巧解提示:E、F 分别是 AD、BC 的中点，图 2-3-20 EA+ED=BF+CF=0.又EF=EA+AB+BF，EF=ED

17、+DC+CF，两式相加得 2EF=AB+DC，即EF=21(AB+DC).问题探究 材料信息探究 材料：一个力可以分解为平面内任意两个方向上的力.如图 2-3-21：8/9 图 2-3-21 拖拉机拉着耙，对耙的拉力是斜向上方的，我们可以说，这个力产生两个效果：使耙克服泥土的阻力前进，同时把耙向上提，使它不会插得太深.这两个效果相当于两个力分别产生的：一个水平的力 F1使耙前进，一个竖直向上的力 F2把耙上提，即力 F 可以用两个力 F1和 F2来代替，即力 F 被分解成两个力 F1和 F2.问题 能不能将上面的物理知识抽象为数学知识？这一数学知识有何作用？探究过程:由物理学知识可知力是矢量，

18、它可以抽象为数学中的向量.因此物理学中力的分解可以抽象为数学中一个平面内的向量都可以分解为两个不共线的向量，即平面内任意一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的，其实质就是平面向量基本定理.这一定理是向量坐标表示的理论基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底化归，从而导致问题的解决.探究结论:上面的物理知识可以抽象为数学中的平面向量基本定理，该定理是向量坐标化的理论基础，也是联系向量问题与几何问题的桥梁与纽带.方案设计探究 问题 试探究用向量求76cos74cos72cos的值的方法.探究过程:要求76cos74

19、cos72cos可先求 cos0+cos72+cos74+cos76+cos78+cos710+cos712的值，由于 0、72、74、76、78、710、712这七个角每相邻两个角都相差72，则可考虑在直角坐标系中构造一个边长为 1 的正七边形 OABCDEF，且使A 点的坐标为(1，0)，则由此可得出OA、AB、BC BC、CD、DE、EF和FO的坐标，再利用它们的和是零向量及零向量的横坐标、纵坐标都为零即可求解.探究结论:如图 2-3-22 所示，将边长为 1 的正七边形 OABCDEF 放入直角坐标系中，则 图 2-3-22 OA=(1，0)，AB=(cos72,sin72)，BC=(

20、cos74,sin74)，CD=(cos76,sin76)，DE=(cos78,sin78)，EF=(cos710,sin710)，FO=(cos712,sin712).由于OA+AB+BC+CD+DE+EF+FO=0，则有 9/9 cos0+cos72+cos74+cos76+cos78+cos710+cos712=0.又 cos78=cos76，cos710=cos74，cos712=cos72，cos0=1，所以有 1+2(cos72+cos74+cos76)=0，即 cos72+cos74+cos76=21.思想方法探究 问题 在数学中，我们经常遇到一个点把一条线段分成两部分，如果已经

21、知道了两个端点的坐标，那么怎样用两个端点的坐标来表示这个分点的坐标就成为我们关心的问题.向量是解决几何问题的有效工具，能否用向量分析这一问题？探究过程:在数学上，我们把分线段成两部分的点称为定比分点，假设点 P 分有向线段AB的比为，即AP=PB，O 为平面上一定点，那么会有PA+PB=0，OP=1OBOA.事实上，因为AP=PB，所以PA+PB=0，于是有(OA-OP)+(OB-OP)=0,(1+)OP=OA+OB,所以OP=1OBOA.如果在直角坐标系中，设 O 为坐标原点，P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)，则有(x,y)=)1,1(1),(),(21212211yyxxyxyx,即.1,12121yyyxxx 探究结论:P 点的坐标为(1,12121yyxx)，此公式就叫做线段的定比分点公式.它可以直接利用线段端点的坐标来表示分点的坐标，显得方便、快捷.如下面的问题，已知 O(0,0)和 A(6,3)两点，若点 P 在直线 OA 上，且21PAOP，又 P是线段 OB 的中点，利用公式就可以直接得到点 B 的坐标.假设 P(x,y)，由定比分点公式有22116210 x,2113210y，即 P(2,1).又因为 P 是线段 OB 的中点，所以点 B 的坐标(4,2).