高考导数问题常见题型总结.pdf

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1、高考有关导数问题解题方法总结高考有关导数问题解题方法总结一、考试内容导数的概念，导数的几何意义,几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一:利用导数研究函数的极值、最值.1 在区间上的最大值是 22已知函数处有极大值,则常数 c 6；3函数有极小值 1 ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切线方程1曲线在点处的切线方程是2若曲线在 P 点处的切线平行于直线，则P 点的坐标为（1，0）3若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为4求下列直线的方程：（1)曲线在 P(-1,1)处的切线；（2）曲线过点 P(3,5)

2、的切线;解:（1)所以切线方程为（2）显然点 P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为，则又函数的导数为，所以过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5）点，所以有，由联立方程组得,，即切点为(1，1）时，切线斜率为；当切点为（5,25）时，切线斜率为；所以所求的切线有两条，方程分别为题型三:利用导数研究函数的单调性，极值、最值1已知函数的切线方程为y=3x+1（)若函数处有极值，求的表达式；（）在（）的条件下,求函数在3，1上的最大值;（)若函数在区间2,1上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）由过的切线方程为：而过故由得 a=2，b=4,c=5（2）当又在3，1上最大值是 13。(3）y=

3、f（x）在2，1上单调递增，又由知2a+b=0。依题意在2，1上恒有0，即当；当；当综上所述,参数 b 的取值范围是2已知三次函数在和时取极值，且（1)求函数的表达式；第 1 页 共 5 页（2)求函数的单调区间和极值；（3)若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件解:(1),由题意得，是的两个根，解得，再由可得(2）,当时，；当时,;当时,；当时，；当时，函数在区间上是增函数；在区间上是减函数；在区间上是增函数函数的极大值是，极小值是(3）函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4 个单位得到的，所以，函数在区间上的值域为（)而，即于是，函数在区间上的值域为令得或由的单调性知，即综上所

4、述，、应满足的条件是：,且3设函数（1）若的图象与直线相切，切点横坐标为，且在处取极值，求实数 的值；（2）当 b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数总有两个不同的极值点解:(1）由题意，代入上式，解之得：a=1,b=1（2)当 b=1 时，因故方程有两个不同实根不妨设,由可判断的符号如下：当；当；当因此是极大值点，是极小值点，当 b=1 时，不论 a 取何实数，函数总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象1如右图:是 f（x）的导函数，的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D）（A）（B）（C）(D）2函数（A )642-4-2y642-4-2y642x-4-2y64

5、2y 2 4-2-4xo2 4-2-4xyo 2 4-2-4xo 2 4-2-43方程（B）A、0 B、1 C、2 D、3题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1设函数（1）求函数的单调区间、极值.第 2 页 共 5 页（2)若当时，恒有，试确定a 的取值范围。解:（1）=，令得列表如下：（，xa（a,3a）3a（3a，+）a）0极小+0极大在（a，3a)上单调递增,在（，a)和(3a，+）上单调递减时，时，（2），对称轴,在a+1，a+2上单调递减，依题，即解得,又a 的取值范围是2 已知函数 f（x）x3ax2bxc 在 x与 x1 时都取得极值(1)求 a、b 的值与函数 f

6、(x）的单调区间(2）若对 x1，2，不等式 f（x)c2 恒成立，求 c 的取值范围。解：（1）f（x)x3ax2bxc，f（x）3x22axb由 f(），f（1）32ab0 得 a，b2f（x)3x2x2（3x2）（x1），函数 f（x）的单调区间如下表：x（，）0（，1）10（1,）f（x）f（x）极大值极小值所以函数 f（x)的递增区间是（，)与（1，），递减区间是（，1）(2)f(x）x3x22xc，x1，2,当 x时,f（x)c为极大值,而 f(2)2c,则 f（2)2c 为最大值。要使 f（x）c2(x1，2)恒成立，只需 c2f（2）2c,解得 c1 或 c2题型六：利用导数研

7、究方程的根1已知平面向量=（，1）.=(,)。（1)若存在不同时为零的实数k 和 t，使=+(t23），=k+t，试求函数关系式 k=f（t）;（2)据(1)的结论,讨论关于 t 的方程 f（t)k=0 的解的情况。解：(1），=0即+(t23）（-k+t）=0.整理后得k+tk(t2-3)+（t23)=0=0，=4,=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0,即 k=t(t23）(2)讨论方程 t(t2-3）-k=0 的解的情况，可以看作曲线f（t)=t(t2-3）与直线y=k 的交点个数。于是 f（t)=（t2-1)=（t+1)(t-1）。令 f(t）=0，解得 t1=-1，t2=1。当 t

8、 变化时,f(t）、f（t)的变化情况如下表：tf(t)F（t)（,-1）+10极大值（1,1）10极小值（1,+）+当 t=1 时,f（t)有极大值，f（t）极大值=.当 t=1 时，f(t）有极小值，f（t)极小值=第 3 页 共 5 页函数 f（t）=t（t23)的图象如图 1321 所示，可观察出:(1）当 k或 k时,方程 f(t）k=0 有且只有一解；（2）当 k=或 k=时，方程 f(t)k=0 有两解；（3)当k时，方程 f(t）k=0 有三解。题型七:导数与不等式的综合1设在上是单调函数.(1)求实数的取值范围；（2）设1,1，且，求证：。解：（1)若在上是单调递减函数，则须

9、这样的实数a 不存在。故在上不可能是单调递减函数。若在上是单调递增函数,则,由于。从而 0a3。（2）方法 1、可知在上只能为单调增函数.若 1,则 若 1矛盾，故只有成立。方法 2：设，两式相减得 1,u1，,2已知为实数，函数(1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围（2）若,（)求函数的单调区间(）证明对任意的,不等式恒成立解：，函数的图象有与轴平行的切线,有实数解 ,，所以的取值范围是,，由或；由的单调递增区间是；单调减区间为易知的最大值为,的极小值为,又在上的最大值，最小值对任意，恒有题型八:导数在实际中的应用1请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状

10、是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示)。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设 OO1 为，则由题设可得正六棱锥底面边长为：,（单位:）故底面正六边形的面积为：=，（单位：）帐篷的体积为：（单位：）求导得.令，解得（不合题意，舍去），当时，,为增函数；当时，为减函数.当时,最大。答：当 OO1 为时，帐篷的体积最大，最大体积为.2统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度（千米/小时)的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距 100 千米。第 4 页 共 5 页（I）当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少

11、升？(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：(I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗没（升）。（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时,是减函数；当时，是增函数。当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5 升。当汽车以 80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 升。题型九:导数与向量的结合1设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t 及实数 k，使（1）求函数关系式；（2)若函数在上是单调函数，求k 的取值范围.解：（1）（2）则在上有由；由。因为在 t上是增函数,所以不存在 k,使在上恒成立。故 k 的取值范围是。第 5 页 共 5 页