关于幂函数的性质知识点总结.pdf

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1、第 1 页 关于幂函数的性质知识点总结 定义:形如 y=xa(a 为常数）的函数，即以底数为自变量 幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域:当 a 为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果 a 为任意实数，则函数的定义域为大于 0 的所有实数；如果 a 为负数，则 x 肯定不能为 0，不过这时函数的定义域还必须根据 q 的奇偶性来确定，即如果同时 q 为偶数，则 x不能小于 0，这时函数的定义域为大于 0 的所有实数；如果同时 q 为奇数，则函数的定义域为不等于 0 的所有实数。当x 为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在 x 大于 0 时，函数的值域总是大于

2、0 的实数。在 x 小于 0 时，则只有同时 q 为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有 a为正数，0 才进入函数的值域 性质:对于 a 的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果 a=p/q，q 和 p 都是整数，则 x(p/q)=q次根号（x 的 p 次方），如果 q 是奇数，函数的定义域是 R，如果 q 是偶数，函数的定义域是0,∞）。当指数 n是负整数时，设 a=-k，则 x=1/(xk)，显然 x≠0，函数的第 2 页 定义域是（∞，0)∪(0,∞).因此可以看到 x 所受到的限制来源于两点，一是有可能作

3、为分母而不能是 0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为 0 与负数两种可能，即对于 x>0，则 a 可以是任意实数；排除了为 0 这种可能，即对于 x<0 和 x>0 的所有实数，q 不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于 x 为大于且等于 0 的所有实数，a 就不能是负数。总结起来，就可以得到当 a 为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果 a 为任意实数，则函数的定义域为大于 0 的所有实数；如果 a 为负数，则 x 肯定不能为 0，不过这时函数的定义域还必须根据 q 的奇偶性来确定，即如果同时 q 为偶数，则 x不能小于 0

4、，这时函数的定义域为大于 0 的所有实数；如果同时 q 为奇数，则函数的定义域为不等于 0 的所有实数。在 x 大于 0 时，函数的值域总是大于 0 的实数。在 x 小于 0 时，则只有同时 q 为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有 a 为正数，0 才进入函数的值域。由于 x 大于 0 是对 a 的任意取值都有意义的，因此下面给出第 3 页 幂函数在第一象限的各自情况.可以看到：（1）所有的图形都通过（1，1）这点。（2）当 a 大于 0 时，幂函数为单调递增的，而a 小于 0 时，幂函数为单调递减函数。（3）当 a 大于 1 时，幂函数图形下凹；当 a 小于 1 大于 0时，幂函数图形上凸。（4）当 a 小于 0 时，a 越小，图形倾斜程度越大。（5）a 大于 0，函数过（0，0）；a 小于 0，函数不过（0，0）点。（6）显然幂函数无界。