高数下册公式总结.pdf

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1、高等数学（一）教案期末总复习第八章 向量与解析几何向量代数向量代数定义定义与运算的几何表达向量有大小、有方向.记作或模向量的模记作和差单位向量，则方向余弦设与轴的夹角分别为，则方向余弦分别为点乘（数量积）,为向量 a a 与 b b 的夹角叉乘（向量积）为向量 a a 与 b b 的夹角向量与，都垂直定理与公式定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦投影向量在非零向量上的投影在直角坐标系下的表示平面方程名称一般式点法式三点式截距式面面垂直面面平行线面垂直法向量点方程形式及特征点面距离面面夹角线线夹角方程名称一般式点向式参数式两点式线线垂直线线平行线面平行直线方向向量点方程形式及特征面面距离线面

2、夹角切“线方程：空间曲线：切向量法平“面方程:切向量法平“面”方程:切“线”方程：-2-高等数学（一）教案期末总复习空间曲面：法向量切平“面”方程:法“线“方程:切平“面方程：或法“线“方程:第十章 重积分积分类型积分类型二重积分平面薄片的质量质量=面密度面积重积分重积分计算方法计算方法（1）利用直角坐标系利用直角坐标系X型Y型（2)利用极坐标系利用极坐标系使用原则（1）积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示（含圆弧，直线段）；(2）被积函数用极坐标变量表示较简单(含，为实数）(3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当 D 关于 y 轴对称时，(关于

3、x 轴对称时，有类似结论）计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项1 画出积分区域2 选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴,被积函数关于坐标变量易分离3 确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4 确定积分限方法：图示法 先积一条线，后扫积分域5 计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性三重积分三重积分(1)(1)利用直角坐标利用直角坐标空间立体物的投影投影质量质量=密度面积典型例题典型例题（2 2）利用柱面坐标利用柱面坐标相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围适用范围:错误错误!积分区域积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单;如 旋转体旋转体错误错误!被积函数被积函数

4、用柱面坐标表示时变量易分离变量易分离。如（3 3）利用球面坐标）利用球面坐标适用范围适用范围:-3-高等数学（一）教案期末总复习，1 1积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单；如，球体，锥体。错误错误!被积函数被积函数用球面坐标表示时变量易分离变量易分离.如，（4)4)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型第一类曲线积分第一类曲线积分参数法参数法（转化为定积分）（1)曲形构件的质量（2）质量=线密度弧（3)长平面第二类曲线平面第二类曲线积分积分变力沿曲线所做的功计算方法典型例题（1 1）参数法参

5、数法（转化为定积分）（2)2)利用格林公式利用格林公式（转化为二重积分）条件：条件：L 封闭,分段光滑，有向(左手法则围成平面区域D）P，Q 具有一阶连续偏导数结论：结论：应用：应用：(3)(3)利用路径无关定理利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件：与路径无关，与起点、终点有关具有原函数（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）(4(4）两类曲线积分的联系）两类曲线积分的联系空间第二类曲线空间第二类曲线积分积分变力沿曲线所做的功(1)(1)参数法参数法（转化为定积分）（2 2）利用斯托克斯公式）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分)条件：条件：L 封闭，分段光滑，有向P，Q，R 具有一阶连续偏导数结

6、论：结论：应用：应用：第一类曲面积分第一类曲面积分投影法投影法:投影到面曲面薄片的质量类似的还有投影到面和面的公式质量=面密度面积-4-高等数学（一）教案期末总复习第二类曲面积分第二类曲面积分（1 1）投影法）投影法错误错误!流体流向曲面一：,为的法向量与轴的夹角侧的流量前侧取“+”，；后侧取“”，错误错误!：，为的法向量与轴的夹角右侧取“+”,；左侧取“”，错误错误!：,为的法向量与轴的夹角上侧取“+，；下侧取“”，（2 2）高斯公式）高斯公式右手法则取定的侧条件：条件：封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧P，Q，R 具有一阶连续偏导数结论：结论：应用：应用：（3 3）两类曲面积分之间的联

7、系）两类曲面积分之间的联系转换投影法：转换投影法：所有类型的积分:错误错误!定义:四步法-分割、代替、求和、取极限;2 性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；错误错误!对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。第十二章 级数-5-高等数学（一）教案期末总复习1若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛2两个收敛级数的和差仍收敛用收敛定义，存在注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.3去掉、加上或改变级数有限项 不改变其收敛性4若级数收敛 则对这级数的项任意加括号后所成一般项级数常数项级数的基本性质的级数仍收敛，且其和不变。推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散注：收敛级数去括号

8、后未必收敛.常数项级数的基本性质莱布尼茨判别法5 5（必要条件）如果级数收敛 则常数项级数交错级数若且，则收敛则级数收敛.比较判别法和都是正项级数，且.若收敛，则也收敛；若发散，则也发散.1若,与同敛或同散;2若,收敛,也收敛；和都是正项级数，且，则3如果，发散，也发散。正项级数比较判别法的极限形式比值判别法根值判别法是正项级数，,则时收敛；()时发散；时可能收敛也可能发散.收敛性,缺项级数用比值审敛法求收敛半径无穷级数幂级数1在收敛域上连续;2在收敛域内可导，3和函数在收敛域上可积的性质且可逐项求导;和函数分，且可逐项积分.(不变,收敛域可能变化).展成幂级数直接展开:泰勒级数间接展开:六个常用展开式收敛定理是连续点,收敛于;是间断点,收敛于傅立叶级数周期延拓为奇函数，正弦级数，奇延拓；为偶函数，余弦级数、偶延拓.-6-