人教版四年级下册第三单元运算定律与简便计算.pdf

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1、1/6 运算定律与简便计算 一、加法交换律、加法结合律 1、加法交换律：两个加数交换位置，和不变。用字母表示为：abba（a、b 代表任意数）2、若干个数相加，任意交换加数的位置，和不变。abcacb 3、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为：(ab)ca(bc)4、在一个加法算式中，当某些加数可以凑成整十或整百数时，运用加法交换律、加法结合律来改变运算顺序，可以使计算简便。例：115+132+118+85=115+85+132+118加法交换律=（115+85）+（132+118）加法结合律=200+250=450 运用加法结合律时，要注意把结

2、合的两个数用括号括起来。5、运用加法交换律、加法结合律使运算简化的实质与算式特点：实质：把其中能凑成整十、整百的两个加数优先相加。特点：连加 1、加法交换律：abba 885612 17835022 56208144 16825032 36+18+64 167+289+33 443756 244+182+56 124+68+76 2、加法结合律：(ab)ca(bc)378+527+73 582456544 16349261 4723664 48032575 918911 7846154 169+78+22 3、加法交换律、加法结合律的结合运用（2356）47 74（137326）399（154

3、201）354（22946）25+71+75+29+88 243+89+111+57 28654464 2547442461054 85411559 5+204+335+96 78+53+47+22 12813246340 18935211165 4723664 4378122257 24+127+476+573 58+39+42+61 127+352+73+4 89+276+135+33 158+239+42+61 二、乘法交换律、乘法结合律 1、乘法交换律：交换两个因数的位置，积不变。用字母表示为：abba。2、多个数相乘，任意交换因数的位置，积不变。如 abcdbdac。3、乘法结合律：

4、三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。用字母表示为：(ab)ca(bc)4、在乘法算式中，如果其中两个因数的积为整十、整百、整千数时，可以运用乘法交换律、乘法结合律来改变运算顺序，从而简化运算。如：1252584=1258254乘法交换律=（1258）（254）乘法结合律=1000100=100000 5、运用乘法交换律、乘法结合律简化运算的实质与算式特点 实质：把其中相乘结果为整十、整百、整千的两个因数先相乘。通常利用的算式为：2/6 25=10；425=100；8125=1000；62516=10000；258=200；754=300；3758=3000。特点：连乘 6、在乘

5、法算式中，当因数中有 25、125 等因数，而另外的因数没有 4 或 8 时，可以考虑将另外的因数分解为两个因数相乘、其中一个因数为 4 或 8 的形式，从而利用乘法交换律、乘法结合律使运算简化。如：2532125=25（48）125将因数 32 分解为 48=（254）（8125）乘法结合律=1001000=100000 4、乘法交换律：abba 25374 75394 65114 1253916 811125 252774 52892 15234 250794 25774 528920 276350 8142125 5、乘法结合律：(ab)ca(bc)38254 6552 421258 6

6、（159）25（412）19758 62825 43156 41352 （12525）4（12525）4 38425 6952 37254 8（2516）6、乘法交换律、乘法结合律的结合运用 8（30125）5（632）25（264）（25125）84 7812583 2512584 1251983（12512）8（253）4 1212558 7、将因数分解 48125 12532 12588 7532125 6516125 3625 2532 2544 3522 7532125 6455125 2512532 2564125 3225125 1256425 12588 2512 4425 1

7、2572 56125 2532 2425 12656 252516 485125 2518 12524 三、乘法分配律 1、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再把所得的积相加。用字母表示为：(ab)cacbc 2、两个数的差与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再把所得的积相减。用字母表示为：(ab)cacbc 3、多个数的和（或差）与一个数相乘，可以把这些数分别与这个数相乘，再相加（或相减）。用字母表示为：（abc）m=ambmcm。4、以上几个算式均可以逆用，即：acbc(ab)c acbc(ab)c ambmcm=（abc）m 5、乘法分配律的理解：

8、以上几个算式应注意利用乘法的意义进行理解：ab 个 c 等于 a 个 c 加上 b 个 c，而不能单纯地依靠记忆，只有这样才能在运算中熟练运用，减少失误。6、乘法分配律的实质与特点：实质：利用乘法的意义将算式转化为整十、整百数的乘法运算。特点：两个积的和或差，其中两个积的因数中有一个因数相同；或两数的和或差乘一个数。7、当算式中没有相同的因数时，考虑利用倍数关系找到相同因数。如：1698+32=1698+162利用倍数关系将 32 转化为 162，从而找到相同的因数 16=16（98+2）乘法分配律的逆用 3/6=16100=1600 8、当因数与整十、整百数接近时，可以转化为分配律进行简化运

9、算。如：75101=75（100+1）将 101 转化为 100+1=75100+751乘法分配律=7500+75=7575 8、乘法分配律：(ab)cacbc（125+9）8（25+12）4（125+40）8（20+4）25（100+2）99（200+1）24 4（25+10）（8+4）25 （40+8）125 8（125+20）（125+17）8 （80+8）25 32（200+3）（204）25 42（64+36）25（204）125（38）（12525）4 25（4+12）64643664 256254 8822522512 13640640664 6693+9333+93 25497

10、549 63888837 75487552 8582+8215 2597+253 702123877702 9999+99 899989 4999+49 993838 8799+87 7925+25 689968 488948 3839+38 589958 8582+8215 75299+75 7625+2524 3897+383 6819+1932 3537+6537 9928+28 3873+6173+73 3829+38 7599+75 1283+1217 3568+68+6864 4555+5555 9926+26 4568+6856 3423+7734 4536+3654+9964

11、16599+165 9、(ab)cacbc 64151415 3645+365636 36975836+6136 10259592 456252556 101897897 7610176 4637+6446-46 37240-27024 4568+6856-68 12425-2524 10126-26 25（40-4）10、利用倍数关系找到相同因数 2463234492 3214692276746 3528+70 431268613 3943-1329 2148+8413 6857-3414 2635+3252+26 972+59720+49972 218730+782073 748+1426

12、 6498+128 1497+42 11、当因数与整十、整百数接近时，可以转化为分配律进行简化运算。32105 9834 10356 2546 10156 9926 10599 7598 56102 9911 239101 88102 （13+26）25 2541 39101 5898+58 13102 10236 9936 88102 32203 129101 1358 8132 9911 10139 1268 9838 19999 10177 1398 426101 2598 四、减法的性质 1、减法的性质：一个数连续减去两个减数，可以用这个数减去两个减数的和，用字母表示为：abca（bc

13、）2、运用减法的性质的实质与特点：实质：利用减法的性质将减数相加。特点：连减，其中减数的和为整十、整百数。3、在加减混合运算中，带着数字前面的运算符号交换加数、减数的位置再进行计算，其结果不变。abc4/6 acb abcacb abcacb 4、实质与特点：实质：根据加减法的性质将其中运算结果为整十、整百数的数优先运算。特点：加减混合，其中两数加减的结果为整十、整百数。5、在加减运算中，当算式中的数接近整十、整百数时，可以利用这一特点简化运算。运用时注意以下原则：多加了要减去；多减了要加上；少加了要加上；少减了要减去。如：762-598=762-600+2=162+2=164 12、减法的性

14、质：abca（bc）45845155 2354456544 1022478422 68547457123420 478256144 48728713961 2000368132 50025734143 1814378422 46283117 6982919 582157182 5757822 130-46-34 26396104 472126174 97013268 40018515 1682872 43713763 20017327 26396104 97013268 48323664 13、减法性质的逆用：a（bc）abcacb 5246（246694）987（287135）568（681

15、78）258（15896）369（25469）14、abcacb abcacb abcacb 42354067765 35695261569 25752575 45682753814318 5861454586 4232037797 325-156+675-144 5897568897432 26519835 4253875 325-156+675-144 456272587421627 36643664 3821653582 1552564598 15、利用算式中的数与整十、整百数接近的特点进行简化运算：429293 1587689 89041297 87905388 2564302 254

16、789006 5024502 1251409 254489 5021897 654793 6544999 1244005 1235607 248803 200545687 367199 527199 735198 8+98+998+9998 865198 249402 216305 402359 951-399 603+421 745-305 798+321 34+304+3004 19+199+1999 598735 158+395+105 99999+9999+999+99+9+4 五、除法的性质 1、除法的性质：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以两个除数的积。用字母表示为：abca(

17、bc)。实质：利用除法的性质将除数相乘。特点：连除，其中除数相乘的积为整十、整百数。2、在乘除混合运算中，带着数字前面的运算符号交换除数、因数的位置，其结果不变。用字母表示为：abcacb 实质：利用乘除法的性质将其中运算结果为整十、整百的数优先运算。特点：乘除混合，其中两数相乘除的结果为整十、整百数。5/6 3、商不变的规律：在除法算式中，被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0 除外），商不变。用字母表示为：ab（ac）（bc）或 ab（ac）（bc）16、除法的性质：abca(bc)4500475 16800825 2480008125 5200465 3200254 540452 17

18、、abcacb 450010290 3600802 125208 2507530 18、商不变的规律：ab（ac）（bc）或 ab（ac）（bc）20025 60025 3000125 80025 6400400 54045 54036 420025 38700900 六、含有括号的简便运算 1、在加减混合运算，或乘除混合运算中，有时为了计算的简化，需要添加小括号或去掉小括号。2、在加减混合运算中：括号前面是加号，去掉括号，括号里面不变号；a（bc）abc 括号前面是减号，去掉括号，括号里面要变号；a（bc）abc 在加号后面添加括号，括号里面不变号；abca（bc）在减号后面添加括号，括号里

19、面要变号；abca（bc）3、在乘除混合运算中：括号前面是乘号，去掉括号，括号里面不变号；a(bc)abc 括号前面是除号，去掉括号，括号里面要变号；a(bc)abc 在乘号后面添加括号，括号里面不变号；abca(bc)在除号后面添加括号，括号里面要变号；abca(bc)如：71+5626=71+（56-26）=71+30=101；71-56+26=71-（56-26）=71-30=41。19、含有括号的加减运算 155（12945）596-48+52 338-55+45 526-（352-374）475-（175+255）347+（153-129）376-（176-97）947+（372-4

20、47）-572 698-432+502-368 20、含有括号的乘除运算 980000252544 123456123456 360（184）19991998-19981997-19971996+19961995（199999+2000100+1999+2000-1900）4000 七、根据数的特点进行简便计算 1、几个数相加，当加数都比较接近某一个数时，可以把这一个数作为基准数，其它的数与基准数相比较，根据“多加了要减去；多减了要加上；少加了要加上；少减了要减去”的原则进行运算。如：256+249+251+246=250+6+250-1+250+1+250-4以 250 为基准数=2504+

21、（6-1+1-4）=1000+2=1002 2、在一个有规律的加减混合算式中，可以分成组进行运算。如：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-+1990=1+（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+（10-11-12+13）+1990=1+0+0+1990 6/6=1+1990=1991 21、基准数的简便运算 156+153+155+152+148+147 604+597+602+599+601+598 22、有规律的加减混合运算 100+99-98-97+96+95-94-93+4+3-2-1 1-2+3-4+97-98+99 6230-1-2-3-78-79 用简便方法计算 138+2

22、93+62+107 2512584 2512532 （125+9）8 8582+8215 4637+6446-46 75299+75 6498+128 10139 1268 48728713961 369（25469）19+199+1999 4232037797 3200254 125208 3000125 80025 155（12945）338-55+45 123456123456 12588 528920 （12525）4 2541 教学乘法分配律之后，发现学生的正确率很低，特别是对乘法结合律与乘法分配律极容易混淆。针对这种情况，在教学中应该注意些什么呢？1、乘法分配律的教学既要注重它的外

23、形结构特点，也要同时注重其内涵。教学中通过解决“一共贴了多少块瓷砖？”这一问题，结合具体的生活情景，得到了（6+4）9=69+49这一结果。这时老师往往注意了等式两边的“外形”结构特点，即两数的和乘一个数=两个积的和。缺乏从乘法意义角度的理解。这时教师可提问“为什么两个算式是相等的？”这里不仅要从解题思路的角度理解（6+4）9=69+49 是相等的，还要从乘法的意义的角度理解，即左边表示 10 个 9，右边也表示 10 个 9，所以（6+4）9=69+49。2、注意区分乘法结合律与乘法分配律的特点，多进行对比练习。乘法结合律的特征是几个数连乘，而乘法分配律特征是两数的和乘一个数或两个积的和。在

24、练习中（40+4）25 与（404）25 这种题学生特别容易出现错误。为了学生更好地掌握可以多进行一些对比练习。如：进行题组对比 15（84）和 15（8+4）；25125258 和 25125+258；练习中可以提问：每组算是个有什么特征和区别？符合什么运算定律的特征？应用运算定律可以使计算简便吗？为什么要这样算？3、让学生进行一题多解的练习，经历解题策略多样性的过程，优化算法，加深学生对乘法结合律与乘法分配律的理解。如：计算 12588；10189 你能用几种方法？12588 竖式计算；125811；125（80+8）；125（100-12）；（100+25）88；（100+20+5）88

25、 等等。10189 竖式计算；（100+1）89；101（80+9）；101（100-11）；101（90-1）等。对不同的解题方法，引导学生进行对比分析，什么时候用乘法结合律简便，什么时候用乘法分配律简便？明确利用乘法结合律与乘法分配律进行间算的条件是不一样的。乘法分配律适用于连乘的算式，而乘法分配律一般针对有两种运算的算式。力争达到“用简便算法进行计算”成为学生的一种自主行为，并能根据题目的特点，灵活选择适当的算法的目的。4、多练。针对典型题目多次进行练习。练习时注意练习量和练习时间的安排。刚开始可以天天练，过段时间以后可以过 1-2 天练习一次，再到 1 周练习一次。典型题型可选择（40+4）25；（404）25；6325+6375；65103-653；5699+56；12588；48102；4899 等。对于比较特殊的题目可间断性练习，对优生提出掌握的要求。如 3698+72；6825+68+6874，3212525 等。