专题六导数与函数高考大题类型自己总结.pdf

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1、1/9 导数高考大题（教师版）类型一：对单调区间的分类讨论 1、已知函数()xf xeax，aR.（）求函数)(xf的单调区间；（）当0,)x时，都有()0f x成立，求实数a的取值范围.解：（）()f x的定义域是,，()xfxea.2 分（1）当0a时，()0fx成立，)(xf的单调增区间为,；3 分（2）当0a 时，令()0fx，得lnxa，则()f x的单调增区间是ln,a.4 分 令()0fx,得lnxa，则()f x的单调减区间是,lna.5 分 综上所述，当0a时，)(xf的单调增区间为,；当0a 时，()f x的单调减区间是,lna，()f x的单调增区间是ln,a.6 分（）

2、当0 x 时，()10f x 成立，aR.7 分 当0,x时，()e0 xf xax成立，即0,x时，exax成立.设e()xg xx，所以2ee()xxxg xx=2(1)exxx.当x(0,1)时，()0g x，函数()g x在(0,1)上为减函数；11 分 1,x时，()0g x，函数()g x在1,x上为增函数.12 分 则()g x在1x 处取得最小值，(1)eg.则ea.综上所述，0,x时，()0f x成立的a的范围是(,e.13 分 类型二：给出单调递增递减区间等价于恒成立问题 2、已知函数2()2 lnf xxax.（）若函数()f x的图象在(2,(2)f处的切线斜率为1，求

3、实数a的值；（）求函数()f x的单调区间；2/9 （）若函数2()()g xf xx在1,2上是减函数，求实数a的取值范围.解：（）2222()2axafxxxx 1 分 由已知(2)1f，解得3a .3 分（II）函数()f x的定义域为(0,).（1）当0a 时,()0fx，()f x的单调递增区间为(0,)；5 分（2）当0a 时2()()()xaxafxx.当x变化时，(),()fxf x的变化情况如下：x(0,)a a(,)a()fx-0+()f x 极小值 由上表可知，函数()f x的单调递减区间是(0,)a；单调递增区间是(,)a.8 分 （II）由22()2 lng xxax

4、x得222()2ag xxxx，9 分 由已知函数()g x为1,2上的单调减函数，则()0g x 在1,2上恒成立，即22220axxx在1,2上恒成立.即21axx在1,2上恒成立.11 分 令21()h xxx，在1,2上2211()2(2)0h xxxxx ，所以()h x在1,2为减函数.min7()(2)2h xh,所以72a .类型三：零点个数问题 3、已知函数2()4ln6f xxaxxb（a，b为常数），且2x 为()f x的一个极值点()求a的值；()求函数()f x的单调区间；()若函数()yf x有 3 个不同的零点，求实数b的取值范围 3/9 解：()函数 f(x)的

5、定义域为（0，+）1 分 f (x)=624 axx 2 分 06422a)(f，则 a=14 分 ()由()知bxxxxf6ln4)(2 f (x)=xxxxxxxx)1)(2(24626242 6 分 由 f (x)0 可得 x 2 或 x 1，由 f (x)0 可得 1 x 2 函数 f(x)的单调递增区间为(0，1)和(2，+)，单调递减区间为(1,2)9 分 ()由()可知函数 f(x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+)单调递增 且当 x=1 或 x=2 时，f (x)=0 10 分 f(x)的极大值为 5611ln4)1(bbf 11 分 f(x)的极小值为b

6、bf82ln41242ln4)2(12 分 由题意可知082ln4)2(05)1(bfbf 则 2ln485 b 14 分 类型四：一般的恒成立问题 4已知 f(x)xlnxax，g(x)x22，()对一切 x(0，)，f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；()当 a1 时，求函数 f(x)在m，m3(m0)上的最值；1.解：()对一切)()(),0(xgxfx恒成立，即2ln2xaxxx恒成立.也就是xxalnx2在),0(x恒成立.1 分 令xxxxF2ln)(，则F2222)1)(2(2211)(xxxxxxxxx，2 分 在)10(，上F0)(x，在)1(，上F0)(x，因此

7、，)(xF在1x处取极小值，也是最小值，即3)1()(min FxF，所以3a.4 分()当时，1axxxxfln)(，4/9 f 2ln)(xx，由f 0)(x得21ex.6 分 当210em 时，在)1,2emx上f 0)(x，在 3,1(2mex上f 0)(x 因此，)(xf在21ex 处取得极小值，也是最小值.2min1)(exf.由于0 1)3)ln(3()3(,0)(mmmfmf 因此，1)3)ln(3()3()(maxmmmfxf 8 分 当时21em，0)(xf，因此 3,)(mmxf在上单调递增，)1(ln)()(minmmmfxf 1)3)ln(3()3()(maxmmmf

8、xf 类型五：用构造法证明不等式问题 5、已知函数ln()1axbf xxx，曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230 xy （I）求a，b的值；（II）证明：当0 x，且1x 时，ln()1xf xx （）221(ln)()(1)xxbxfxxx 由于直线230 xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1(1),2ff 即 1,1,22bab 解得1a，1b。（）由（）知ln1f()1xxxx，所以 )1ln2(111ln)(22xxxxxxxf考虑函数()2lnh xxxx12(0)x，则 22222)1()1(22)(xxxxxxxh所以当1x时，,0)1(,0)(

9、hxh而故 当)1,0(x;0)(11,0)(2xhxxh可得 5/9 当),1(x时，;0)(11,0)(2xhxxh可得 从而当.1ln)(,01ln)(,1,0 xxxfxxxfxx即且 类型六：最值问题 6、设函数()exf x，其中e为自然对数的底数.（）求函数()()eg xf xx的单调区间；（）记曲线()yf x在点00(,()P xf x（其中00 x）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值.解：（）由已知()eexg xx，所以()eexg x，2 分 由()ee0 xg x，得1x，3 分 所以，在区间(,1)上，()0g x，函数()g x在区

10、间(,1)上单调递减；4 分 在区间(1,)上，()0g x，函数()g x在区间(1,)上单调递增；5 分 即函数()g x的单调递减区间为(,1)，单调递增区间为(1,).（）因为()exfx，所以曲线()yf x在点P处切线为l：000ee()xxyxx.7 分 切线l与x轴的交点为0(1,0)x，与y轴的交点为000(0,ee)xxx，9 分 因为00 x，所以002000011(1)(1)e(12)e22xxSxxxx，10 分 0201e(1)2xSx，12 分 在区间(,1)上，函数0()S x单调递增，在区间(1,0)上，函数0()S x单调递减.所以，当01x 时，S有最大值

11、，此时2eS，所以，S的最大值为2e.6/9 近三年新课标导数高考试题 2011 1、（2）下列函数中，既是偶函数又在+（0，）单调递增的函数是 B（A）3yx (B)1yx （C）21yx (D)2xy 2、（9）由曲线yx，直线2yx及y轴所围成的图形的面积为 C（A）103 （B）4 （C）163 （D）6 3、(12)函数11yx的图像与函数2sin(24)yxx 的图像所有交点的横坐标之和等于 D （A）2 (B)4 (C)6 (D)8 4、（21）（本小题满分 12 分）已知函数ln()1axbf xxx，曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230 xy。（）求a、b的

12、值；（）如果当0 x，且1x 时，ln()1xkf xxx，求k的取值范围。（21）解：（）221(ln)()(1)xxbxfxxx 由于直线230 xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1(1),2ff 即 1,1,22bab 解得1a，1b。（）由（）知ln1f()1xxxx，所以22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxf xxxxxx。考虑函数()2lnh xx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2()kxxh xx。(i)设0k，由222(1)(1)()k xxh xx知，当1x 时，()0h x。而(1)0h，故 当(0,1)x时，()0h x，可得

13、21()01h xx；当 x（1，+）时，h（x）0 从而当 x0,且 x1 时，f（x）-（1lnxx+xk）0，即 f（x）1lnxx+xk.（ii）设 0k0,故h(x）0,7/9 而 h（1）=0，故当 x（1，k11）时，h（x）0，可得211xh（x）0,而 h（1）=0，故当 x（1，+）时，h（x）0，可得211x h（x）0,与题设矛盾。综合得，k 的取值范围为（-，0 2012 5、（12）设点 P 在曲线 y=12ex 上，点 Q 在曲线 y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为 B（A）1-ln2 （B）2(1ln2)（C）1+ln2 （D）2(1ln2)6、（21）（本

14、小题满分12 分）已知函数 f（x）满足121()(1)(0)2xf xfefxx（1）求 f（x）的解析式及单调区间；（2）若21()2f xxaxb求（a+1）b的最大值。【解析】（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2xxf xfefxxfxfefx 令1x 得：(0)1f 1211()(1)(0)(1)1(1)2xf xfexxffefe 得：21()()()12xxf xexxg xfxex ()10()xg xeyg x 在xR上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0fxfxfxfx 得：()f x的解析式为21()2xf xexx 且单调递增区间为(0,)，单调递减区间

15、为(,0)（2）21()()(1)02xf xxaxbh xeaxb得()(1)xh xea 当10a 时，()0()h xyh x在xR上单调递增 x 时，()h x 与()0h x 矛盾 当10a 时，()0ln(1),()0ln(1)h xxah xxa 得：当ln(1)xa时，min()(1)(1)ln(1)0h xaaab 8/9 22(1)(1)(1)ln(1)(10)abaaaa 令22()ln(0)F xxxx x；则()(12ln)F xxx ()00,()0F xxe F xxe 当xe时，max()2eF x 当1,aebe时，(1)ab的最大值为2e【2013 年】7、

16、16、若函数f(x)=(1x2)(x2axb)的图像关于直线x=2对称，则f(x)的最大值是_.【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.【解析】由()f x图像关于直线x=2 对称，则 0=(1)(3)ff=221(3)(3)3ab，0=(1)(5)ff=221(5)(5)5ab，解得a=8，b=15，()f x=22(1)(815)xxx，()fx=222(815)(1)(28)x xxxx=324(672)xxx=4(2)(25)(25)xxx 当x(,25)(2,25)时，()fx0，当x(25,2)(25,+)时，()fx0，()f x在（，25）单调递增，在

17、（25，2）单调递减，在（2，25）单调递增，在（25，+）单调递减，故当x=25 和x=25 时取极大值，(25)f =(25)f =16.8、（21）（本小题满分共 12 分）已知函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线y4x+2（）求a，b，c，d的值（）若x2 时,()()f xkg x，求k的取值范围。9/9【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题.【解析】（）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4fgf

18、g，而()fx=2xb，()g x=()xecxdc，a=4，b=2，c=2，d=2；4 分（）由（）知，2()42f xxx，()2(1)xg xex，设函数()F x=()()kg xf x=22(1)42xkexxx（2x ），()F x=2(2)24xkexx=2(2)(1)xxke，有题设可得(0)F0，即1k，令()F x=0 得，1x=lnk，2x=2，（1）若21ke，则21x0，当1(2,)xx 时，()F x0，当1(,)xx时，()F x 0，即()F x在1(2,)x单调递减，在1(,)x 单调递增，故()F x在x=1x取最小值1()F x，而1()F x=21112242xxx=11(2)x x0，当x2 时，()F x0，即()f x()kg x恒成立，(2)若2ke，则()F x=222(2)()xexee，当x2 时，()F x0，()F x在(2,+)单调递增，而(2)F=0，当x2 时，()F x0，即()f x()kg x恒成立，(3)若2ke，则(2)F=222ke=222()eke0，当x2 时，()f x()kg x不可能恒成立，综上所述，k的取值范围为1,2e.