高中数学必修5第一章解三角形检测题及答案.pdf

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1、1/10 第一章 解三角形 一、选择题 1已知 A，B 两地的距离为 10 km，B，C 两地的距离为 20 km，现测得ABC120，则 A，C 两地的距离为()A10 km B103km C105km D107km 2在ABC 中，若2cosAa2cosBb2cosCc，则ABC 是()A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 3三角形三边长为 a，b，c，且满足关系式(abc)(abc)3ab，则 c 边的对角等于()A15 B45 C60 D120 4在ABC 中，三个内角A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 abc132，则 sin Asin Bsin C()

2、A321 B231 C123 D132 5如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则()AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形 BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形 CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形 DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形 6在ABC 中，a23，b22，B45，则A 为()A30或 150 B60 C60或 120 D30 2/10 7在ABC 中，关于 x 的方程(1x2)sin A2xsin B(1x2)sin C0 有两个不等的实根，则 A 为()A锐角 B直角 C钝角 D不存在 8在ABC

3、中，AB3，BC13，AC4，则边 AC 上的高为()A223 B233 C23 D33 9在ABC 中，cbacba333c2，sin Asin B43，则ABC 一定是()A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 10根据下列条件解三角形：B30，a14，b7；B60，a10，b9那么，下面判断正确的是()A只有一解，也只有一解 B有两解，也有两解 C有两解，只有一解 D只有一解，有两解 二、填空题 11在ABC 中，a，b 分别是A 和B 所对的边，若 a3，b1，B30，则A 的值是 12在ABC 中，已知 sin Bsin Ccos22A，则此三角形是_三角

4、形 13已知 a，b，c 是ABC 中A，B，C 的对边，S 是ABC 的面积若 a4，b5，S53，求 c 的长度 14ABC 中，ab10，而 cos C 是方程 2x23x20 的一个根，求ABC 周长的最小值 15在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 sin Asin Bsin C256若ABC 的面积为4393，则ABC 的周长为_ 16在ABC 中，A 最大，C 最小，且A2C，ac2b，求此三角形三边之比为 3/10 三、解答题 17在ABC 中，已知A30，a，b 分别为A，B 的对边，且 a433b，解此三角形 18如图所示，在斜度一定的山坡上的一点 A

5、 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15，向山顶前进 100 米后到达点 B，又从点 B 测得斜度为 45，建筑物的高 CD 为50 米求此山对于地平面的倾斜角 (第 18 题)4/10 19在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 bcos C(2ac)cos B，()求B 的大小；()若 b7，ac4，求ABC 的面积 20在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，求证：222cba CBAsinsin)(5/10 参考答案 一、选择题 1D 解析：AC2AB2BC22ABBCcosABC 10220221020cos 120 700 AC107 2

6、B 解析：由2cosAa2cosBb2cosCc及正弦定理，得2cossinAA2cossinBB2cossinCC，由 2 倍角的正弦公式得2sinA2sinB2sinC，ABC 3C 解析：由(abc)(abc)3ab，得 a2b2c2ab cos Cabcba222221 故 C60 4D 解析：由正弦定理可得 abcsin Asin Bsin C132 5D 解析：A1B1C1的三个内角的余弦值均大于 0，则A1B1C1是锐角三角形 若A2B2C2不是钝角三角形，由)()()(1121121122sincossin2sincossin2sincossinCCCBBBAAA，得12121

7、2222CCBBAA，那么，A2B2C223(A1B1C1)2，与 A2B2C2 矛盾 所以A2B2C2是钝角三角形 6C 6/10 解析：由AasinBbsin，得 sin AbBasin22223223，而 ba，有两解，即A60或A120 7A 解析：由方程可得(sin Asin C)x22xsin Bsin Asin C0 方程有两个不等的实根，4sin2 B4(sin2 Asin2 C)0 由正弦定理AasinBbsinCcsin，代入不等式中得 b2a2c20，再由余弦定理，有 2ac cos Ab2c2a20 0A90 8B 解析：由余弦定理得 cos A21，从而 sin A2

8、3，则 AC 边上的高 BD233 9A 解析：由cbacba333c2a3b3c3(abc)c2a3b3c2(ab)0(ab)(a2b2abc2)0 ab0，a2b2c2ab0 (1)由余弦定理(1)式可化为 a2b2(a2b22abcos C)ab0，得 cos C21，C60 由正弦定理AasinBbsin60sinc，得 sin Aca60sin，sin Bcb60sin，sin Asin B2260sincab)(43，2cab1，abc2将 abc2代入(1)式得，a2b22ab0，即(ab)20，ab ABC 是等边三角形 7/10 10D 解析：由正弦定理得 sin AbBas

9、in，中 sin A1，中 sin A935分析后可知有一解，A90；有两解，A 可为锐角或钝角 二、填空题 1160或 120 解析：由正弦定理AasinBbsin计算可得 sin A23，A60或 120 12等腰 解析：由已知得 2sin Bsin C1cos A1cos(BC)，即 2sin Bsin C1(cos Bcos Csin Bsin C)，cos(BC)1，得BC，此三角形是等腰三角形 1321或61 解：S21absin C，sin C23，于是C60或C120 又 c2a2b22abcos C，当C60时，c2a2b2ab，c21；当C120时，c2a2b2ab，c61

10、 c 的长度为21或61 141053 解析：由余弦定理可得 c2a2b22abcos C，然后运用函数思想加以处理 2x23x20，x12，x221 又 cos C 是方程 2x23x20 的一个根，cos C21 由余弦定理可得 c2a2b22ab(21)(ab)2ab，8/10 则 c2100a(10a)(a5)275，当 a5 时，c 最小，且 c7553，此时 abc55531053，ABC 周长的最小值为 1053 1513 解析：由正弦定理及 sin Asin Bsin C256，可得 abc256，于是可设 a2k，b5k，c6k(k0)，由余弦定理可得 cos Babcba2

11、222)(kkkkk6222536422285，sin BB2cos1839 由面积公式 SABC21ac sin B，得 21(2k)(6k)8394393，k1，ABC 的周长为 2k5k6k13k13 本题也可由三角形面积(海伦公式)得)6213)(5213)(2213(213kkkkkkk4393，即4393k24393，k1 abc13k13 16654 解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用 由正弦定理得caCAsinsinCCsin2sin2cos C，即 cos Cca2，由余弦定理 cos Cabcba2222abbcaca22)(ac2b，cos Cabcabcab222

12、)(acaca222)(，ca2acaca222)(9/10 整理得 2a25ac3c20 解得 ac 或 a23c A2C，ac 不成立，a23c b2ca 223cc c45，abc23cc45c654 故此三角形三边之比为 654 三、解答题 17b43，c8，C90，B60或 b43，c4，C30，B120 解：由正弦定理知AasinBbsin30sin4Bsin34sin B23，b43 B60或B120C90或C30c8 或 c4 18分析：设山对于地平面的倾斜角EAD，这样可在ABC 中利用正弦定理求出BC；再在BCD 中，利用正弦定理得到关于的三角函数等式，进而解出角 解：在A

13、BC 中，BAC15，AB100 米，ACB451530 根据正弦定理有30sin10015sinBC，BC30sin15sin100 又在BCD 中，CD50，BC30sin15sin100，CBD45，CDB90，根据正弦定理有45sin50)(90sin30sin15sin100 解得 cos31，42.94 山对于地平面的倾斜角约为 42.94 19解：()由已知及正弦定理可得 sin Bcos C2sin Acos Bcos Bsin C，2sin Acos Bsin Bcos Ccos Bsin Csin(BC)又在三角形 ABC 中，sin(BC)sin A0，2sin Acos

14、 Bsin A，即 cos B21，B3(第 18 题)10/10()b27a2c22accos B，7a2c2ac，又(ac)216a2c22ac，ac3，SABC21acsin B，即 SABC21323433 20分析：由于所证明的是三角形的边角关系，很自然联想到应用正余弦定理 解：由余弦定理 a2b2c22bccos A；b2a2c22accos B 得 a2b2b2a22bccos A2accos B，2(a2b2)2bccos A2accos B，222cbacBaAbcoscos 由正弦定理得 a2R sin A，b2R sin B，c2R sin C，222cbacBaAbcoscos CABBAsincossincossin CBAsinsin)(故命题成立