高中数学第二章函数模型及其应用一导学案苏教版必修1.pdf

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1、1/7 江苏省响水中学高中数学 第二章函数模型及其应用（一）导学案 苏教版必修 1 1.了解和体会函数模型在实际中的广泛应用.2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较.3.会分析具体的实际问题,能够建模解决实际问题.1859 年,有人把几只兔子从欧洲带到澳大利亚,由于澳大利亚没有鹰、狐狸和狼这些天敌,而且气候宜人,牧草茂盛,于是,一场几乎不受任何限制的可怕扩张开始了,不到 100 年,兔子数量达到 75 亿只,每十只兔子就能吃掉相当于一只羊所吃的牧草,使得澳大利亚的农业和畜牧业蒙受了巨大损失,直到 20 世纪 50 年代,科学家采用黏液瘤病毒杀死了 90%的野兔,才

2、使澳大利亚人松了一口气.问题 1:情境中的生物入侵已成为世界性难题,如果建立一种函数模型来描述兔子的这种增长,那么应选用的函数模型是 .问题 2:截止到目前我们学习过的基本函数类型有 6 种,分别是一次函数、二次函数、反比例函数、.问题3:对比函数y=kx+b(k0),y=x2,y=ax(a1),y=logax(a1)在(0,+)的单调性和图象,比较它们的增长差异.(1)这几个函数的共同点都是在(0,+)上是 .(2)通过它们的函数图象可以发现,增长速度由慢到快的函数模型依次是 模型、模型、模型、模型.(3)一次函数、二次函数模型属于幂函数y=xn(nN*)模型,n越大,增长的速度就 ,但增长

3、速度最终不会超过 模型,而最终会比 模型增长速度快.问题 4:如何正确理解指数函数、幂函数、对数函数三种模型增长的差异性?对于函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)在x(0,+)上都为增函数,我们常用它们来描述一些增长现象.但它们增长的快慢不同,y=ax(a1)“先慢后快”“随着x的增大逐渐加快增大”;y=logax(a1)“先快后慢”“随着x的增大逐渐减慢增大”;事实上,总存在一个x0,当xx0时,有 logaxxnax,即所谓的“对数增长”“直线上升”(当y=xn中n=1时)和“指数爆炸”.2/7 1.某山区加强环境保护,绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%,

4、那么,经过x年,绿色植被面积可增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图象为 .2.一个矩形的周长是 40,则矩形的长y关于宽x的函数解析式为下列选项中的 .y=20-x,0 x10;y=20-2x,0 x20;y=40-x,0 x10;y=40-2x,0 x20.3.用长度为 24 的材料围一矩形场地,中间用该材料加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为 .4.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v=2000 ln(1+),则当燃料质量是火箭质量的多少倍时,火箭的最大速度可达 12 km/s?一次函数、二次函数

5、模型 某公司试销一种新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价 500 元/件,又不高于 800元/件,经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件),可近似看作一次函数y=kx+b的关系(图象如图所示).(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元.求S关于x的函数表达式;求该公司可获得的最大毛利润,并求出此时相应的销售单价.指数函数、对数函数和幂函数模型 我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中,发掘出古莲子,至今大部分还能发芽开花.古莲子出土时14C(半衰期为 5730 年)的残余量约占原始含量的 87.9%,试推算古莲子的生活

6、年代(经过科学鉴定,若14C 的原始含量为Q0,则经过t年后的残余量Q与Q0之间满足Q=Q0e-kt).对指数函数、幂函数不同增长速度的应用 3/7 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1g(x)h(x);g(x)f(x)h(x);g(x)h(x)f(x);f(x)h(x)g(x).2.李老师骑自行车上班,最初以某一速度匀速行进,中途由于自行车发生故障,停下修车耽误了一段时间,为了按时到校,李老师加快了速度但仍保持匀速,结果准时到校,以下符合自行车进程s(km)与行驶时间t(h)的函数图象的示意图的是 .3.三个变量y1

7、、y2、y3随变量x的变化情况如下表:x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00 y1 5 135 625 1715 3645 6633 y2 5 29 245 2189 1968 5 177149 y3 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 其中x呈对数型函数变化的变量是 ,呈指数函数型变化的变量是 ,呈幂函数型变化的变量是 .4.某种商品现在定价每件p元,每月卖出n件,因而现在每月售货总金额np元,设定价上涨x成,卖出数量减少y成,售货总金额变成现在的z倍.(1)用x和y表示z;(2)若y=x,求使售货总金额有所增加的x值的范围.某家具的标价为

8、132 元,若降价以九折出售(即优惠 10%),仍可获利 10%(相对进货价),则该家具的进货价是 元.考题变式(我来改编):第 12 课时 函数模型及其应用(一)知识体系梳理 问题 1:指数函数模型 问题 2:指数函数 对数函数 幂函数 5/7 问题 3:(1)增函数(2)对数函数 一次函数 二次函数 指数函数(3)越快 指数函数 对数函数 基础学习交流 1.f(x)=(1+10.4%)x,故填.2.矩形的周长是 40,2x+2y=40,则y=20-x(0 x10).3.3 设隔墙的长为x(0 xg(1),f(2)g(2),f(9)g(10),1x12,9x210,x18x2.从图象上可以看

9、出,当x1xx2时,f(x)g(x),f(8)x2时,f(x)g(x),f(2015)g(2015).又g(2015)g(8),f(2015)g(2015)g(8)f(8).【小结】根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.思维拓展应用 应用一:(1)由题意可设,y=a(x-15)2+17.5,将x=10,y=20 代入上式,得 20=25a+17.5.解得a=0.1.所以y=0.1(x-15)2+17.5(10 x25).(2)设利润为Q(x),则Q(x)=1.6x-y=1.

10、6x-(0.1x2-3x+40)=-0.1(x-23)2+12.9(10 x25).因为x=2310,25,所以当月产量为 23 吨时,可获最大利润 12.9 万元.应用二:(1)由题意知,当燕子静止时,它的速度v=0,代入题中的公式,得 0=5log2,解得Q=10.即燕子静止时的耗氧量是 10 个单位.(2)将耗氧量Q=80 代入题中的公式得:v=5log2=5log28=15(m/s).即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时,它的飞行速度为 15 m/s.应用三:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x.(2)当xf(x);当x1xg(x);当xx2时,g(x)f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).基础智能检测 1.对幂函数、指数函数、对数函数增长速度的比较:直线上升、指数爆炸、对数增长,故当x(4,+)时,h(x)f(x)1,得1,x(x-5)0,0 x5.全新视角拓展 108 设进货价为a元,由题意知 132(1-10%)-a=10%a,解得a=108.思维导图构建 logaxxnax