多项式除以单项式-教师版.pdf

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1、第 1 页 初中数学备课组 教师 年级：学生 日期 上课时间 学生情况：主课题：多项式除以单项式 教学目标：1.掌握多项式除以单项式的法则，并能熟练地进行多项式除以单项式的计算；2.渗透转化思想；3.提高学生的抽象、概括能力，以及运算能力.教学重点：1.多项式除以单项式的运算法则；2.准确、熟练地运用法则进行计算。教学难点：1.正确熟练地运用法则进行计算；考点及考试要求：第 2 页 教 学 设 计【要点归纳】1.多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。2.进行相关的混合运算时，既要注意运算法则，又要注意运算顺序。3.多项式除以单项式所得商的项数

2、与这个多项式的项数相同，不要漏项。4.运算性质是整式乘除法的基础，只要抓住这关键的一步，才能准确地进行多项式除以单项式的运算。5.符号仍是运算中的重要问题，用多项式的每一项除以单项式时，要注意每一项的符号和单项式的符号。一、复习引入 1.计算并回答问题：(1)4a3b4c2a2b2c；(2)(-43a2b2c)3ab2；提问：以上的计算是什么运算?能否叙述这种运算的法则？2.计算并回答问题：(1)3x(x2-61x+1)；(2)-4a(23a2-a+2)；提问：以上的计算是什么运算?能否叙述这种运算的法则？二、讲授新课 1.提出问题 对照整式乘法的学习顺序，下面我们应该研究整式除法的什么内容?

3、(多项式除以单项式)2.多项式除以单项式的法则 引例：计算(am+bm+cm)m 我们曾把多项式乘以单项式的运算转化为单项式乘以单项式的运算来进行，那么多项式除以单项式的运算是否也能进行类似的转化呢?根据“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，有(a+b+c)m=(a+b+c)m1=am1+bm1+cm1=am+bm+cm 第 3 页 这就是多项式除以单项式的法则，你能用文字语言叙述吗?(多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加)三、应用举例 例 1.计算(1)(28a3-14a2+7a)7a；(2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)(-6x2y)；解：(1

4、)(28a3-14a2+7a)7a =28a37a-14a27a+7a7a =4a2-2a+1；(2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)(-6x2y)=36x4y3(-6x2y)-24x3y2(-6x2y)+3x2y2(-6x2y)=-6x2y2+4xy-21y 第(1)小题由师生共同解答，教师板演，并提醒学生注意商式中“1”不可漏掉；第(2)小题由学生板演，根据学生的板演，教师强调指出：当除式的系数为负数时，商式的各项符号与被除式各项的符号相反。例 2.计算 (1)23322211(4)()48x yx yx y；(2)2223225(3)(3)2abaaba ba b；(3)216

5、(243)82(2)x yxyxyxyx xy.答案：(1)-32y+2x；(2)451527222aba b；(3)2241010 x yxxy.例 3.先化简，再求值：21(2)(4)8()2xyy yxxx，其中.21x 解：21(2)(4)8()2xyy yxxx =8x-16=-4-16 =-20 第 4 页 例 4.多项式32455411226a ba ba b提出公因式3216a b后，另一个因式是怎样求出来的？求出这个因式。解：用公因式去除这个多项式，可得出另一个因式：即 例 5.已知：3x3-12x2-17x+10 能被 ax2+ax-2 整除，它的商式为 x+5b，试求 a

6、，b 的值。解：3x3-12x2-17x+10=(ax2+ax-2)(x+5b)=ax3+(a+5ab)x2+(-2+5ab)x-10b 注：此类问题把多项式的除法与字母系数的问题结合在一起，解决问题的关键是把除法转化为乘法，并比较系数(同类项的系数相等)。四、巩固练习 1.填空(1)_33m n_23mnm；(2)_253p_23235pqp q；(3)_237(1)22xx _232327xxxx；(4)_2 23(2114)s tst_2732stst.2.计算(1)(16m2-24m2)(-8m2)；(2)(9x3y2-21xy2)7xy2；(3)(25x2+15x3y-20 x4)(

7、-5x2)；(4)(4c2d+c3d3)(-2c2d).答案：(1)1；(2)2937x；(3)2534xyx；(4)2122cd.3.计算(1)22284aba bab；(2)32942xx；(3)241624xxx.答案：(1)-2ab；(2)2x+3；(3)-x-2.4.化简(1)(2x+y)2-y(y+4x)-8x2x；解：(2x+y)2-y(y+4x)-8x2x 第 5 页=(4x2+4xy+y2-y2-4xy-8x)2x=(4x2-8x)2x=2x-4 (2)设 n 是偶数，化简 222()()()nnnxxx .解：222()()()nnnxxx =-2 5.错例辩析，指出下列计

8、算的错误，并改正。答案：有两个错误：第一，丢项，被除式有三项，商式只有二项，丢了最后一项 1；第二项是符号上错误，商式第一项的符号为“-”，正确答案为525214aa x。6.多项式 6x5-15x4+3x3-3x2+x+1 除以 3x2余式为 x+1，求商式。分析：根据“被除式=除式商式+余式”可变形为“商式=(被除式-余式)除式”解：(6x5-15x4+3x3-3x2+x+1)-(x+1)3x2=(6x5-15x4+3x3-3x2)3x2=2x3-5x2+x-1 7.在班级联欢晚会上表演的一个魔术如下：请你在心中想一个正数，若你先按下列程序 运算 你能马上说出结果，你知道其中的奥妙在哪里吗

9、？请你用所学过的数学知识来解释.小结 1.多项式除以单项式的法则是什么?2.多项式除以单项式的运算思路是什么?正确地把多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题。计算不可丢项，分清“约掉”与“消掉”的区别：“约掉”对乘除法则言，不减项；“消掉”对加减法而言，减项。(先将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式；然后又转化为同底数幂相除。)五、自我测试 1.当a=34时，代数式(28a3-28a2+7a)7a的值是 (B)A.6.25；B.0.25；C.-2.25；D.-4.2.(a4-b4)除以(a2-b2)的商为 n 平方+n n 答案 第 6 页(C)A.a2-b2 B.(a-b)2 C

10、.a2+b2 D.(a+b)2 3.5x3y2与一个多项式的积为 20 x5y2-15x3y4+70(x2y3)2，则这个多项式为 (C)A.4x2-3y2；B.4x2y-3xy2；C.4x2-3y2+14xy4；D.4x2-3y2+7xy3.4.计算(1)(10 xm-2-8xm+1+4x2m)(-2xm-3)；(2)(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(3x-2y)3x；(3)(0.25a4b3-12a4b5-16a3b2)0.5a3b2；(4)2(a+b)5-3(a+b)4+(-a-b)32(a+b)3.解：(1)原式=(10 xm-2)(-2xm-3)+(-8xm+1)(-2xm

11、-3)+(4x2m)(-2xm-3)=-5x+4x4-2xm+3；(2)原式=(6x2-4xy)3x=2x-43y；(3)原式=(0.25a4b30.5a3b2)+(-12a4b50.5a3b2)+(-16a3b20.5a3b2)=12ab-ab3-13；(4)原式=2(a+b)52(a+b)3+-3(a+b)42(a+b)3+-(a+b)32(a+b)3=a2+2ab+b2-32a-32b-12 5.化简(1)(-3xy)2x3-2x2(3xy2)312y9x4y2；(2)(4x-12y)2+4y(x-16y)8x2.解：(1)原式=9x5y2-27x5y79x4y2=x-3xy5；(2)原

12、式=16x2-4xy+14y2+4xy-14y28x2=2.6.解方程 (1)32(2)(2)7(3)xxxx x ；答案：x=-2 第 7 页(2)32(4)3(2)()xxxxx.答案：x=-32 7.计算 答案：422222a ba babb 8.已知三角形的面积是 4a2-2a2b+ab2，一边长为 2a，求这条边上的高。分析：先利用三角形的面积公式列代数式，再用多项式除以单项式计算。解：面积=12边长高，高=2(4a2-2a2b+ab2)2a，=2a(4a-2ab+b2)2a，=4a2-2a2b+ab2 答：这条边上的高为 4a-2ab+b2.9.已知 x-2 能整除 x2+kx-1

13、4，求 k 值。解：214(2)(7)xkxxx k=5.10.已知除式为 3x2+2y，商式为 9x4-6x2y+4y2，余式为 x-8y3，求被除式。解：被除式=42223(964)(32)(8)xx yyxyxy 11.若 x4-5x3+ax2+bx+c 能被(x-1)2整除，试求(a+b+c)2的值。分析：代数式(a+b+c)如何才能出现，条件中有 ax2+bx+c，若 x=1，则会出现代数式(a+b+c)解：x4-5x3+ax2+bx+c 能被(x-1)2整除 x4-5x3+ax2+bx+c=(x-1)2A(A 为商式)当 x=1 时，上等式变为：14-513+a+b+c=0 a+b

14、+c=4 (a+b+c)2=16 注：本题把多项式的除法与代数式求值结合在一起，x4-5x3+ax2+bx+c 能被(x-1)2整除，则(x-1)2是x4-5x3+ax2+bx+c 的一个因式，当 x=1 时，x-1=0，(x-1)2=0，此时，多项式 x4-5x3+ax2+bx+c 的值为 0，有 1-5+a+b+c=0，a+b+c=4，应当指出：若一个多项式能被(x-a)整除，则(x-a)是这个多项式的一个因式，当 x=a 时，多项式的值为 0。12.是否存在常数 p、q 使得 x4+px2+q 能被 x2+2x+5 整除？如果存在，求出 p、q 的值，否则请说明理由.分析：假设存在，则说

15、明 x4+px2+q 能被 x2+2x+5 整除，可设另一个因式是 x2+mx+n，于是有(x2+2x+5)(x2+mx+n)=x4+px2+q，可把等式的左边展开并合并同类项，利用等式的对应项相等可得关于 m、n、p、q 的方程组，解即可，若 p、q 都是常数，则说明存在，否则就是不存在.第 8 页 解：假设存在，则说明 x4+px2+q 能被 x2+2x+5 整除，可设另一个因式是 x2+mx+n，(x2+2x+5)(x2+mx+n)=x4+px2+q，即有 x4+(m+2)x3+(n+2m+5)x2+(2n+5m)x+5n=x4+px2+q，m+2=0，n+2m+5=p 且 2n+5m=0，5n=q 解上面的方程组，得 m=-2，n=5，p=6，q=25，存在常数 p、q 使得 x4+px2+q 能被 x2+2x+5 整除.故所求 p=6，q=25.