高中数学必修4教案三角恒等变换.pdf

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1、1/9 第三章 三角恒等变换 本章教材分析 本章知识框图 本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式,以及运用这些公式进行简单的恒等变换.变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一.在本册第一章,学生接触了同角三角函数公式.在本章,学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式,由此出发导出其他的三角变换公式,并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习,使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中,发展推理能力和运算能力,并体会三角恒等变换的工具性作用,学会它们在数学中的一些应用.本章内容安排按两条线进行,一条明线是建立公式,学

2、习变换;一条暗线就是发展推理能力和运算能力,并且发展能力的要求不仅仅体现在学习变换过程之中,也体现在建立公式的过程之中.因此在本章教学中,教师要特别注意恰时恰点地提出问题,引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题,使学生能依据三角函数式的特点,逐渐明确三角函数恒等变换不仅包括式子的结构形式变换,还包括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换,强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识.突出数学思想方法的教学,在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导,本章不仅关注使学生得到和(差)角公式,而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法.例如,在两角差的余弦公式这一关键性问题的解

3、决中体现了数形结合思想以及向量方法的应用;从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,在这个过程中,始终引导学生体会化归思想;在应用公式进行恒等变换的过程中,渗透了观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法,特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用,对学生解决问题的一般思路进行引导,这对学生养成科学的数学思考习惯能起到积极的促进作用.另外,还在适当的时候对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结.例如,在旁白中有“倍是描述两个数量之间关系的,2 是 的二倍,4 是 2 的二倍,这里蕴含着换元的思想”等,都是为了加强思想方法而设置的.两角和与差的

4、正弦、余弦、正切公式和二倍角公式是历届高考考查的“重点”和“热点”,在高考中占有重要的地位,主要考查对这十一个公式的正用、逆用、变形用,考查对公式的熟练掌握程度和灵活运用能力,其考查难度属低档,这就要求我们不要过分引导学生去挖掘一些特殊的变化技巧,应把主要精力放在学生掌握数学规律和通性通法上.教师在教学中,要注意控制好难度.因为近几年的高考中对三角部分的考查难度降低,但教材中部分习题却有一定难度,因此教师要把握好难度.本章教学时间约需 8 课时,具体分配如下(仅供参考):节 次 标 题 课 时 3.1.1 两角差的余弦公式 1 课时 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2 课时 3.

5、1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1 课时 2/9 3.2 简单的三角恒等变换 2 课时 本章复习 2 课时 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 整体设计 教学分析 本节是以一个实际问题做引子,目的在于从中提出问题,引入本章的研究课题.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:实际问题中存在研究像 tan(45+)这样的包含两个角的三角函数的需要;实际问题中存在研究像 sin与 tan(45+)这样的包含两角和的三角函数与、45单角的三角函数的关系的需要.以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系,增强学生的应用意

6、识,激发学生学习的积极性,同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程.本节首先引导学生对 cos(-)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出-角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;探索

7、过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;补充完善的过程,既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:要使学生了解公式的由来;使学生认识公式的结构特征,加以记忆;使学生掌握公式的推导和证明;通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题.三维目标 1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2.通过两角差的

8、余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.重点难点 教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本

9、引例.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:实际问题中存在研究像tan(45+)这样的包含两个角的三角函数的需要;实际问题中存在研究像 sin 与 tan(45+)3/9 这样的包含两角和的三角函数与、45单角的三角函数的关系的需要.在此基础上,再一般化而提出本节的研究课题进入新课.思路 2.(复习导入)我们在初中时就知道 cos45=22,cos30=23,由此我们能否得到 cos15=cos(45-30)=?这里是不是等于 cos45-cos30呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(-)等于什么呢？这

10、时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.推进新课 新知探究 提出问题 请学生猜想 cos(-)=?利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用、的三角函数来表示 cos(-)呢？利用向量的知识,又能如何推导发现 cos(-)=?细心观察 C(-)公式的结构,它有哪些特征？其中、角的取值范围如何？如何正用、逆用、灵活运用 C(-)公式进行求值计算？活动:问题,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到 cos(-)=cos-cos 的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如=60,=3

11、0,则 cos(-)=cos30=23,而 cos-cos=cos60-cos30=231,这一反例足以说明 cos(-)cos-cos.让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.问题,既然 cos(-)cos-cos,那么 cos(-)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,是-这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？图 1 如图 1,设角的终边与单位圆的交点为P1,POP1=,则POx=-.过点P作PM垂直于x轴,垂足为 M,那么 OM 就是角-的余弦线,即 OM=cos(-),这里就是要用角、的正弦线、余弦线来表示 O

12、M.过点 P 作 PA 垂直于 OP1,垂足为 A,过点 A 作 AB 垂直于 x 轴,垂足为 B,过点 P 作 PC 垂直于 AB,垂足为 C.那么,OA 表示 cos,AP 表示 sin,并且PAC=P1Ox=.于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=coscos+sinsin,所以,cos(-)=coscos+sin sin.教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角、-是有条件限制的,即、-均为锐角,且,如果要说明此结果是否对任意角、都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.4/9 图 2 问题,教师引导学生,可否利用

13、刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图 2,在平面直角坐标系 xOy内作单位圆 O,以 Ox 为始边作角、,它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A、B,则OA=(cos,sin),OB=(cos,sin),AOB=-.由向量数量积的定义有OAOB=|OA|OB|cos(-)=cos(-),由向量数量积的坐标表示有 OAOB=(cos,sin)(cos,sin)=coscos+sinsin,于是,cos(-)=coscos+sinsin.我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角-必须符合条件 0-,以上结论才正确,由于、都是任意角,-也是任意角,因此就是研究

14、当-是任意角时,以上公式是否正确的问题.当-是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角 0,2),使 cos=cos(-),若 0,则OAOB=cos=cos(-).若 ,2,则 2-0,且OAOB=cos(2-)=cos=cos(-).由此可知,对于任意角、都有 cos(-)=coscos+sinsin(C(-)此公式给出了任意角、的正弦、余弦值与其差角-的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为 C(-).有了公式 C(-)以后,我们只要知道 cos、cos、sin、sin 的值,就可以求得 cos(-)的值了.问题,教师引导学生细心观察公式 C(-)的结构特征,让学生自己发现公式左边是

15、“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=_,cos(-)=_等.因此,只要知道了 sin、cos、sin、cos 的值就可以求得 cos(-)的值了.问题,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如 cos75cos45+sin75sin45=cos(75-45)=cos30=23,cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin.

16、讨论结果:略.应用示例 思路 1 例 1 利用差角余弦公式求 cos15的值.活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角 15,它可以拆5/9 分为哪些特殊角的差,如 15=45-30或者 15=60-45,从而就可以直接套用公式 C(-)计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究.解:方法一:cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45sin30=.42621222322 方法二:cos15=cos(60-45)=

17、cos60cos45sin60sin45=21.426232222 点评:本题是指定方法求 cos15的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.变式训练 1.不查表求 sin75,sin15的值.解:sin75=cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45sin30=.42621322322 sin15=15cos12=2)426(1=.426162628 点评:

18、本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110cos20sin110sin20.解:原式=cos(110-20)=cos90=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式 C(-)的右边的特征,逆用公式便可得到 cos(110-20).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.例 2 已知 sin=54,(2,),cos=135,是第三象限角,求 cos(-)的值.活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲求 c

19、os(-)的值,必先知道 sin、cos、sin、cos 的值,然后利用公式 C(-)即可求解.从已知条件看,还少 cos 与 sin 的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时,角、所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.本例可由学生自己独立完成.解:由 sin=54,(2,),得 cos=.53)54(1sin122a 6/9 又由 cos=135,是第三象限角,得 sin=.1312)135(1cos122 所以 cos(-)=coscos+sinsin=.6533)1312(54)135()53(点评:本题是直接运用公式 C(-)求值的基础练习,但必

20、须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.变式训练 已知 sin=54,(0,),cos=135,是第三象限角,求 cos(-)的值.解:当 2,)时,且 sin=54,得 cos=53)54(1sin122a,又由 cos=135,是第三象限角,得 sin=22)135(1cos1=1312.所以 cos(-)=coscos+sinsin=.6533)1312(54)135()53(.当(0,2)时,且 sin=54,得 cos=53)54(1sin122a,又由 cos

21、=135,是第三象限角,得 sin=.1312)135(1cos122 所以 cos(-)=coscos+sinsin=.6563)1312(54)135(53 点评:本题与例2的显著的不同点就是角的范围不同.由于(0,),这样cos的符号可正、可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角 进行分类讨论,从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏.思路 2 例 1 计算:(1)cos(-15);(2)cos15cos105sin15sin105;7/9(3)sinxsin(x+y)cosxcos(x+y).活动:教师可以大胆放给学生自己探究,点拨学生分析题目中的角-

22、15,思考它可以拆分为哪些特殊角的差,如-15=15-30或-15=45-60,然后套用公式求值即可.也可化cos(-15)=cos15再求值.让学生细心观察(2)(3)可知,其形式与公式 C(-)的右边一致,从而化为特殊角的余弦函数.解:(1)原式=cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45sin30=.42621222322(2)原式=cos(15-105)=cos(-90)=cos90=0.(3)原式=cosx-(x+y)=cos(-y)=cosy.点评:本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值,从不同角度培养学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力,

23、为后面公式的学习打下牢固的基础.例 2 已知 cos=71,cos(+)=1411,且、(0,2),求 cos 的值.活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求,让学生探究、+、之间的关系,也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系.学生通过探究、讨论不难得到=(+)-的关系式,然后利用公式 C(-)求值即可.但还应提醒学生注意由、的取值范围求出+的取值范围,这是很关键的一点,从而判断 sin(+)的符号进而求出 cos.解:、(0,2),+(0,).又cos=71,cos(+)=1411,sin=,734cos12a sin(+)=.1435)(cos12a 又=(+)-,cos=cos(+)co

24、s+sin(+)sin=.21734143571)1411(点评:本题相对于例 1 难度大有提高,但是只要引导适当,学生不难得到=(+)-的关系式,继而运用公式解决.但值得注意的是+的取值范围确定,也是很关键的,这是我们以后解题当中常见的问题.变式训练 1.求值:cos15+sin15.解:原式=22(2cos15+22sin15)=2(cos45cos15+sin45sin15)=2cos(45-15)=2cos30=26.8/9 2.已知 sin+sin=53,cos+cos=54,求 cos(-)的值.解:(sin+sin)2=(53)2,(cos+cos)2=(54)2,以上两式展开两

25、边分别相加得 2+2cos(-)=1,cos(-)=21.点评:本题又是公式 C(-)的典型应用,解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平方,从而得到公式 C(-)中 coscos 和 sinsin 的值,即可求得 cos(-)的值,本题培养了学生综合运用三角函数公式解决问题的能力.3.已知锐角、满足 cos=54,tan(-)=31,求 cos.解:为锐角,且 cos=54,得 sin=53.又02,02,-2-2.又tan(-)=310,cos(-)=103.从而 sin(-)=tan(-)cos(-)=101.cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=54).10

26、1(53103=50109.知能训练 课本本节练习.解答:1.(1)cos(2-)=cos2cos+sin2sin=sin.(2)cos(2-)=cos2cos+sin2sin=cos.2.102.3.348315 9/9 4.125372.课堂小结 1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练

27、地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.作业 课本习题 3.1 A 组 2、3、4、5.设计感想 1.本节课是典型的公式教学模式,因此本节课的设计流程为“实际问题猜想探索推导记忆应用”.它充分展示了公式教学中以学生为主体,进行主动探索数学知识发生、发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推导、证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题,从而培养学生独立探索数学知识的能力,增强学生的应用意识,激

28、发学生学习的积极性.2.纵观本教案的设计,学生发现推导出公式 C(-)后就是应用,同时如何训练公式的正用、逆用、变形用也是本节的重点难点.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律,又发现了怎样逆用公式及活用公式,那才是深层的,那才是我们中学数学教育的最终目的.3.教学矛盾的主要方面是学生的学,学是中心,会学是目的,根据高中三角函数的推理特点,本节主要是教给学生“研究问题、猜想探索公式、验证特殊情形、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增强了学生的参与意识,教给了学生发现规律、探索推导,获取新知的途径,让学生真正尝到探索的喜悦,真正成为教学的主体.学生体会到数学的美,产生一种成功感,从而提高了学习数学的兴趣.