六年级奥数分数裂项.pdf

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1、1/8 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的

2、相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1ab形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，那么有1111()abba ab(2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)nnn，1(1)(2)(3)nnnn形式的，我们有：1111(1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn 1111(1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1

3、的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：分数裂项计算 教学目标 知识点拨 2/8（1）11abababababba（2）2222ababababababba 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例 1】111111 22 33

4、44 55 6 。【巩固】111.10 1111 125960 【巩固】22221099 85443 【例 2】111111212312100 公式的变式 11221nnn()当n分别取 1，2，3，100 时，就有 112121122231123234112342451121002100101 例题精讲 3/8 111121123112100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101()()()2100101200101199101 求和公式推导：S1=1+2+3+4+5+S1=

5、5+4+3+2+1 【例 3】11111 33 55799 101 【巩固】计算：1111251 33 5572325 【巩固】2512512512512514 88 1212 162000200420042008 【巩固】计算：32456712 55 77 1111 161622222929 3 13(1215)+4/8 【例 4】计算：11111111()1288244880120168224288 方法一：=(12 4+14 6+16 8+18 10+110 12+112 14+114 16+116 18)128=12(1214+114116+116118)128 方法二：=18(1+1

6、3+16+110+115+121+128+136)128=16 (22+26+212+220+230+242+256+272)=16 (21 2+22 3+23 4+24 5+25 6+26 7+27 8+28 9)=16 2 (112+1213+1819)【巩固】11111111612203042567290_ 【巩固】11111113610152128 一项隔一项来拆项=1+12(1 13)+16+13(1215)+115+14(1317)+128 【巩固】计算：1111111112612203042567290 =12(1213)(19110)【巩固】11111104088154238

7、。=13(1215+1518+114117)5/8【例 5】74.50.1611111813153563133.753.23 【例 6】计算：11111123420261220420=(1+2+20)+(1 12+1213+120121)【巩固】计算：11111200820092010201120121854108180270=。【巩固】计算：1122426153577 _。【巩固】计算：1111111315356399143195 【巩固】计算：15111929970198992612203097029900 =1 12+1 16+1 19900=99 (12+16+19900)【例 7】1

8、111 2323478 9 6/8 【巩固】计算：1111 2 32 3 498 99 100 【巩固】计算：11111 3 524 63 5 7202224 =14(11 313 5+12 414 6+120 22122 24)【巩固】99989711 2323 43 4599 100 101 =1 11 2 3+1 22 3 4+1 33 4 5+1 9999 100 101 【例 8】111111 23 423 453 45667 8 97 8 9 10 =13(11 2 312 3 4+17 8 918 9 10)【例 9】计算：57191 232348 9 10 =2+31 2 3+

9、3+42 3 4+9+108 9 10 7/8【例 10】1234561 21 231 2341 23451 234561 234567 =1 11 2+31 2 311 2 3+41 2 3 411 2 3 4+71 2 3 4 5 6 711 2 3 4 5 6 7 【巩固】计算：23993!4!100!.【例 11】234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)=2 12(1 11+2)+3 13(11+211+2+3)+50 150(11+2+4911+2+50 【巩固】23101112(12)(123)(1239)(12310)（）【例 12】

10、5667788991056677 88 99 10 【巩固】36579111357612203042 =35+67+56+3+43 4+4+54 5+5+65 6+6+76 7 【巩固】计算：1325791011193457820212435 8/8=13+34+25+57+78+4+54 5+3+73 7+3+83 8+5+7+75 7 【巩固】123791117253571220283042 【巩固】1111120102638272330314151119120123124 10119=17 717 7 26120=30 430 4 38123=41 341 3 27124=31 431 4 【巩固】计算：57911131517191612203042567290【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算