机械优化设计复习题及答案.pdf

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1、1/9 机械优化设计复习题 一.单项选择题 1一个多元函数 F X在 X*附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（）A*0F X B.*0F X,*H X为正定 C*0H X D.*0F X,*H X为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于 n 维问题来说，复合形的顶点数 K 应（）A 1Kn B.2Kn C.12nKn D.21nKn 3目标函数 F（x）=4x21+5x22，具有等式约束，其等式约束条件为 h(x)=2x1+3x2-6=0,则目标函数的极小值为（）A1 B 19.05 C0.25 D0.1 4.对于目标函数 F(X)=ax+b 受约束于 g(X)=c+x0

2、的最优化设计问题，用外点罚函数法求解时，其惩罚函数表达式(X,M(k)为()。A.ax+b+M(k)min0,c+x2，M(k)为递增正数序列 B.ax+b+M(k)min0,c+x2，M(k)为递减正数序列 C.ax+b+M(k)maxc+x,02，M(k)为递增正数序列 hn D.ax+b+M(k)maxc+x,02，M(k)为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28

3、.B 29.B 30.B 5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（）。A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816 6.F(X)在区间x1,x3上为单峰函数，x2为区间中一点，x4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如 x4-x20,且 F(x4)F(x2)，那么为求 F(X)的极小值，x4点在下一次搜索区间内将作为()。A.x1 B.x3 C.x2 D.x4 7.已知二元二次型函数 F(X)=AXX21T，其中 A=4221，则该二次型是()的。A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（）。A.递增负

4、数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 9.多元函数 F(X)在点 X*附近的偏导数连续，F(X*)=0 且 H(X*)正定，则该点为 F(X)的（）。A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点 10.F(X)为定义在 n 维欧氏空间中凸集 D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若 H(X)正定，则称 F(X)为定义在凸集 D 上的（）。2/9 A.凸函数 B.凹函数 C.严格凸函数 D.严格凹函数 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.2

5、0.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 11.在单峰搜索区间x1 x3(x1x4,并且其函数值 F（x4）F(x2)，则取新区间为（）。A.x1 x4 B.x2 x3 C.x1 x2 D.x4 x3 12.用变尺度法求一 n 元正定二次函数的极小点，理论上需进行一维搜索的次数最多为（）A.n 次 B.2n 次 C.n+1 次 D.2 次 13.在下列特性中，梯度法不具有的是（）。A.二次收剑性 B.要计算一阶偏导数 C.对初始点的要求不高 D.只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向 14.外点罚函数法的罚因子为（）。A.递增

6、负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 15.内点惩罚函数法的特点是（）。A能处理等式约束问题 B.初始点必须在可行域中 C.初始点可以在可行域外 D.后面产生的迭代点序列可以在可行域外 16.约束极值点的库恩塔克条件为F(X)=)X(giq1ii，当约束条件 gi(X)0(i=1,2,m)和i0 时，则 q 应为()。A.等式约束数目；B.不等式约束数目；C.起作用的等式约束数目 D.起作用的不等式约束数目 17 已知函数 F(X)=-1222121x2xxx2x2，判断其驻点(1，1)是()。A.最小点 B.极小点 C.极大点 D.不可确定 18对于极小化 F(X)

7、，而受限于约束 g(X)0(=1,2,m)的优化问题，其内点罚函数表达式为（）A.(X,r(k)=F(X)-r(k)11/()gXuum B.(X,r(k)=F(X)+r(k)11/()gXuum C.(X,r(k)=F(X)-r(k)max,()01gXuum D.(X,r(k)=F(X)-r(k)min,()01gXuum 19.在无约束优化方法中，只利用目标函数值构成的搜索方法是()3/9 A.梯度法 B.Powell 法 C.共轭梯度法 D.变尺度法 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D

8、 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 20.利用 0.618 法在搜索区间a,b内确定两点 a1=0.382,b1=0.618，由此可知区间a,b的值是()A.0,0.382 B.0.382,1 C.0.618,1 D.0,1 21.已知函数 F(X)=x12+x22-3x1x2+x1-2x2+1，则其 Hessian 矩阵是()A.2332 B.2332 C.2112 D.3223 22.对于求 minF(X)受约束于 gi(x)0(i=1,2,m)的约束优化设计问题，当取i0 时，则约束

9、极值点的库恩塔克条件为()A.F(X)=m1iii(X)g,其中i为拉格朗日乘子 B.F(X)=m1iii(X)g,其中i为拉格朗日乘子 C.F(X)=q1iii(X)g,其中i为拉格朗日乘子，q 为该设计点 X 处的约束面数 D.F(X)=q1iii(X)g,其中i为拉格朗日乘子，q 为该设计点 X 处的约束面数 23.在共轭梯度法中，新构造的共轭方向 S(k+1)为()A.S(k+1)=F(X(k+1)+(k)S(K)，其中(k)为共轭系数 B.S(k+1)=F(X(k+1)(k)S(K)，其中(k)为共轭系数 C.S(k+1)=-F(X(k+1)+(k)S(K)，其中(k)为共轭系数 D

10、.S(k+1)=-F(X(k+1)(k)S(K)，其中(k)为共轭系数 24.用内点罚函数法求目标函数 F(X)=ax+b 受约束于 g(X)=c-x0 的约束优化设计问题，其惩罚函数表达式为()A.ax+b-r(k)x-c1，r(k)为递增正数序列 B.ax+b-r(k)x-c1，r(k)为递减正数序列 C.ax+b+r(k)x-c1，r(k)为递增正数序列 D.ax+b+r(k)x-c1，r(k)为递减正数序列 25.已知 F(X)=x1x2+2x22+4,则 F(X)在点 X(0)=11的最大变化率为()A.10 B.4 C.2 D.10 26.在复合形法中，若映射系数已被减缩到小于一个

11、预先给定的正数仍不能使映射点可4/9 行或优于坏点，则可用（）A.好点代替坏点 B.次坏点代替坏点 C.映射点代替坏点 D.形心点代替坏点 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 27.优化设计的维数是指()A.设计变量的个数 B.可选优化方法数 C.所提目标函数数 D.所提约束条件数 28.在 matlab 软件使用中，如已知 x=0:10，则 x 有_个元

12、素。A.10 B.11 C.9 D.12 29.如果目标函数的导数求解困难时，适宜选择的优化方法是（）。A.梯度法 B.Powell 法 C.共轭梯度法 D.变尺度法 30.在 0.618 法迭代运算的过程中，迭代区间不断缩小，其区间缩小率在迭代的过程中（）。A逐步变小 B 不变 C 逐步变大 D 不确定 二 填空 1.在一般的非线性规划问题中，kuhn-tucker 点虽是约束的极值点，但 是全域的最优点。2.判断是否终止迭代的准则通常有 .和 三种形式。3.当有两个设计变量时，目标函数与设计变量关系是 中一个曲面。4.函数在不同的点的最大变化率是 。5.函数 2212144f xxxx，在

13、点 13 2TX处的梯度为 。6.优化计算所采用的基本的迭代公式为 。7多元函数 F（x）在点 x*处的梯度F（x*）0 是极值存在的 条件。8函数 F（x）=3x21+x22-2x1x2+2 在点（1，0）处的梯度为 。9阻尼牛顿法的构造的迭代格式为 。10用二次插值法缩小区间时，如果pxx 2，pff 2，则新的区间（a,b）应取作 ，用以判断是否达到计算精度的准则是 。11.外点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近，内点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近。12罚函数法中能处理等式约束和不等式约束的方法是 罚函数法。13.Powell 法是以 方向作为搜索方向。14.当有

14、 n 个设计变量时，目标函数与 n 个设计变量间呈 维空间超曲面关系。1不 2。距离.目标函数改变量.梯度 3。三维空间 4。不同的 5。T42 6kkkkdxx1 7。必要条件 8。T26 9。kkkkxfxfx12 5/9 10bx2,ab?11.外.内 12.。混合 13.。逐次构造共轭 14.。n+1 三 问答题 1.变尺度法的基本思想是什么？2.梯度法的基本原理和特点是什么？3什么是库恩塔克条件？其几何意义是什么？4.在内点罚函数法中，初始罚因子的大小对优化计算过程有何影响?5.选择优化方法一般需要考虑哪些因素?6.满足什么条件的方向是可行方向？满足什么条件的方向是下降方向？作图表示

15、。7.简述传统的设计方法与优化设计方法的关系。8.简述对优化设计数学模型进行尺度变换有何作用。9.分析比较牛顿法.阻尼牛顿法和共轭梯度法的特点 10为什么选择共轭方向作为搜索方向可以取得良好的效果？11多目标问题的解与单目标问题的解有何不同？如何将多目标问题转化为单目标问题求解？12.黄金分割法缩小区间时的选点原则是什么？为何要这样选点？四.计算题 1.用外点法求解此数学模型 min.10F Xxstg xx 2 将 22121212262233f xxxx xxx写成标准二次函数矩阵的形式。3 用外点法求解此数学模型：12211221min.00fXxxst gXxxgXx 4 求 出 22

16、1122262420f xxxxx的极值及极值点。5 用外点法求解此数学模型：31211221min13.100fXxxst gXxgXx 6用内点法求下列问题的最优解：0312)(2112221xgtsxxxxfmin（提示：可构造惩罚函数 21)(ln)(),(uuxgrxfrx，然后用解析法求解。）。6/9 7.设 已 知 在 二 维 空 间 中 的 点Txxx21，并 已 知 该 点 的 适 时 约 束 的 梯 度Tg11，目标函数的梯度Tf15.0，试用简化方法确定一个适用的可行方向。8.用梯度法求下列无约束优化问题：Min F(X)=x12+4x22，设初始点取为 X(0)=2 2

17、T，以梯度模为终止迭代准则，其收敛精度为 5。9.对边长为 3m 的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？建立该问题的优化设计的数学模型。10.已知约束优化问题：0)(0)(025)(124)(min231222211221xxgxxgxxxgtsxxxf 试以TTTxxx33,14,12030201为复合形的初始顶点，用复合形法进行一次迭代计算。机械优化设计综合复习题参考答案 一.单项选择题 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.

18、A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 二 填空 1不 2。距离.目标函数改变量.梯度 3。三维空间 4。不同的 5。T42 6kkkkdxx1 7。必要条件 8。T26 9。kkkkxfxfx12 10bx2,ab?11.外.内 12.。混合 13.。逐次构造共轭 14.。n+1 三 问答题 1.变尺度法的基本思想是：通过变量的尺度变换把函数的偏心程度降低到最低限度，显著地改进极小化方法的收敛性质。2梯度法的基本原理是搜索沿负梯度方向进行，其特点是搜索路线呈“之”字型的锯齿路线，从全局寻优过程看速度并不快。3

19、库恩-塔克条件是判断具有不等式约束多元函数的极值条件。7/9 mjmjxgnixxgxxFjjjijmjji,2,10,2,10,2,101 库恩塔克条件的几何意义是:在约束极小值点X处，函数 xF的负梯度一定能表示成所有起使用约束在该点梯度（法向量）的非负线性组合。4初始罚因子0r，一般来说0r太大将增加迭代次数，0r太小会使惩罚函数的性态变坏，甚至难以收敛到极值点。5选择优化方法一般要考虑数学模型的特点，例如优化问题规模的大小，目标函数和约束函数的性态以及计算精度等。在比较各种可供选用的优化方法时，需要考虑的一个重要因素是计算效率。6可行条件应满足第二式：7.下降条件应满足第一式：搜索方向

20、应与起作用的约束函数在kx点的梯度及目标函数的梯度夹角大于或等于 900。)(kX)()(kXg)()(kXF0)()()(kTkSXF0)()()(kTkjSXgJj,.,2,18/9 8数学模型的尺度变换是一种改善数学模型性态，使之易于求解的技巧。一般可以加速优化设计的收敛，提高计算过程的稳定性。9牛顿法的迭代关系式为：阻尼牛顿法的迭代关系式为：共轭梯度法的迭代关系式为：牛顿法适合二次型问题，阻尼牛顿法有防止目标函数值上升的阻尼因子，适合非二次型问题，两者均需计算海森矩阵及其逆矩阵，计算量大。共轭梯度法用梯度构造共轭方向，仅需梯度计算且具有共轭性质，收敛速度快，不必计算海森矩阵，使用更加方

21、便。10根据共轭方向的性质：从任意初始点出发顺次沿 n 个 G 的共轭方向进行一维搜索，最多经过 n 次迭代就可找到二次函数的极小点，具有二次收敛性。11单目标问题的解一般是唯一理想解，多目标的解一般是相对理想解。多目标问题转成单目标问题的常用方法有：主要目标法.线性加权法.理想点法.平方和加权法.分目标乘除法.功率系数法和极大极小法。12 选点原则是插入点应按 0.618 分割区间。因为这样选点可以保持两次迭代区间的相同比例分布，具有相同的缩短率。四.计算题 1提示：先转化为惩罚函数形式 答案1x 2 二 次 函 数 的 矩 阵 标 准 形 式 为CxBGxxTT21 答 案 为122242

22、1Txx+32x+3 3参考第六章复习题提示 结果为Tx00 4.用梯度计算极值点 答案为T15.1 5.先构造外点罚函数 答案为T01 11()kkkkf dxd121()()(0,1,2,)kkkkffk xxxx121()()(0,1,2,)kkkkkffkxxxx212()()kkkffxx9/9 6.先构造内点罚函数 答案为T31 7.用图解法，先画出约束函数梯度及目标函数梯度，做两者的垂线，与两梯度夹角均大于900的任意方向均可。8.以负梯度为搜索方向进行迭代计算 答案为T00 9.设剪掉的正方形边长为1x 数学模型为 Min12)23()(xxxF .ts 01x 0231 x 10.提示 先算三点的目标函数值并排序，将最差点沿其余点中心进行反射，计算反射点函数值并判断可行性。答案为T5.31