最短路径问题将军饮马问题教学设计.pdf

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1、1/8 最短路径问题 将军饮马问题及延伸 湖南省永州市双牌县茶林学校 熊东旭 2/8 最短路径问题 教学内容解析：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。本节课以数学史中的一个经典故事-“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。教学目标设置：1、能利用轴对称解决最短路径问题。2、在解题过程能总结出解题方法，能进行

2、一定的延伸。3、体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。教学重点难点：重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。学情分析：1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。2、学生已经学习过“两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”。以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知

3、识的基础。3/8 教学条件分析:在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用 PPT 动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。教具准备：直尺、ppt 教学过程：环 节 教师活动 学生活动 设计意图 一 复 习 引 入 1.【问题】：看到图片，回忆如何用学过的数学知识解释这个问题？2.这样的问题，我们称为“最短路径”问题。1、两点之间，线段最短。2、两边之和大于第三边。从学生已经学过 的 知 识 入手，为进一步丰富、完善知识 结 构 做 铺垫。二 探 究 新 知 1.探究一：【故事引入】：唐朝诗人李颀在古从军行

4、中写道：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河”诗中就隐含着一个有趣的数学问题，古时候有位将军，每天从军营回家，都要经过一条笔直的小河。而将军的马每天要到河边喝水，那么问题来了，问题：怎样走才能使总路程最短呢？认真读题，仔细思考。将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象线段和最小问题。从异侧问题入手，由简到难，逐步深入。4/8 二 探 究 新 知 2.探究二：【变换情境】：后来将军把家搬到了河的对面，若还是要带马先到河边喝水，然后再回家，应该怎样走，才能使总路程最短呢？（1）【转化】：你能将实际问题抽象为数学问题吗？（2）【展示】：让学生猜想，并画出图形。巡视发现学生不

5、同的作法（尽可能多），分别展示各小组的作法。给予学生一定的提示。（3）【度量】：如何才能判断哪种猜想是正确的呢？（测量一下）在几何画板中分别度量出 【回答】：学生思考并回答，如何将实际问题转化为数学问题。已知：直线 L 和同侧两点A、B 求作：直线L 上一点 C，使 C 满足 AC+BC 的值最小。【学生展示】：作法 1：作法 2：作法 3：【学生反思】：第 1 种作法是利用“垂线段最短”，得到 AC 最短，利用“两学 生 主 动 探索，充分发挥学 生 的 主 动性。展 示 多 种 方法，产生思维冲突，引发学生进一步探究的学习欲望。5/8 AC,BC 的长度，并计算 AC+BC。让学生观察数值

6、如何变化。并反思各自的作法是否正确。点之间线段最短”，得到BC 最短，但不能确定AC+BC是最短的。第2种作法只能说明在河l 上取一点，到 A、B 两地的距离相等，也就是 ACBC。不能说明AC+BC最短 第 3 种作法应该是正确的。二 探 究 新 知 3.解决问题【追问】用第 3 种作法的同学，你们是怎样想到作点B 关于直线 L 的对称点的？为什么要作对称点？如果做点 B关于直线 L的对称点，就是把点 B 移到了另一侧，而且满足了 BCBC。其实直线 L 上所有点到 B 和 B的距离都相等。也可是根据垂直平分线的性质，L 就是线段BB的垂直平分线，而垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

7、利用轴对称将同侧线段和最短转化为异侧线段和最短问题。借助轴对称，把折线转化为线段的长来求解。让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力。让学生在反思的过程中，体会轴对称的作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。（4）【推理论证】：如何证明AC+BC最短呢？【提示】：没有比较就不会产生大小。通常我们要在直线上任另取一点C（与点C 不重合），只要证明 AC+BC AC+BC 即可。认真观察，思考，要想确认 AC+BC 最短，可以在直线 l 上任取一点 C（不与点 C 重合）1.独立纠错 2.兵教兵 让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力。通 过 动 画 演示，从特殊到一般地验证了前面的结

8、论。6/8 老师动手操作，验证结论的正确性。（1）学生自主证明，教师纠错。（2）师生共同分析，学生说明证明过程，教师版书。（3）共同完成证明过程。三 发 散 思 维 除了作点 B 关于直线 l 的对称点以外，还有没有别的作法？还可以作点 A 关于直线 l的对称点。发散思维，培养学生一题多解的能力。四 得 出 结 论 【问题】：我们是如何解决将军饮马问题的？先将实际问题转化为数学问题。然后作其中一个点关于直线l 的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置。让学生反思刚才的探究过程。培养数学思维，和及时总结所学的知识的好习惯。五 变式巩固【问题】：如图，已知：P、Q是ABC

9、的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使PQR的周长最短吗？在具体问题中实 践 已 有 模型，固化已有模型。为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。7/8 六 拓展提升【问题】：如图,一位将军骑马从驻地 A 出发，先牵马去草地 OM 吃草，再牵马去河边 ON 喝水，最后回到驻地 A 问：这位将军怎样走路程最短？【问题】：如图，A 为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。七 巩 固 练 习 1.【题目】：如图，已知：MON内两点 A、B.求作：点 C 和点 D,使得点C 在 OM 上，点 D 在 ON 上，且A

10、C+CD+BD+AB 最短。2.【题目】：如图，如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于 B、A 两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球 A 依次碰撞球台边 OM、ON 后，反弹击中黑球？CNMOBA 习题难度，由易到难，逐步深入。让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法。八 课 堂 小 结 1.【问题】：本节课研究问题的基本过程是什么？当我们遇到一个实际问题，首先，我们要将实际问题变成一个数学问题（群答），也就是抽象成一个数学模型，这样可以帮助我们进行实验观察，进而运用合情推理得到一个猜想，然后我们可以通过严谨的逻辑证明，验证猜想，从 我们要先将实际问题变成一个数学问题，然后观察实验，提出猜想，之后通过证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。培养学生总结在课题学习的基本思路。8/8 而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。2.【问题】：今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应该怎么样找到它们的最短路径呢？先确定对称轴，找出定点的对称点。然后连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各对称点确定所求位置点）。如何求解 九 课 后 拓 展【问题】：在矩形 ABCD 中，在边和对角线AD、BD 上有两个动点 M、N,当 M、N 运动到何处时，BM+MN最短？根据解题方法进行深度拓展（难度大）