安徽省合肥市2020届高三第三次教学质量检测试题数学(理)【含答案】.pdf

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1、安徽省合肥市2020 届高三第三次教学质量检测试题数学（理）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知R为实数集，集合02Axx，3Bx x，则RABA.23xx B.23xx C.03x xx或2 D.03x xx或22.若复数12zz，在复平面内对应的点关于原点对称，11zi，则12zzA.-2 B.2i C.2 D.2i3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取2 人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排2 人，则每位志愿者不安排在自

2、己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为A.59 B.49 C.445 D.21354.已知双曲线22221xyab(0a，0b)的顶点到渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率为A.2 3 B.2 C.32 D.2 335.“关于x的方程212xxa有实数解”的一个充分不必要条件是A.113a B.12a C.213a D.112a6.已知3tan32，则3 sincos3 cossinA.19 B.39 C.13 D.337.公元前 1650 年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，

3、第一人分得玉米A.91070 881斗 B.10101010887斗 C.9101010887斗 D.8101010 887斗8.已知ABC 三个内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2 cosabcB，则2bcab的最小值为A.2 2 B.3 C.2 3 D.4 9.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束后射出，并在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移2 sinpvf，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，为激光

4、波长，为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1550nm(91nm10 m)，测得某时刻频移为99.030 10(1/h)，则该时刻高铁的速度约等于A.320km/h B.330km/h C.340km/h D.350km/h 10.在 长 方 体1111ABCDABC D中，6ABAD，12AA，M为 棱 BC 的 中 点，动 点P满 足APDCPM，则点P的轨迹与长方体的面11DCC D 的交线长等于A.23 B.C.43 D.211.已知不等式1ln1xexm xx对一切正数x都成立，则实数m的取值范围是 A.3e，B.2e，C.1，D.e，1

5、2.在矩形 ABCD 中，4AB，4 3BC，点 G H，分别为直线BC CD，上的动点，AH交 DG 于点P.若2DHDC，12CGCB(01)，矩形ABCD 的对称中心M关于直线AD的对称点是点N，则PMN 的周长为A.12 B.16 C.24 D.32第卷 (90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，满分20 分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.某高中各年级男、女生人数统计如下表：年级性别高一高二高三男生592563520 女生5285

6、17a按年级分层抽样，若抽取该校学生80 人中，高二学生有27 人，则上表中a .14.在544xx的展开式中，2x 的系数为 .15.已知数列na中nan，数列nb的前n项和21nnS.若数列nnab的前n项和nTM 对于*nN 都成立，则实数M的最小值等于 .16.已知三棱锥ABCD 的三条侧棱ABACAD，两两垂直，其长度分别为abc，.点A在底面 BCD内的射影为O，点ABCD，所对面的面积分别为ABCDSSSS，.在下列所给的命题中，正确的有 .(请写出所有正确命题的编号)三棱锥ABCD 外接球的表面积为222abc；2ABCODSSS；3333ABCDSSSS；若三条侧棱与底面所成

7、的角分别为111，则222111sinsinsin1；若 点M是 面 BCD 内 一 个 动 点，且AM与 三 条 侧 棱 所 成 的 角 分 别 为222，则222222coscoscos1.三、解答题：本大题共6 小题，满分70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分12 分)已知函数cossin3cosfxxxx(0).求函数fx的值域；若方程32fx在区间0，上恰有两个实数解，求的取值范围.人数18.(本小题满分12 分)如图，边长为 2 的等边ABC所在平面与菱形11AACC 所在平面互相垂直，113ACAC，M为线段 AC的中点.求证：平面1BMC 平面11A

8、 BC；求点 C 到平面11ABC 的距离.19.(本小题满分12 分)某市积极贯彻落实国务院“十三五”节能减排综合工作方案，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月(30 天)空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：根据频率分布直方图估计，在这30 天中，空气质量等级为优或良的天数；根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90 时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70 时，市民乙不宜进行户外体育运动(两人是否进行户外体育运动互不影响).从这 30 天中随机选取2 天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X，

9、求X的分布列和数学期望；以一个月空气质量指数分布的频率代替每天空气质量指数分布的概率(假定每天空气质量指数互不影响)，甲、乙两人分别随机选择3 天和 2 天进行户外体育运动，求甲恰有2 天，且乙恰有1 天不宜进行户外体育运动的概率.20.(本小题满分12 分)已知函数xxfxeeax(e为自然对数的底数)，其中aR.试讨论函数fx的单调性；证明：22132ln21ninniin n.21.(本小题满分12 分)在平面直角坐标系xOy中，已知点P是椭圆E：2214xy上的动点，不经过点P的直线 l 交椭圆E于A，B两点.若直线 l 经过坐标原点，证明：直线PA与直线PB的斜率之积为定值；若0OA

10、OBOP，直线 l 与直线 PO 交于点 Q，试判断动点Q 的轨迹与直线PA的位置关系，并说明理由.请考生在第22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线m的参数方程为cossinxtyt(t 为参数，0).以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.曲线E的极坐标方程为2+2cos30，直线 m 与曲线E交于A，C两点.求曲线E的直角坐标方程和直线m 的极坐标方程；过原点且与直线m 垂直的直线

11、n，交曲线E于B，D两点，求四边形ABCD面积的最大值.23.(本小题满分10 分)选修 4-5：不等式选讲已知函数221fxxx的最小值为m.求 m 的值；若0abcm，证明：2222420abcbc.一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分.13.480 14.-960 15.4 16.三、解答题：本大题共6 小题，满分70 分.17.(本小题满分12 分)解:(1)13cossin3cossin21cos222fxxxxxx3sin232x.由1sin 213x得，fx的值域是331122，.5 分(2)0 x，2

12、2333x，由正弦函数的图像可知，32fx在区间0，上恰有两个实数解，必须2233，解得5463.12 分18.(本小题满分12 分)解：(1)四边形11A ACC 是菱形，11ACAC，又113ACAC，1=60ACC，1ACC 是等边三角形.点M为线段 AC 的中点，1C MAC.又 AC 11AC，111C MAC.在等边ABC 中，BMAC，由 AC 11AC 可得，11BMAC.又1BMC MM，111ACBMC平面，11AC平面11ABC，平面1BMC 平面11ABC.5 分(2)BMAC，平面 ABC 平面11A ACC，且交线为AC，11BMACC A平面，直线MB，MC，1M

13、C 两两垂直.以点M为坐标原点，分别以MB，MC，1MC 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，则3 0 0B，10 03C，1023A，0 1 0C，110 2 0AC，13 03BC，1 013CC，.设平面11A BC 的一个法向量为nx y z，11100ACnBCn，0330yxz.令1x，得1 0 1n，13622CCndn，即点 C到平面11ABC 的距离为62.12 分19.(本小题满分12 分)解:(1)由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90，110 的天数为2 天，所以估计空气质量指数在(90，100 的天数为1 天，故在这30 天中空气质量等级属于优或良的天数为2

14、8 天.3 分(2)在这 30 天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6 天，224230920145CP XC，11624230481145CCP XC，262301229CP XC，X的分布列为924812012145145295EX.8 分甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310，221321937567101010 1050000PCC.12 分X0 1 2 P921454814512920.(本小题满分12 分)解：(1)xxfxeea.当2a时，20 xxfxeeaa，fx 在R上单调递增；当2a时，由0fx得242xaae

15、，24ln2aax.当2244lnln22aaaax，时，0fx，当2244lnln22aaaax，时，0fx.fx在24ln2aa，和24ln2aa，上单调递增，在2244lnln22aaaa，上单调递减.5 分(2)由(1)知，当2a时，2xxfxeex 在R上单调递增，1ln2lng xfxxxx在0，上单调递增.当2nZn且时，112ln12ln101nnn，即212lnnnn，当2nZn且时，21211ln111nnnnn，221111111111321ln132411212n1ninniinnnnn.12 分21.(本小题满分12 分)解:设点00P xy，11A xy，22B x

16、y，.(1)直线l经过坐标原点，2121xxyy，.022014xy，022014xy.同理得122114xy.0011010101012222220101222222010111444414PAPBxxxxyyyyyykkxxxxxxxxxx.直线PA与直线PB的斜率之积为定值.5 分(2)0OAOBOP，2OPOQ.设Q xy，则0022xxyy.由022014xy，得2241xy，动点 Q 的轨迹方程为2241xy.8 分设直线OB与直线PA交于点M，则点M为线段PA的中点，且2222xyM，当20y时，022014xy，122114xy，1010210102144PAyyxxxkxxy

17、yy，直线PA的方程为2222242yxxyxy，整理得2224x xyy.将2224x xyy代入动点 Q 的轨迹方程得，22222222444 10 xyxx xy().将222214xy代入()，整理得2222440 xx xx.222216160 xx，直线PA与动点 Q 的轨迹相切.当20y时，直线PA的方程为1x，直线PA与动点 Q 的轨迹相切.综上可知，直线PA与动点 Q 的轨迹相切.12 分22.(本小题满分10 分)(1)曲线E的直角坐标方程为22+14xy，直线m的极坐标方程为(R).5 分(2)设点A，C 的极坐标分别为1，2，.由2=+2cos30得，2+2cos30，122cos，123，2122 cos3AC.同理得22 sin3BD.222212cos3sin3cos3sin372ABCDSACBD，当且仅当22cos3sin3，即344或时，等号成立，四边形ABCD面积的最大值为7.10分23.(本小题满分10 分)(1)31221131131xxfxxxxxxx，根据函数图象得，fx的最小值为-2，2m.5 分(2)由(1)知，2abc，222222221211111 12119abcabcabc，222123abc，当且仅当12abc，2abc，即1a，2b，1c时等号成立，2222420abcbc.10 分