小六数学第3讲：等积变形(教师版).pdf

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1、中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献第三讲等积变形1.等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图12:SSa b夹在一组平行线之间的等积变形，如图ACDBCDSS；反之，如果ACDBCDSS，则可知直线AB平行于CD等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比2.鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形

2、叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在ABC中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():()ABCADESSABACADAE中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献3.蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：1243:SSSS或者1324SSSS1243:AO OCSSSS蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系梯形中比例关系(“梯形蝶

3、形定理”)：2213:SSab221324:SSSSabab ab；S的对应份数为2ab4.相似模型(一)金字塔模型 (二)沙漏模型S4S3S2S1ODCBA中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献ADAEDEAFABACBCAG；22:ADEABCSSAFAG：所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形

4、的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形5.共边定理（燕尾模型和风筝模型）共边定理：若直线AO和 BC相交于 D（有四种情形），则有:ABOACOSSBD DC在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么:ABOACOSSBD DC上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之

5、间提供互相联系的途径.GFEABCDABCDEFGOFEDCBA中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。2.能在解题中发现题目中所涉及的几何模型。例 1：如图，正方形ABCD的边长为6，AE1.5，CF2长方形EFGH的面积为分析：连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，661.5622624.54216.5DEFS,所以长方形EFGH面积为 33例 2：长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问

6、阴影部分面积是多少？分析：解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：HGFEDCBA中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献可得：12EHBAHBSS、12FHBCHBSS、12DHGDHCSS，而36ABCDAHBCHBCHDSSSS即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS；而EHBBHFDHGEBFSSSSS阴影，11111()()364.522228EBFSBEBFABBC所以阴影部分的面积是：18184.513.5EBFSS阴影解法二：特殊点法找H 的特殊点，把H 点与 D 点重合，那么图形就可变成右图：这样阴影部分的面积就

7、是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：5.133621213621212136212136CFDAEDABCDSSSS阴影例 3：如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，8AB，15AD，四边形EFGO的面积为分析：利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积由于长方形ABCD的面积为158120，所以三角形BOC的面积为1120304，所以三角HGFEDCBAGABCDEF(H)OGFEDCBA中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献形AOE和DOG的面积之和

8、为312070204；又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为111203024，所以四边形EFGO的面积为302010另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD面积白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即 60，白色部分的面 积 等 于 长 方 形 面 积 减 去 阴 影 部 分 的 面 积，即1207050，所 以 四 边 形 的 面 积 为605010例 4：已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积(丙是三角形HBC)分析：因为 D、E、F 分别为

9、三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200根据图形的容斥关系，有ABCABNAMCAMHNSSSSS丙，即400 200200AMHNSS丙，所以AMHNSS丙又ADFAMHNSSSSS乙甲阴影，所以1143400434ADFSSSSS乙甲丙阴影例 5：如图，已知5CD，7DE，15EF，6FG，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是分析：连接AF，BD根据题意可知，571527CF；715628DG；所以，1527BECB

10、FFSS，1227BECBFCSS，2128AEGADGSS，728AEDADGSS，于是：2115652827ADGCBFSS；712382827ADGCBFSS；丙乙甲HNMJIFEDCBAGFEDCBAABCDEFG中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献可得40ADGS故三角形ADG的面积是 40例 6：如图在ABC中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB，:4:7AE AC，16ADES平方厘米，求ABC的面积分析：连接BE，:2:5(24):(54)ADEABESSAD AB，:4:7(45):(75)ABEABCSSAE AC，所 以

11、:(24):(75)ADEABCSS，设8ADES份，则35ABCS份，16ADES平方厘米，所以1份是 2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC的面积是70平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比例 7：如图在ABC中，D 在BA的延长线上，E 在AC上，且:5:2AB AD，:3:2AE EC，12ADES平方厘米，求ABC的面积分析：连接BE，:2:5(23):(5 3)ADEABESSAD AB:3:(32)(35):(32)5ABEABCSSAEAC，所以:(32):5(32)6:25ADEABCSS，设6ADES

12、份，则25ABCS份，12ADES平方厘米，所以1份是 2 平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC的面积是50平方厘米 由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比例 8：如图，平行四边形ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平行四边形ABCD的面积是 2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比EDCBAEDCBAEDCBAEDCBAHGABCDEFHGABCDEF中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献分析：连接AC、BD根据共角定理在ABC和BFE中，ABC与FBE互补，1 11133

13、ABCFBESAB BCSBE BF又1ABCS，所以3FBES同理可得8GCFS，15DHGS，8AEHS所以8815+3+236EFGHAEHCFGDHGBEFABCDSSSSSS所以213618ABCDEFGHSS例 9：如图所示的四边形的面积等于多少？分析：题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为12

14、12144.(也可以用勾股定理)例 10：如图所示，ABC中，90ABC，3AB，5BC，以AC为一边向ABC外作正方形ACDE，中心为O，求OBC的面积分析：如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置由于90ABC，90AOC，所以180OABOCB而OCFOAB，所以180OCFOCB，那么 B、C、F 三点在一条直线上由于OBOF，90BOFAOC，所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为538，所以它的面积为218164根据面积比例模型，OBC的面积为516108ODCBA131312121313121253OABCDEF53OABCDE中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝

15、您金榜提名！爱心 责任 奉献A 1.如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？答案；本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接AG(我们通过ABG把这两个长方形和正方形联系在一起)在正方形ABCD中，G12ABSABAB边上的高，12ABGABCDSSW(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABGEFGBSS正方形ABCD与长方形EFGB面积相等长方形的宽88106.4(厘米)2.在边长为6 厘米的正方形

16、ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积答案；（法 1）特殊点法 由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米（法 2）连接PA、PC由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米PDCBAABCD(

17、P)PDCBA_ A_ B_ G_ C_ E_ F_ D_ A_ B_ G_ C_ E_ F_ D中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献3.如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，2AEED，则阴影部分的面积为答案；如图，连接OE根据蝶形定理，1:1:12COECDECAECDEONNDSSSS，所以12OENOEDSS；1:1:42BOEBAEBDEBAEOMMASSSS，所以15OEMOEASS又11334OEDABCDSS矩形，26OEAOEDSS，所 以 阴 影 部 分 面 积 为：11362.7254.如图，三角形ABC中，AB是AD的 5 倍

18、，AC是AE的 3 倍，如果三角形ADE的面积等于 1，那么三角形ABC的面积是多少？答案；连接BE3ECAE3ABCABESSVV又5ABAD515ADEABEABCSSSVVV，1515ABCADESSVV5.如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BDDC，3BE，6AE，乙部分面积是甲部分面积的几倍？答案；连接AD3BE，6AE3ABBE，3ABDBDESSVV又4BDDC，2ABCABDSSVV，6ABCBDESSVV，5SS乙甲B 6.如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，90AEB，AC、BDOABCDENMOABCDEEDCBAABCDE乙甲E

19、DCBAABCDE甲乙中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献交于O已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积答案；如图，连接DE，以A点为中心，将ADE顺时针旋转90到ABF的位置那么90EAFEABBAFEABDAE，而AEB也是90，所以四边形AFBE是直角梯形，且3AFAE，所以梯形AFBE的面积为：1353122(2cm)又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理，222223534ABAEBE，所以21172ABDSAB(2cm)那么17125BDEABDABEADEABDAFBESSSSSS(2cm)，所以12.52OBEBDESS(2cm)

20、7.如下图，六边形ABCDEF中，ABED，AFCD，BCEF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知24FD厘米，18BD厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？答案；如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG了这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24 18432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米8.如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且:1:2BD DC，AD与BE交于点 F 则四边

21、形DFEC的面积等于ABCDOEFABCDOEFEABDCGFEABDC中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献答案；方法一：连接CF，根据燕尾定理，12ABFACFSBDSDC，1ABFCBFSAESEC,设1BDFS份，则2DCFS份，3ABFS份，3AEFEFCSS份，如图所标所以551212DCEFABCSS方法二：连接DE，由题目条件可得到1133ABDABCSS，11212233ADEADCABCSSS，所以11ABDADESBFFES，111111122323212DEFDEBBECABCSSSS，而211323CDEABCSS所以则四边形DFEC的面积等

22、于5129.如图，长方形ABCD的面积是 2平方厘米，2ECDE，F 是DG的中点阴影部分的面积是多少平方厘米?答案；设1DEFS份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCDSS阴影平方厘米.10.四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO，3DO，那么CO的长度是DO的长度的 _倍FEDCBA33321FEDCBAABCDEFxyyxABCDEFGGFEDCBA33GFEDCBA213中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献答案；在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，

23、无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSSVV，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法 又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题解法一：:1:3ABDBDCAO OCSS，236OC，:6:32:1O

24、C OD解法二：作AHBD于H，CGBD于G13ABDBCDSS，13AHCG，13AODDOCSS，13AOCO，236OC，:6:32:1OC ODC 11.如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF、OEF、ODF、BOE的面积依次是2、4、4 和 6求：求OCF的面积；求GCE的面积 答案；根据题意可知，BCD的面积为244616，那么BCO和CDO的面积都是1628，所以OCF的面积为844；由于BCO的面积为 8，BOE的面积为6，所以OCE的面积为862，根据蝶形定理，:2:41:2COECOFEG FGSS，所以:1:2GCEGCFSSEG FG，那么11221233GC

25、ECEFSS12.如图，长方形ABCD中，:2:3BE EC，:1:2DFFC，三角形DFG的面积为 2平方厘米，求长方形ABCD的面积ABCDOHGABCDOOGFEDCBAABCDEFGABCDEFG中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献答案；连接AE，FE因为:2:3BE EC，:1:2DF FC，所以3111()53210DEFABCDABCDSSSV长方形长方形因为12AEDABCDSSV长方形，11:5:12 10AG GF，所以510AGDGDFSSVV平方厘米，所以12AFDSV平方厘米因为16AFDABCDSSV长方形，所以长方形ABCD的面积是72

26、平方厘米13.如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点 求图中阴影部分的面积答案；因为M是AD边上的中点，所以:1:2AMBC，根据梯形蝶形定理可以知道22:1:12:12:21:2:2:4AMGABGMCGBCGSSSS（）（），设1AGMS份，则123MCDS份，所以正方形的面积为1224312份，224S阴影份，所以:1:3SS阴影正方形，所以1S阴影平方厘米14.在下图的正方形ABCD中，E 是BC边的中点，AE与BD相交于 F 点，三角形BEF的面积为 1 平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米答案；连接DE，根据题意可知:1:2BE AD，根据蝶形定理得2129

27、S梯形（）(平方厘米)，3ECDS(平方厘米)，那么12ABCDSW(平方厘米)GMDCBAABCDEF中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献15.已知ABCD是平行四边形，:3:2BC CE，三角形ODE的面积为6 平方厘米则阴影部分的面积是平方厘米答案；连接AC由于ABCD是平行四边形，:3:2BC CE，所以:2:3CE AD，根据梯形蝶形定理，22:2:23:23:34:6:6:9COEAOCDOEAODSSSSVVVV所以6AOCSV(平方厘米)，9AODSV(平方厘米)，6915ABCACDSSVV(平方厘米)，阴影部分面积为61521(平方厘米)1.右图

28、中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米答案：连接AE由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAESS根据蝶形定理，4936OCDOAEOCEOADSSSS，故236OCDS，所以6OCDS(平方厘米)2.右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米OEABCDOEABCD21ABCDE9421ABCDEO941682ABCDEO1682ABCDE中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献答案：连接AE由于AD与BC是平行的

29、，所以AECD也是梯形，那么OCDOAESS根据蝶形定理，2816OCDOAEOCEOADSSSS，故216OCDS，所以4OCDS(平方厘米)另解：在平行四边形ABED中，111681222ADEABEDSSY(平方厘米)，所以1284AOEADEAODSSS(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244(平方厘米)3.如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3 块的面积分别为2、5、8 平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为 _平方厘米答案：连接DE、CF四边形EDCF为梯形，所以EODFOCSSV，又根据蝶形定理，EODFOCEOFCODSSSS，所以2816EODF

30、OCEOFCODSSSS，所以4EODS(平方厘米)，4812ECDS(平方厘米)那么长方形ABCD的面积为12224平方厘米，四边形OFBC的面积为245289(平方厘米)4.如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点已知正方形DEFG的面积 48，:1:3AKKB，则BKD的面积是多少？答案：由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形 在梯形ADBC中，BDK和ACK的面积是相等的而:1:3AK KB，所以ACK的面积是ABC面积的111 34，那么BDK的面积也是ABC面积的14由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂

31、足，那么M是BC的中点，而且AMDE，可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48那么BDK的面积为1481245.下图中，四边形ABCD都是边长为1 的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()mn 的值等于?852OABCDEF?852OABCDEFKGFEDCBAMKGFEDCBA中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献答案：左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较

32、好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积如下图所示，在左图中连接EG设AG与DE的交点为M左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面积的14，所以三角形AMD的面积为21111248又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482如上图所示，在右图中连接AC、EF设AF、EC的交点为N可知EFAC且2ACEF那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的14，所以三角形BEF的面积为21111248，梯形AEFC的面积为113288在梯 形AEFC中，由于:1:2EFAC，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:

33、2:4，所以三角形EFN的面积为3118122424，那么四边形BENF的面积为1118246而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为1 1:3:22 3，即32mn，那么325mnABCDEFGHHGFEDCBAMABCDEFGHNHGFEDCBA中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献1.用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形答案：方法 1：如图，将 BC边四等分（BD=DE=EF=FC=14BC）,连结 AD、AE、AF，则 ABD、ADE、AEF、AFC等积。

34、方法 2：如图，先将BC二等分，分点D、连结 AD，得到两个等积三角形，即ABD与 ADC等积然后取AC、AB中点 E、F，并连结DE、DF 以而得到四个等积三角形，即ADF、BDF、DCE、ADE等积中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献方法 3：如图，先将 BC四等分，即 BD=14BC，连结 AD，再将 AD三等分，即 AE=EF=FD=13AD，连结 CE、CF，从而得到四个等级的三角形，即ABD、CDF、CEF、ACE等积。2.用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及13 4答案：方法 1：如图，将BC边八等分，取134 的分点

35、D、E，连结 AD、AE，从而得到 ABD、ADE、AEC的面积比为134方法 2：如图，先取BC的中点 D，再取 AB的四等分点E，连结 AD、DE，从而得到三个三角形：ADE、BDE、ACD 其面积比为134方法 3：如图，先取AB的中点 D，连结 CD，再取 CD的四等分点E，连结 AE，从而得到三个三角形：ACE、ADE、BCD 其面积比为134中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献3.如右图，在梯形 ABCD 中，AC与 BD是对角线，其交点 O，求证：AOB与 COD 面积相等答案：证明：ABC与 DBC等底等高，SABC=SDBC又 SAOB=SABCS

36、BOC SDOC=SDBCSBOCSAOB=SCOD4.如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献答案：本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点 A移到 CB的延长线上的A处，ABD与 ABD面积相等，从而ADC面积与原四边形ABCD面积也相等这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形ADC 问题是A位置的选择是依据三角形等积变形原则过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于 A点解：连结BD；过 A作 BD的平行线，与CB的延长线交于A连结

37、AD，则 ACD与四边形ABCD等积5.如右图，已知在 ABC中，BE=3AE，CD=2AD 若 ADE的面积为1 平方厘米 求三角形ABC的面积答案：解法 1：连结 BD，在 ABD中 BE=3AE，中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献 SABD=4SADE=4（平方厘米）在 ABC中，CD=2AD，SABC=3SABD=34=12（平方厘米）解法 2：连结 CE，如右图所示，在ACE中，CD=2AD，SACE=3SADE=3（平方厘米）在 ABC中，BE=3AE SABC=4SACE=43=12（平方厘米）6.如下页图，在ABC中，BD=2AD，AG=2CG，B

38、E=EF=FC=13BC，求阴影部分面积占三角形ABC面积的几分之几？答案：连结 BG，在 ABG中，S ADG+S BDE+S CFG 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献7.如右图，ABCD 为平行四边形，EF平行 AC，如果 ADE的面积为4 平方厘米 求三角形CDF的面积答案：连结 AF、CE，SADE=S ACE；SCDF=SACF；又 AC与 EF平行，SACE=SACF；SADE=SCDF=4（平方厘米）8.如右图，四边形 ABCD 面积为 1，且 AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH 求四边形 EFGH的面积中高考复习精品，为中高考保驾护航

39、！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献答案：连结 BD，将四边形ABCD 分成两个部分S1与 S2连结 FD，有 SFBD=SDBC=S1所以 SCGF=SDFC=2S1同理 SAEH=2S2，因此 SAEH+SCGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=21=2同理，连结AC之后，可求出SHGD+SEBF=2所以四边形EFGH 的面积为2+2+1=5（平方单位）9.如右图，在平行四边形ABCD中，直线 CF交 AB于 E，交 DA延长线于F，若 SADE=1，求BEF的面积答案：连结 AC，AB/CD，S ADE=SACE又 AD/BC，SACF=SABF 而 SACF=SACE+S AEF=SABF=SBEF+S AEF SACE=SBEFSBEF=S ADE=1