天津市和平区2020届高三上学期期末考试试题数学【含解析】.pdf

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1、天津市和平区2020 届高三上学期期末考试试题数学一、选择题：本大题共9 个小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R，集合|13AxZx，集合1,2B，则集合RAB（）A.1,0B.1,1(2,3C.(0,1)(1,2)(2,3D.0,3【答案】D【解析】【分析】根据集合|13AxZx，写出集合中的元素，然后根据交并补的定义计算即可.【详 解】解：|13=0,1,2,3AxZx，集 合1,2B，|12RB=x xx且，则RAB0,3.故选：D.【点睛】本题考查集合交并补的定义和运算，考查列举法表示集合，属于基础题.2.设xR，则“|

2、2|1x”是“2430 xx”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】分别求解|2|1x和2430 xx，观察解集的关系即可得出结果.【详解】解：|2|1x等价于2121xx或，即31xx或；2430 xx的解为31xx或，解集相等，所以“|2|1x”是“2430 xx”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，涉及绝对值不等式和一元二次不等式求解集，属于基础题.3.奇函数fx在区间3,6上是增函数，在区间3,6上的最大值为8，最小值为-1，则63ff的值为（）A.-10 B.15 C.10 D.9【答案】

3、D【解析】【分析】根 据 条 件 分 析，可 知68,31ff，又fx为 奇 函 数，所 以31f，进 而 可 以 求 出63ff的值.【详 解】解：fx在 区 间3,6上 是 增 函 数，在 区 间3,6上 的 最 大 值 为8，最 小 值 为-1，即68,31ff，又fx为奇函数，所以31f，所以639ff.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，属于基础题.4.已知圆C的半径为 2，圆心在x轴的正半轴上，直线3440 xy与圆C相切，则圆C的方程为()A.22230 xyxB.2240 xyxC.22230 xyxD.2240 xyx【答案】D【解析】【分析】设圆心坐标为(,

4、0)(0)C aa，根据圆与直线3440 xy相切可求出2a，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C aa，圆C与直线3440 xy相切，30429 16a，解得a=2圆心为(2,0)C，半径为32042916r，圆C的方程为（x 2）2+y2=4，即2240 xyx故选 D【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度5.设0.22a，3log 0.9b，0.11log4c，则,a b c的大小关系是（）A.acbB.bcaC.c

5、abD.cba【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算可以化简0.14og.l0c，所以可得01c.同理可知12a，10b，由此可以比较,a b c的大小关系.【详解】解：0.22a，则12a，333log 0.9log 9log 10b，10b，0.10.11log4.log0 4c，所以01c，所以acb.故选：A.【点睛】本题考查指对函数大小的比较，考查中间值法的应用，涉及对数函数的运算性质，属于基础题.6.将函数sincos22yxx的图象沿x轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（）A.34B.4C.4D.54【答案】B【解析】【分析】先 根据题意化简sinco

6、s22yxx得到1sin 22yx，再 沿x轴向左 平移8，得 到1sin 224yx，根 据 得 到 的 函 数 为 偶 函 数，所 以 可 知,42kkZ，由 此 解 出,4kkZ，逐一判断选项即可得出结果.【详 解】解：1sincossin 2222yxxx，沿x轴 向 左 平 移8个 单 位 后，得 到1sin 224yx，因为1sin 224yx为偶函数，所以,42kkZ，解得：,4kkZ，所以的取值不可能是4.故选：B.【点睛】本题考查正弦函数的二倍角公式、考查三角函数平移以及三角函数的奇偶性，熟悉三角函数的性质是解题的关键，属于基础题.7.抛物线28yx的焦点F是双曲线22221

7、(0,0)xyabab的一个焦点，,0A m nn为抛物线上一点，直线AF与双曲线有且只有一个交点，若|8AF，则该双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2 D.5【答案】C【解析】【分析】由直线AF与双曲线有且只有一个交点可知，直线AF与双曲线的渐近线平行.又抛物线与双曲线共焦点，|8AF，所以利用抛物线的定义，可求出A点坐标，从而求出直线AF的斜率，从而求出双曲线渐近线的斜率3ba，进而求出双曲线的离心率.【详解】解：,0A m nn，直线AF与双曲线有且只有一个交点，所以直线AF与双曲线的渐近线平行.|8AF，F 为 抛 物 线 的 焦 点，所 以6m，代 入28nm，则4 3n，即6,4

8、3A，4 30362AFk，所以3ba，所以该双曲线的离心率为2212bea.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，涉及到直线与双曲线的位置关系，以及抛物线定义的转化，属于中档题.8.某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A、B、C三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的12，13，16.现有 3 名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（）A.136B.112C.16D.13【答案】C【解析】【分析】3 名同学选择的题目所属类型互不相同，则A、B、C三个类型的问题都要入选，所以要先确定每位同学所选的是何种类型，又每个类型入选的可能为

9、12，13，16，计算结果即可.【详解】解：3 名同学选择的题目所属类型互不相同，则A、B、C三个类型的问题都要入选，则3 名同学的选法共有33A种情况，每个类型入选的可能为12，13，16，所以全部入选的概率为1 1 112 3 636，则3 名同学所选不同类型的概率为331 1 112 3 66A.故选：C.【点睛】本题考查相互独立事件的概率，涉及分类加法的思想，属于基础题.9.已知函数22log(1)110()20 xxf xxxxx.若方程1fxkx有两个实根，则实数k的取值范围是（）A.1,22B.2(1,ln 2C.(1,2D.12,2 ln 2【答案】B【解析】【分析】逐段分析函

10、数fx的单调性和最值，2,x时，22()xxf xx，以1yx为渐近线，所以1k时，与22()xxf xx，2,x有一个交点.当1ykx与2()log(1)1f xx相切时，即2ln 2k时，1ykx与2()log(1)1f xx有一个交点，由此，可求出k的取值范围.【详解】解：当10 x时，2()log(1)1f xx，在1,0上单调递增，在0 x处有最大值1当0 x时，22()xxf xx，在0,2上单调递减，在2,上单调递增，在2x处取得最小值2 21以1yx为渐近线，直线1ykx与2()log(1)1f xx必有一个交点，若方程1fxkx有两个实根，则令一根在2,上，所以斜率1k，且不

11、能与2()log(1)1f xx相交，1()(1)ln2fxx，12(0)ln 2ln2f.所以斜率k的取值范围是2(1,ln 2.【点睛】本题考查直线与曲线的交点问题，分析函数的单调性以及切线是常用的方法，属于中档题.二、填空题（每题5 分，满分30 分，将答案填在答题纸上）10.设 i 是虚数单位，复数i2iaz的模为 1，则正数a的值为 _【答案】3【解析】【分析】先化简复数，再解方程21144a即得解.【详解】由题得i1i2i22aaz，因为复数z 的模为 1，所以21144a，解之得正数a3故答案为3【点睛】本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析

12、推理能力.11.已知 a 0，62(?)axx的二项展开式中，常数项等于60，则(x)6的展开式中各项系数和为（用数字作答）【答案】1【解析】试题分析：62(?)axx展开式通项为66 31662()()rrrrrrraTC xaC xx，由630,2rr得常数项2226()60,()1560,2(0)aCaaa，所以，令1x得622(?)xx的展开式中各项系数和为1考点：二项式定理.12.设随机变量X的概率分布列如下表，则随机变量X的数学期望EX_X1 2 3 4 P13m1416【答案】94【解析】【分析】利用分布列中概率和为1 可求出14m，然后通过求期望的公式即可求出期望值.【详解】解

13、：1111346m，所以14m.所以11119123434464EX.故答案为：94.【点睛】本题考查求分布列的期望，解题的关键是熟记期望的公式，属于基础题.13.已知三棱柱111ABCA B C的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB，1AC，60BAC，则此球的表面积等于_【答案】8【解析】【详解】试题分析：由已知条件得：0112 1 sin 6032AA，12AA，22202cos60BCABACABAC，3BC，设ABC的外接圆的半径为R，则02sin60BCR，1R，外接球的半径为1 12，球的表面积等于24(2)8.考点：1.棱柱的体积公式；2.余弦定理；

14、3.球的表面积.14.如图，在ABC中，3AB,4AC,45BAC,2CMMB，过点M的直线分别交射线AB、AC于不同的两点P、Q，若APmAB，AQnAC，则当32m时，n_,AP AQ_【答案】(1).35 (2).2725【解析】【分析】(1).过 点B做BN平行AC交PQ于N点，根据平行线等分线段成比例，求出13BNAQ，12NBCQ，进而得出1123CQQA，从而推导出,AQ AC之间的关系.(2).根据第(1)问求出的比例关系，计算出|AP，|AQ 的长，又45BAC，由向量的数量积公式即可计算结果.【详解】解：(1).过点B做BN平行AC交PQ于N点，32APAB，则13BNAQ

15、.又2CMMB，则12NBCQ，1123CQQA，35AQAC.(2).32APAB，所以39|322AP，35AQAC，312|455AQ，AP AQ9122272|cos452525APAQ.故答案为：35，2725.【点睛】本题考查平行线等分线段成比例，考查平面向量数量积的应用，熟悉数量积公式是解题的关键，属于基础题.15.已知正实数,x y满足22412xyxy，则当x_时，121xyxy的最小值是 _【答案】(1).12 (2).6【解析】【分析】利用基本不等式可知12xy，当且仅当“122yx”时取等号.而121xyxy运用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在122yx时取得最

16、小值，由此得解.【详解】解：由题意可知：22224122 44xyxyxyxy，即12xy，当且仅当“122yx”时取等号，21211 211222221xyxyxyxyxyxyxy22226，当且仅当“122yx”时取等号.故答案为：12，6.【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.三、解答题：本大题共5 小题，共142 1516 275分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在ABC中，角、ABC所对的边分别为abc、.已知2224coscabbcC，且2AC.（1）求cosC的值；（2）求cos3B的值.【答案】（1）2 5cos

17、5C（2）43 310【解析】【分析】（1）2224coscabbcC，由余弦定理可得2ac，再由正弦定理可得sin2sinAC,将2AC，代 入 化 简 可 得2sincosCC，从 而 求 出cosC的 值.（2）由 条 件2AC，可 知5coscos236BC，又2 5cos5C，进而可求出sinC，sin2C，以及cos2C的值，利用两角差的余弦即可求出结果.【详解】解：（1）2224coscabbcC,由余弦定理可得2ac，由正弦定理得sin2sinAC,又2AC,sinsincos2ACC,2sincosCC，又22sincos1CC,解得2 5cos5C.（2）由（1）知5sin

18、5C,4sin 22sincos5CCC,23cos22cos15CC,5coscoscos2336BACC55coscos2sinsin 266CC3 31 443 3252 510【点睛】本题考查利用正余弦定理转化解三角形，考查两角和与差的余弦以及二倍角公式，属于中档题.17.如图，在三棱柱111ABCA B C中，ABAC，顶点1A在底面ABC上的射影恰为点B，且12.ABACA B（1）证明：平面1A AC平面1AB B；（2）求棱1AA与BC所成的角的大小；（3）若点P为11B C的中点，并求出二面角1PABA的平面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）2 55【解析】

19、试题分析：（1）因为顶点在1A在底面ABC上的的射影恰好为B得到1A BAC，又ABAC，利用线面垂直的判定定理可得平面1A AC平面1AB B；（2）建立空间直角坐标系，求出10,2,2AA，112,2,0BCBC，利用向量的数量积公式求出棱1AA与BC所成的角的大小；（3）求出平面PAB的法向量1n，而平面1ABA的法向量21,0,0n，利用向量的数列积公式求解二面角的余弦值试题解析：（1）证明：1A BABC面，1A BAC，又ABAC，1ABA BB，1ACAB B面，1ACA AC面，11A ACAB B平面平面（2）以 A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则12,0,0,0,2,

20、0,0,2,2CBA，10,4,2B，12,2,2C，10,2,2AA，112,2,0BCBC，11141cos,28 8AABCAA BCAABC，故1AA与棱BC所成的角是3（3）因为P为棱11B C的中点，故易求得1,3,2P设平面PAB的法向量为1,nx y z，则110,0nAPnAB，由1,3,20,2,0APAB，得32020 xyzy，令1z，则12,0,1n，而平面1ABA的法向量21,0,0n则12121222 5cos,55nnn nnn由图可知二面角1PABA为锐角，故二面角1PABA的平面角的余弦值是2 55考点：利用空间向量求解平面间的夹角；异面直线及其所成角；直线

21、与平面垂直的判定18.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，离心率为12，点P是椭圆C上的一个动点，且12PF F面积的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）过点0,1M作直线1l交椭圆C于A、B两点，过点M作直线1l的垂线2l交圆O:2224axy于另一点N.若ABN的面积为3，求直线1l的斜率.【答案】（1）22143xy（2）12【解析】【分析】（1）由题意可知：当P为C的短轴顶点时，12PF F面积取最大值，又离心率为12，则可以列出方程222121232caabccb，解出,a b c的值即可求出椭圆的方程.（2）首先讨论两条直线中斜率为0 和斜率不

22、存在的情况，判断三角形的面积是否为3；然后讨论一般情况，设直线1l的方程为1ykx，直线2l的方程为11yxk，分别与椭圆和圆联立，用 K表示出线段AB的长和点N到直线1l的距离，表示出ABN的面积，即可求出斜率的值.【详解】解：（1）椭圆C的离心率为12，当P为C的短轴顶点时，12PF F的面积有最大值3.222121232caabccb,解得231abc，故椭圆C方程为：22143xy.（2）若1l的斜率为0，则4 6|3AB，|2MN，ABN的面积为4 63，不合题意，所以直线1l的斜率不为0.设直线1l的方程为1ykx，由221431xyykx消去y得2234880kxkx，设11,A

23、 x y，22,B xy，则122834kxxk，122834x xk，2222222(8)434(8)4 6 112|13434kkkkABkkk.直线2l的方程为11yxk，即0 xkyk，2222|2 111kMNkk.ABN的面积222211 4 6 1122|322341kkSABMNkk，解得12k，即直线1l的斜率为12.【点睛】本题考查根据基本量求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的表示，同时考查了学生的计算能力和分析问题的能力，属于中档题.19.已知等比数列na的公比1q，且34528aaa，42a是3a、5a的等差中项.（1）求数列na的通项公式；（2）试比

24、较11211nkkkkaaa与12的大小，并说明理由；（3）若数列nb满足*21lognnbanN，在每两个kb与1kb之间都插入1*2kkN个 2，使得数列nb变成了一个新的数列pc，试问：是否存在正整数m，使得数列pc的前m项和2019mS？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由.【答案】（1）12nna（2）111112212n,详见解析（3）存在992m，使得2019mS【解析】【分析】（1）根据条件列出方程组，解基本量即可.（2）由（1）可知通项为：1211kkkaaa，对通项裂项可得：1112111221212121kkkkk，从而可求出前n 项和，即可比较出大小关系.（3）由

25、（2）可知：212loglog 2nnnban数列pc中含有12,nb bb含有个 2，所以数列pc中，kb的前所有项之和为0122(123)2 2222kSk，求出S，代入k 的具体值，可知当10k时，1077S，当11k时，2112S，所以在10k的基础之上加上471 个 2 可得2019S，把前面所有项的个数加起来即可得到m的值.【详解】解：（1）由42a是3a，5a的等差中项，得35424aaa，34543428aaaa,解得48a.3520aa，从而1820qq，1q，解得2q.11a，从而12nna.（2）由（1）知11112211111221212121kkkkkkkkaaa.1

26、1211nkkkkaaa12231111111111221212212122121nn111112212n（3）212loglog 2nnnban.根据题意，数列pc中，kb（含kb项）前的所有项的和为：0122(1)(123)2 2222222kkk kSk.当10k时，10552210772019S，当11k时，11662221122019S，又2019 1077942471 2,28101222471992m时，2019mS，存992m，使得2019mS.【点睛】本题考查用基本量求数列的通项，考查裂项相消求和，考查根据数列的和求数列的项数，属于数列新定义题型，同时考查了学生的计算能力以及

27、学生分析问题的能力，属于难题.20.设函数xfxae，lng xxb，其中,a bR,e是自然对数的底数.（1）设F xxfx，当1ae时，求F x的最小值；（2）证明：当1ae，1b时，总存在两条直线与曲线yfx与yg x都相切；（3）当22ae时，证明：()()f xx g xb.【答案】（1）最小值2e（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出F x的解析式，求导求单调性，然后则可求出最小值.（2）总存在两条直线与曲线yfx与yg x都相切，及yfx与yg x永远都存在两条公切线，分别设出切点求出切线方程，根据切线方程为同一条，列出方程组求解，证明等式恒成立即可.（3）即

28、证明当22ae时，ln0 xaexx.令()ln(0)xaeG xx xx，求导求令()G x的最小值大于0即可.【详解】解：（1）1()xF xxe，1()(1)xFxxe，当,1x时，0Fx，F x单调递减；当1,x时，0Fx，F x单调递增，故1x时，F x取得最小值21Fe.（2）1xfxe，1xfxe在点1,mm e处的切线方程为11(1)mmyexm e；1gxx，lng xxb在点,lnnnb处的切线方程为1ln1yxnbn.由题意得111(1)ln1mmenm enb，则1(1)e0mmmb.令1()(1)nh mmemb，则1()1mh mme，由（1）得1m时，h m单调递

29、增，又10h，1m时，0hm，当1m时，0hm，h m单调递减；当1m时，0hm，h m单调递增.由（1）得21(1)(2)110bh bbee，又2233(3)(2)23(2)(3)23024bhbb ebbbbb，110hb，所以函数h m在1,1b和1,3b内各有一个零点，故当1b时，总存在两条直线与曲线yfx与yg x都相切.（3）()()ln0 xaef xx g xbxx.令()ln(0)xaeG xx xx，以下证明当22ae时，G x的最小值大于0.求导得22(1)1(1)()xxa xea xexGxxxx.当01x时，()0Gx，()(1)0G xGae；当1x时，2(1)

30、()(1)xa xxG xexa x，令()(1)xxH xea x，21()0(1)xHxea x，又2222(2)0aeHeaa，取1,2t且使2(1)tea t，即2211aetae，则22()0(1)ttH teeea t，20H t H,故H x存在唯一零点01,2x，即G x有唯一的极值点且为极小值点01,2x，又0000lnxaeG xxx，且000001xxHxea x，即0001xxea x，故0001ln1G xxx，02001101Gxxx，故0G x是1,2上的减函数.0(2)1ln 20G xG,所以0G x.综上，当22ae时，()()f xx g xb【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，考查利用导数求曲线的切线，设计到了公切线问题和导数的零点代换问题，考查了学生的计算能力和转化问题的能力，属于难题.