普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(浙江卷,解析版).pdf

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1、-1-2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（浙江卷，解析版）本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5 页，选择题部分1 至 2 页，非选择题部分 3 至 5 页。满分150 分，考试时间120 分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共50 分）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。2每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。参考公式：如果事件,A B 互斥，那么棱柱的体积公式()()()P ABP AP BVSh如果事

2、件,A B 相互独立，那么其中 S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高()()()P A BP AP B棱锥的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么13VShn次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中 S表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()(1),(0,1,2,)kkn knnP kC ppkn棱台的体积公式球的表面积公式)(312211SSSShV24SR其中 S1、S2分别表示棱台的上、下底面积，球的体积公式h表示棱台的高334RV其中R表示球的半径一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设UR，|0A

3、x x，|1Bx x，则UAB()A|01 xx B|01 xx C|0 x x D|1x x答案：B -2-【解析】对于1UC Bx x，因此UAB|01 xx2已知,a b是实数，则“0a且0b”是“0ab且0ab”的 ()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案：C 【解析】对于“0a且0b”可以推出“0ab且0ab”，反之也是成立的3设1zi（i是虚数单位），则22zz()A1i B 1i C1i D1 i答案：D 【解析】对于2222(1)1211ziiiizi4在二项式251()xx的展开式中，含4x的项的系数是()A10 B10C5 D5答

4、案：B 【解析】对于2510 31551()()1rrrrrrrTCxC xx，对于1034,2rr，则4x的项的系数是225(1)10C5在三棱柱111ABCA B C中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面11BB C C的中心，则AD与平面11BB C C所成角的大小是()A30 B45 C60 D90答案：C 【解析】取BC的中点 E，则AE面11BBC C，AEDE，因此AD与平面11BB C C所成角即为ADE，设ABa，则32AEa，2aDE，即有0tan3,60ADEADE6某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是 ()A4 B5 C6 D7答案：A 【解析】对于0,1

5、,1ksk，而对于1,3,2ksk，则2,38,3ksk，-3-后面是113,382,4ksk，不符合条件时输出的4k7设向量a，b满足：|3a，|4b，0a b以a，b，ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为()A3 B4 C5 D6答案：C 【解析】对于半径为1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4 个交点的情况，但5 个以上的交点不能实现8已知a是实数，则函数()1sinf xaax的图象不可能是 ()答案：D 【解析】对于振幅大于1 时，三角函数的周期为2,1,2TaTa，而 D 不符合要求，它的

6、振幅大于1，但周期反而大于了29过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C若12ABBC，则双曲线的离心率是()A2 B3 C5 D10答案：C 【解析】对于,0A a，则直线方程为0 xya，直线与两渐近线的交点为B，C，22,(,)aabaabBCab ababab，则有22222222(,),a ba bababBCABababab ab，因222,4,5ABBCabe10对于正实数，记M为满足下述条件的函数()f x构成的集合：12,x xR且21xx，-4-有212121()()()()xxf xf xxx下列结

7、论中正确的是()A若1()f xM，2()g xM，则12()()f xg xMB若1()f xM，2()g xM，且()0g x，则12()()f xMg xC若1()f xM，2()g xM，则12()()f xg xMD若1()f xM，2()g xM，且12，则12()()f xg xM答案：C 【解析】对于212121()()()()xxf xf xxx，即有2121()()f xf xxx，令2121()()f xfxkxx，有k，不 妨 设1()f xM，2()g xM，即 有11,fk22gk，因此有1212fgkk，因此有12()()f xg xM非选择题部分（共100 分）

8、注意事项：1用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。2在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共 28 分。11设等比数列na的公比12q，前n项和为nS，则44Sa答案：15【解析】对于4431444134(1)1,151(1)aqsqsaa qqaqq12若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是3cm答案：18【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1 3 39，上面的长方体体积为3 3 19，因此其几何体的体积为18 13若实数,x y满足不等式组2,24,0,

9、xyxyxy则23xy的最小值-5-是答案：4 【解析】通过画出其线性规划，可知直线23yxZ过点2,0时，min234xy14某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）50 及以下的部分0.568 50 及以下的部分0.288 超过 50 至 200 的部分0.598 超过 50 至 200 的部分0.318 超过 200 的部分0.668 超过 200 的部分0.388 若某家庭5 月份的高峰时间段用

10、电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）答案：148.4【解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为50 0.568 150 0.598；对于低峰部分为500.288 50 0.318，二部分之和为148.415观察下列等式：1535522CC，1597399922CCC，159131151313131322CCCC，1591317157171717171722CCCCC，由以上等式推测到一个一般的结论：对于*nN，1594141414141nnnnnCCCC答案：4121212nnn【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题

11、，结论由二项构成，第二项前有1n，二项指数分别为41212,2nn，因此对于*nN，-6-1594141414141nnnnnCCCC4121212nnn16甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）答案：336 【解析】对于7 个台阶上每一个只站一人，则有37A种；若有一个台阶有2 人，另一个是1 人，则共有1237C A种，因此共有不同的站法种数是336种17如图，在长方形ABCD中，2AB，1BC，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点 现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC 在平面ABD内过

12、点D作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值范围是答案：1,12【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F 位于 DC的中点时，1t，随着 F 点到C 点 时，因,CBAB CBDKCB平 面ADB，即 有CBBD，对 于2,1,3CDBCBD，又1,2ADAB，因此有ADBD，则有12t，因此t的取值范围是1,12三、解答题：本大题共5 小题，共72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（本题满分14 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且满足2 5cos25A，3AB AC（I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值解析：（I）因为2 5cos2

13、5A，234cos2cos1,sin255AAA，又由3AB AC，得cos3,bcA5bc，1sin22ABCSbcA（II）对 于5bc，又6bc，5,1bc或1,5bc，由 余 弦 定 理 得-7-2222cos20abcbcA，2 5a19（本题满分14 分）在1,2,3,9这9个自然数中，任取3个数（I）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；（II）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时的值是2）求随机变量的分布列及其数学期望E解析：（I）记“这3 个数恰有一个是偶数”为事件A，则12453910()21C CP AC；（II）随

14、机变量的取值为0,1,2,的分布列为0 1 2 P 51212112所以的数学期望为5112012122123E20（本题满分15 分）如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，,E F O分别为PA，PB，AC的中点，16AC，10PAPC（I）设G是OC的中点，证明：/FG平面BOE；（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离证明：（I）如图，连结OP，以 O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),OABC(0,0,6

15、),(0,4,3),PE4,0,3F，由题意得，0,4,0,G因(8,0,0),(0,4,3)OBOE，因此平面BOE的法向量为(0,3,4)n，(4,4,3FG得0n FG，又直线FG不在平面BOE内，因此有/FG平面BOE（II）设点 M的坐标为00,0 xy，则00(4,3)FMxy，因为FM平面 BOE，所以有/FMn，因此有0094,4xy，即点 M的 坐 标 为94,04，在 平 面 直 角 坐 标 系xoy中，AOB的 内 部 区 域 满 足 不 等 式 组xyz-8-008xyxy，经检验，点 M的坐标满足上述不等式组，所以在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，由点 M的坐标

16、得点M到OA，OB的距离为94,421（本题满分15 分）已知椭圆1C：22221(0)yxabab的右顶点为(1,0)A，过1C的焦点且垂直长轴的弦长为1（I）求椭圆1C的方程；（II）设点P在抛物线2C：2()yxh hR上，2C在点P处的切线与1C交于点,MN当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值解析：（I）由题意得212,121babba所求的椭圆方程为2214yx，（II）不 妨 设21122(,),(,),(,),MxyN xyP t th则 抛 物 线2C在 点P 处 的 切 线 斜 率 为2xtyt，直 线MN 的 方 程 为22ytxth，将 上 式 代 入

17、 椭 圆1C的 方 程 中，得2224(2)40 xtxth，即222224 14()()40txt th xth，因为直线MN与椭圆1C有两个不同的交点，所以有4221162(2)40thth，设线段 MN的中点的横坐标是3x，则21232()22(1)xxt thxt，设线段 PA的中点的横坐标是4x，则412tx，由题意得34xx，即有2(1)10th t，其中的22(1)40,1hh或3h；当3h时有220,40hh，因此不等式4221162(2)40thth不成立；因此1h，当1h时代入方程2(1)10th t得1t，将1,1ht代入不等式4221162(2)40thth成立，因此h

18、的最小值为122（本题满分14 分）已知函数322()(1)52fxxkkxx，22()1g xk xkx，其中kR（I）设函数()()()p xf xg x若()p x在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围；-9-（II）设函数(),0,()(),0.g xxq xf xx是否存在k，对任意给定的非零实数1x，存在惟一的非零实数2x（21xx），使得21()()q xq x成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由解析：（I）因32()()()(1)(5)1P xf xg xxkxk，232(1)(5)pxxkxk，因()p x在区间(0,3)上不单调，所以0px在0,3上有实数解，且无

19、重根，由0p x得2(21)(325),kxxx2(325)391021214213xxkxxx，令21,tx有1,7t，记9(),h ttt则h t在1,3上单调递减，在3,7上单调递增，所以有6,10h t，于是9216,1021xx，得5,2k，而当2k时有0px在0,3上有两个相等的实根1x，故舍去，所以5,2k；（II）当0 x时有2232(1)5qxfxxkkx；当0 x时有22qxgxk xk，因为当0k时不合题意，因此0k，下面讨论0k的情形，记A(,)k，B=5,（）当10 x时，q x在0,上单调递增，所以要使21qxq x成立，只能20 x且AB，因此有5k，（）当10 x时，qx在0,上单调递减，所以要使21qxqx成立，只能20 x且AB，因此5k，综合（）（）5k；当5k时 A=B，则110,xqxBA，即20,x使得21q xqx成立，因为qx在0,上单调递增，所以2x的值是唯一的；同理，10 x，即存在唯一的非零实数221()xxx，要使21qxqx成立，所以5k满足题意