必修二示范教案直线与圆的方程的应用.pdf

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1、4.2.3 直线与圆的方程的应用整体设计教学分析直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.三维目标(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质；(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.(3)会用“数形结合”的数学思想解决问题.让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方

2、程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力.重点难点教学重点：求圆的应用性问题.教学难点:直线与圆的方程的应用.课时安排1 课时教学过程导入新课思路 1.如图 1,某城市中的高空观览车的高度是100 m,图 1 在离观览车约150 m 处有一建筑物,某人在离建筑物100 m 的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.思路 2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师

3、板书课题:直线与圆的方程的应用.推进新课新知探究提出问题你能说出直线与圆的位置关系吗？解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法？阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4 的问题？你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？你能利用“坐标法”解决例 5 吗？活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类；解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比

4、较可知哪个简单；回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论.讨论结果：直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较.你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于 D、E、F 的三个独立的条件也可.建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.应用示例思路 1例 1 讲解课本4.2 节例 4,解法一见课本.图 2 解法二：如图 2,过

5、 P2作 P2HOP.由已知,|OP|=4,|OA|=10.在 RtAOC 中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为r,则有 r2=(r-4)2+102.解得 r=14.5.在 RtCP2H 中,有|CP2|2=|CH|2+|P2H|2.因为|P2H|=|OA2|=2,于是有|CH|2=r2-|OA2|2=14.52-4=206.25.又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=25.206-10.514.36-10.5=3.86.所以支柱 A2P2的长度约为3.86 cm.点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立

6、适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择.变式训练已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.图 3 解:如图 3,以四边形ABCD 互相垂直的对角线CA、DB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立适当的平面直角坐标系,设 A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).过四边形 ABCD 的外接圆的圆心O1分别作 AC、BD、AD 的垂线,垂足分别为

7、M、N、E,则M、N、E分 别 为 线 段AC、BD、AD的 中 点,由 线 段 的 中 点 坐 标 公 式,得1Ox=xm=2ca,1Oy=yn=2db,xE=2a,yE=2d.所以|O1E|=222221)222()222(cbddbaca.又|BC|=22cb,所以|O1E|=21|BC|.点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.例 2 有一种大型商品,A、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A 地

8、的运费是B 地运费的3 倍,已知 A、B 两地相距10 km,居民选择 A 或 B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求 A、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB 所在直线为x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A 地近,且费用低,列方程或不等式.解:以 AB 所在直线为x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系,则 A(5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且 P地居民选择A 地购买商品

9、的费用较低,并设 A 地的运费为3a 元/km,则 B地运费为a 元/km.由于 P 地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A 地运费 价格+B 地运费,即 3a22)5(yx a22)5(yx,整理得(x+425)2+y2(415)2.所以以点 C(-425,0)为圆心,415为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A 地购货费用较低,圆外的居民从B 地购货费用较低,圆上的居民从A、B 两地购货的总费用相等,因此可以随意从A、B 两地之一购货.点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.思路 2

10、例 1 求通过直线2x-y+3=0 与圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的交点,且面积最小的圆的方程.活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法.解法一:利用过两曲线交点的曲线系,设圆的方程为x2+y2+2x-4y+1+(2x-y+3)=0,配方得标准式(x+1+)2+(y-2-2)2=(1+)2+(2+2)2-3-1,r2=452+4=45(+52)2+519,当=-52时,半径 r=519最小.所求面积最小的圆的方程为5x2+5y2+6x-18y-1=0.解法二:利用平面几何知识,以直线与圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2)连线为直径的圆符合要求.

11、由,0142,03222yxyxyx消去 y,得 5x2+6x-2=0.判别式 0,AB 中点横坐标x0=221xx=-53,纵坐标 y0=2x0+3=59,即圆心 O(-53,59).又半径 r=21|x1-x2|221=519,所求面积最小的圆的方程是(x+53)2+(y-59)2=519.点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式|AB|=|x1-x2|21k;对于圆的弦长,还可以利用勾股定理求得,即|AB|=22dr,其中 r 为圆半径,d 为圆心到弦的距离.变式训练设圆满足截y 轴所得弦长为2,被 x 轴分成两段弧,弧长之比为31,在满

12、足条件的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0 的距离最小的圆的方程.图 4 解:关键确定圆心坐标和半径.如图 4.设圆心 A(a,b),则半径 r=2|b|.由截 y 轴的弦长为2,知 a2+1=r2=2b2,又圆心 A 到 l 的距离 d=51|a-2b|,5d2=a2+4b2-4aba2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当 a=b 时等号成立.这里由,2,1,2222rbraba解得.2,1,12,1,1rbarba或圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2.例 2 已知x,y 是实数,且 x2+y2-4x-6y+12=0,求(1)xy

13、的最值;(2)x2+y2的最值;(3)x+y的最值;(4)x-y 的最值.活动：学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义.解:(x-2)2+(y-3)2=1 表示以点C(2,3)为圆心,1 为半径的圆.(1)xy表示圆 C 上的点 P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k,故当 y=kx 为圆 C 的切线时,k 得最值.21|32|kk=1,k=2323.xy的最大值为2+323,最小值为2-323.(2)设 x2+y2表示圆 C 上的点 P(x,y)与坐标原点O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当 P 为直线 OC 与圆 C 的两交点 P1、P2时

14、,OP12与 OP22分别为 OP2的最大值、最小值.x2+y2的最大值为(2232+1)2=14+213,最小值为(2232-1)2=14-213.(3)令 x+y=m,当直线 l:x+y=m 与圆 C 相切时,l 在 y 轴上截距 m 取得最值.2|32|m=1,m=52.x+y 的最大值为5+2,最小值为5-2.(4)令 x-y=n,当直线 l:x-y=n 与圆 C 相切时,l 在 y 轴上截距的相反数n 取得最值.2|32|n=1,n=-1 2.x-y 的最大值为-1+2,最小值为-1-2.点评:从“数”中认识“形”,从“形”中认识“数”,数形结合相互转化是数学思维的基本方法之一.“数

15、学是一个有机的统一体,它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合.”(希尔伯特)数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一,而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力.本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目.例 3 已知圆 O 的方程为 x2+y2=9,求过点 A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识.解法一:参数法(常规方法)设过A 的弦所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k存在时),P(x,y),则),2(,922kkxyyx消y,得(1+k2)x2+2k(2-k)x+k

16、2-4k-5=0.x1+x2=1)2(22kkk.利用中点坐标公式及中点在直线上,得12,1)2(22kkykkkx(k 为参数).消去 k 得 P 点的轨迹方程为x2+y2-x-2y=0,当 k 不存在时,中点 P(1,0)的坐标也适合方程.P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆.解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法)设过点 A 的弦 MN,M(x1,y1),N(x2,y2).M、N 在圆 O 上,.9,922222121yxyx.相减得(x1+x2)+2121xxyy(y1+y2)=0(x1x2).设 P(x,y),则 x=221xx,y=221yy.M、N、P、A 四点共线

17、,2121xxyy=12xy(x 1).2x+12xy 2y=0.中点 P的轨迹方程是x2+y2-x-2y=0(x=1 时亦正确).点 P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆.解法三:数形结合(利用平面几何知识)由垂径定理知OPPA,故 P 点的轨迹是以AO 为直径的圆.(下略)点评:本题涉及求轨迹方程的三种间接方法.思路一,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即,0),(,0),(yxgyxf消 y(或 x)得关于 x(或 y)的一元二次方程Ax2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得解.思路二,又叫平方差法,要求弦的中点的轨迹方程时,用此法比较简便.基本思路是利用

18、弦的两个端点M(x1,y1)、N(x2,y2)在已知曲线上,将点的坐标代入已知方程然后相减,利用平方差公式可得x1+x2、y1+y2、x1-x2、y1-y2等.再由弦 MN 的中点 P(x,y)的坐标满足 x=221xx,y=221yy,以及直线MN 的斜率 k=2121xxyy(x1x2)等,设法消去x1、x2、y1、y2,即可得弦MN 的中点 P 的轨迹方程.用此法对斜率不存在的情况,要单独讨论.思路三,数形结合,利用平面几何知识等,有时能使求解过程变得非常简洁.学好解析几何,要掌握特点,注意四个结合:数形结合:形不离数,数不离形,依形判断,就数论形;动静结合:动中有静,静中有动,几何条件

19、 曲线方程 图形性质;特殊与一般结合:一般性寓于特殊性之中,特殊化与一般化是重要的数学思维方法;理论与实际结合:学以致用,创造开拓.知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升某种体育比赛的规则是:进攻队员与防守队员均在安全线l 的垂线 AC 上(C 为垂足),且距C 分别为 2a 和 a(a 0)的点 A 和 B,进攻队员沿直线AD 向安全线跑动,防守队员沿直线方向向前拦截,设 AD 和 BM 交于 M,若在 M 点,防守队员比进攻队员先到或同时到,则进攻队员失败,已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线AD应为什么方向才能取胜?图 5 解:如图 5,以

20、l 为 x 轴,C 为原点建立直角坐标系,设防守队员速度为v,则进攻队员速度为2v,设点 M 坐标为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点M 所需时间分别为t1=vAM2|,t2=vBM|.若 t1 t2,则|AM|2|BM|,即2222)(2)2(ayxayx.整理,得 x2+(y-32a)2(32a)2,这说明点M 应在圆E:x2+(y-32a)2=(32a)2以外,进攻队员方能取胜.设 AN 为圆 E 的切线,N 为切点,在 RtAEN 中,容易求出 EAN=30 ,所以进攻队员的路线AD 与 AC 所成角大于30 即可.课堂小结1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐

21、标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.常用的有：(1)利用可再化简、对称、直交、平行等特点适当地选择坐标系；(2)善于根据图形的已知条件和论证的目标,恰当地使用曲线的方程；(3)掌握直线和圆的基本定义、基本概念、基本性质,有效运用它们来解题；(4)注意“平几”知识在简洁、直观表达问题中的作用；(5)借助数形结合进行等价转化,减少思维量、运算量；(6)灵活使用曲线系方程,方便快捷地

22、解题；(7)根据背景的特点,巧用字母的替换法则；(8)充分运用韦达定理进行转化与化归；(9)留心引参消参、设而不求等在优化解题思路方面上的作用.3.直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用,主要包括两大块：一是直线与圆的直接应用,它涉及到质量、重心、气象预报、购物选址、光的折射、直线型经验公式的选用等问题,这部分涉及的知识内容比较简单,要熟练掌握直线和圆的方程形式；可以使我们更好地了解近代数学的发展,从而有利于学生应用数学意识的培养.作业习题 4.2 B 组 2、3、5.设计感想本节课是在教师的引导下,对已学知识进行归纳、总结,以形成更系统、更完整的体系；对已学知识进一步加深理解,强化记忆,是一个再认识,再学习的过程,对已掌握的技能、规律、方法进行深化和进一步熟悉,提高学生分析、理解问题的能力.例题设置目的在于“以点带面,举一反三”.能抓住问题的本质举一反三；思路1 通过新旧知识联系,加强横向沟通,考查学生是否具有多角度思考问题、利用不同的方法解决问题的能力,重在应用.思路 2注重在课堂上进行解题方法的讨论,有助于活跃学生思维,促进发散思维的培养,提高思维灵活性,抓住数形结合的数学思想,总结解题规律,充分体现解析几何的研究方法.