江苏省连云港市2019-2020年下学期高一数学期末试卷【含答案】.pdf

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1、江苏省连云港市2019-2020年下学期高一数学期末试卷20207一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）122cossin88A24B24C22D222不等式28x的解集是A(2 2，2 2)B(，2 2)(22，)C(4 2，4 2)D(，4 2)(42，)3若从甲，乙，丙，丁4 位同学中选出3 名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是A14B13C23D344某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35 岁的 80 名教师按年龄分组，分组区间为35，40)，4

2、0，45)，45，50)，50，55)，55，60，由此得到频率分布直方图如图，则这80 名教师中年龄小于45岁的人数有第 4 题A45 B 46 C48 D 505过圆 x2 y25 上一点 M(1，2)作圆的切线l，则 l 的方程是A230 xyB250 xyC250 xyD250 xy6两条平行直线6x4y 50 与 y32x 的距离是A1313B1326C5 1313D5 13267如图，在三棱锥SABC 中，SB SCAB AC BC4，SA2 3，则异面直线SB 与 AC 所成角的余弦值是A18B18C14D14第 7 题8圆222220 xyxy的圆心为C，直线 l 过点(0，3

3、)且与圆 C 交于 A，B 两点，若 ABC 的面积为3，则满足条件的直线l 的条数为A1 B 2 C3 D 4二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9在 4 件产品中，有一等品2 件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品 1 件，现从中任取2 件，则下列说法正确的是A两件都是一等品的概率是13B两件中有1 件是次品的概率是12C两件都是正品的概率是13D两件中至少有1 件是一等品的概率是5610关于异面直线a，b，下列四个命题正确的有A过直线a 有且仅有一个平面，使 bB过直线

4、a有且仅有一个平面，使 bC在空间存在平面，使 a，bD在空间不存在平面，使 a，b11正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN 的最小值为31，则A正方体的外接球的表面积为12B正方体的内切球的体积为3C正方体的棱长为1 D线段 MN 的最大值为3112 瑞士著名数学家欧拉在1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”在平面直角坐标系中作ABC，AB AC 4，点 B(1，3)，点 C(4，2)，且其“欧拉线”与圆M：222(3)xyr相切，则下列结论正确的是A圆 M 上点到直线xy30 的最小距离为2 2B圆 M 上点到直线

5、xy30 的最大距离为3 2C若点(x，y)在圆 M 上，则 x3y 的最小值是322D圆22(1)()8xaya与圆 M 有公共点，则 a 取值范围是 12 2，12 2三、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共计20 分其中第16 题共有 2 空，第一个空 2 分，第二个空3 分；其余题均为一空，每空 5 分请把答案填写在答题卡相应位置上）13已知两点A(3，2)，B(8，12)，则直线AB 的一般式方程为14用半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥筒的高为3，则半圆形纸片的半径为15设 cosxt，用 t 的代数式表示cos2x，用 t 的代数式表示cos3x16在 ABC 中，角 A，

6、B，C 的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足a2(bc)2 S，bc2，则 S的最大值是四、解答题（本大题共6 小题，共计70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10 分）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 A60，b 1，SABC3（1）求 c 的值；（2）求 sinC 的值18（本小题满分12 分）已知 tan()13，tan 2（1）求 tan；（2）求 sin219（本小题满分12 分）已知函数2()(3)2f xaxax（其中 aR）（1）当 a 1 时，解关于x 的不等式()0f x；（2）若()1f x

7、的解集为R，求实数a 的取值范围20（本小题满分12 分）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E 为棱 DD1的中点，求证：（1）BD1平面 EAC；（2）平面 EAC平面 AB1C21（本小题满分12 分）在平面直角坐标系xOy 中，圆 C：x2y24x2aya20（1）若圆 C 与 x 轴相切，求实数a 的值；（2）若 M，N 为圆 C 上不同的两点，过点M，N 分别作圆C 的切线 l1，l2，若 l1与 l2相交于点P，圆 C 上异于 M，N 另有一点Q，满足 MQN 60，若直线l：xy6 0 上存在唯一的一个点T，使得TP2OC，求实数 a 的值22（本小题满分12 分）已知

8、梯形 ABCD 中，AB1，A60，ABC 90，CBD 45，如图（1）所示现将 ABC 沿边 BC 翻折至 ABC，记二面角A BCD 的大小为（1）当90 时，如图（2）所示，过点B 作平面与AD垂直，分别交AC，AD 于点 E，F，求点 E 到平面 ABF 的距离；（2）当30 时，如图（3）所示，求二面角A CDB 的正切值答案一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）122cossin88A24B24C22D22答案：C考点：二倍角的余弦公式解析：222cossincos(2)

9、8882，故选 C2不等式28x的解集是A(2 2，2 2)B(，2 2)(22，)C(4 2，4 2)D(，4 2)(42，)答案：B考点：一元二次不等式解析：28x，2 2x或2 2x，故选 B3若从甲，乙，丙，丁4 位同学中选出3 名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是A14B13C23D34答案：D考点：古典概型解析：P34，故选 D4某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35 岁的 80 名教师按年龄分组，分组区间为35，40)，40，45)，45，50)，50，55)，55，60，由此得到频率分布直方图如图，则这80 名教师中年龄小于45岁的人数有第 4

10、题A45 B 46 C48 D 50答案：C考点：频率分布直方图解析：(0.0800.040)5 8048，故选 C5过圆 x2 y25 上一点 M(1，2)作圆的切线l，则 l 的方程是A230 xyB250 xyC250 xyD250 xy答案：B考点：圆的切线方程解析：根据切线方程公式可得切线方程为25xy，即250 xy，故选 B6两条平行直线6x4y 50 与 y32x 的距离是A1313B1326C5 1313D5 1326答案：D考点：两平行直线间的距离公式解析：根据两平行间的距离公式可得2255 13266(4)d，故选 D7如图，在三棱锥SABC 中，SB SCAB AC B

11、C4，SA2 3，则异面直线SB 与 AC 所成角的余弦值是A18B18C14D14第 7 题答案：A考点：异面直线所成的角解析：取 AB、BC、SC、SA 的中点分别为D、E、F、G，则 EFG 就是异面直线SB 与 AC 所成的角或补角，首先可判断出三角形SAE 是等边三角形，求得三角形SAE 高 EG3，FGFE2，所以4491cosEFG2228，故异面直线SB 与 AC 所成角的余弦值是18，故选 A8圆222220 xyxy的圆心为C，直线 l 过点(0，3)且与圆 C 交于 A，B 两点，若 ABC 的面积为3，则满足条件的直线l 的条数为A1 B 2 C3 D 4答案：D考点：

12、直线与圆相交解析：圆222220 xyxy化为标准方程为22(1)(1)4xy，则1CA CB cosACB2sinACB32，ACB 60或 120，故圆心到直线AB 的距离为1 或3，当 l 斜率不存在时，符合题意，当 l 斜率为 k 时，设直线为3ykx，221kdk1 或3，解得 k34，或612，综上所述，共有4 条，故选 D二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9在 4 件产品中，有一等品2 件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品 1 件，现从中任取2 件，则下列说

13、法正确的是A两件都是一等品的概率是13B两件中有1 件是次品的概率是12C两件都是正品的概率是13D两件中至少有1 件是一等品的概率是56答案：BD考点：几何概型解析：两件都是一等品的概率16，故 A 错误；两件中有1 件是次品的概率为12，故 B 正确；两件都是正品的概率是12，故 C 错误；两件中至少有1 件是一等品的概率是56，故D 正确故选BD10关于异面直线a，b，下列四个命题正确的有A过直线a 有且仅有一个平面，使 bB过直线a有且仅有一个平面，使 bC在空间存在平面，使 a，bD在空间不存在平面，使 a，b答案：BCD考点：空间中的位置关系解析：当直线ab，过直线a 有无数个平面

14、，能使 b，故 A 错误；异面直线a，b，过直线a 有且仅有一个平面，使 b，故 B 正确；异面直线a，b，在空间存在平面，使 a，b，故 C 正确；如果 a，b，则 ab，即直线 a，b 共面，反之异面直线a，b，在空间不存在平面，使 a，b故 D 正确故选BCD 11正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN 的最小值为31，则A正方体的外接球的表面积为12B正方体的内切球的体积为3C正方体的棱长为1 D线段 MN 的最大值为31答案：AD考点：正方体的外接球与内切球解析：设正方体棱长为a，则313 122aa，解得 a2，正方体外接球半径为3，内切球半径为1，正方体外接球表面

15、积为24(3)12，故 A 正确；内切球体积为3441=33，故 B 错误；正方体的棱长为2，故 C 错误；线段 MN 的最大值为31，故 D 正确故选AD 12 瑞士著名数学家欧拉在1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”在平面直角坐标系中作ABC，AB AC 4，点 B(1，3)，点 C(4，2)，且其“欧拉线”与圆M：222(3)xyr相切，则下列结论正确的是A圆 M 上点到直线xy30 的最小距离为2 2B圆 M 上点到直线xy30 的最大距离为3 2C若点(x，y)在圆 M 上，则 x3y 的最小值是322D圆22(1)()8x

16、aya与圆 M 有公共点，则 a 取值范围是 12 2，12 2答案：ACD考点：与圆有关的位置关系解析：取 BC 中点 D(32，12)，515BCk，1ADk，故直线AD 为 xy10，故222rd，求得圆心M 到直线 xy30 的距离为3 2，故圆 M 上点到直线xy30 的最小距离为22，最大距离为4 2，所以A 正确，B 错误；设32 cosx，2siny，则332 cos6sinxy32 2sin()6，则 x3y 的最小值是32 2，故 C 正确；222(2)3 2aa，解得122122a，故 D 正确故选ACD 三、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共计20 分其中第1

17、6 题共有 2 空，第一个空 2 分，第二个空3 分；其余题均为一空，每空 5 分请把答案填写在答题卡相应位置上）13已知两点A(3，2)，B(8，12)，则直线AB 的一般式方程为答案：240 xy考点：直线的两点式、一般式解析：231228 3yx，化为一般式为240 xy14用半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥筒的高为3，则半圆形纸片的半径为答案：2考点：圆锥的侧面展开图解析：半圆形纸片做成的圆锥，母线是底面半径的2 倍，由于圆锥筒的高为3，故半圆形纸片的半径为215设 cosxt，用 t 的代数式表示cos2x，用 t 的代数式表示cos3x答案：221t，343tt考点：三角恒等变换解

18、析：22cos22cos121xxt，2223cos3cos2 cos2sincos(21)2(1)43xxxxxtttttt16在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足a2(bc)2 S，bc2，则 S的最大值是答案：417考点：余弦定理，解三角形解析：22221()sin2cos2abcbcAbcbcA，化简得sin4cos4AA，又22sincos1AA，解得cos1A（舍），或15cos17A，则8sin17A，211844sin(2)(1)22171717SbcAbbb，当 b1 时，S有最大值为417四、解答题（本大题共6 小题，共计70 分请在答题

19、卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10 分）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 A60，b 1，SABC3（1）求 c 的值；（2）求 sinC 的值解：（1）在ABC中，1sin32ABCSbcA，所以13322b c，所以4c；（2）在ABC中，由余弦定理得：2222cosabcbcA所以221142 14132a，所以13a，在ABC中，由正弦定理得：sinsinacAC，所以sin2 39sin13cACa18（本小题满分12 分）已知 tan()13，tan 2（1）求 tan；（2）求 sin2解：（1）tan()ta

20、ntan=tan()1tan()tan，因为1tan()3，tan2，所以tan=7（2）2222sincos2tansin 22sincossincostan1，因为tan2，所以4sin2519（本小题满分12 分）已知函数2()(3)2f xaxax（其中 aR）（1）当 a 1 时，解关于x 的不等式()0f x；（2）若()1f x的解集为R，求实数a 的取值范围解：（1）当1a时，由()0f x得，2420 xx，所以2420 xx，所以不等式的解集为(62)(62)，；（2）因为()1f x 解集为R，所以2(3)21axax在R恒成立，当0a时，得321x，不合题意；当0a时，

21、由2(3)30axax在R恒成立，得20(3)120aaa，所以96 296 2a20（本小题满分12 分）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E 为棱 DD1的中点，求证：（1）BD1平面 EAC；（2）平面 EAC平面 AB1C证明：（1）连接 BD 交 AC 与 O，连接 OE，因为 O 是 BD 中点，E是棱1DD的中点，所以 OE BD1，又 BD1平面EAC，OE?平面EAC，所以1BD平面EAC；（2）方法一：连接11BOB E，,设正方体边长为1 在 AEC中,EAEC,O是AC中 点，得OEAC,同 理1OBAC,故1EOB为1EACB所成二面角的平面角,在1EOB中

22、,32OE,162B O,132B E得22211OEB EBO故1=90EOB故平面EAC平面1ABC法二：连接1AB,在正方体1111ABCDA BC D中，A1B1B1D1ABCDEO11A D面11ABB A，1AB面11ABB A,得11A D1AB11ABBA是正方形，得1A B1AB,又1111A BA DA,得1AB面11A BD,1BD面11A BD,故1AB1BDOE1BD得1OEAB，在AEC中,EAEC,O是AC中点，得OEAC又1ABACA,得OE面1ABC，OE平面EAC故平面EAC平面1ABC.21（本小题满分12 分）在平面直角坐标系xOy 中，圆 C：x2y2

23、4x2aya20（1）若圆 C 与 x 轴相切，求实数a 的值；（2）若 M，N 为圆 C 上不同的两点，过点M，N 分别作圆C 的切线 l1，l2，若 l1与 l2相交于点P，圆 C 上异于 M，N 另有一点Q，满足 MQN 60，若直线l：xy6 0 上存在唯一的一个点T，使得TP2OC，求实数 a 的值解：（1）圆C的方程可以化为：22(2)()4xya，所以圆心(2)Ca，半径为2,因为圆C与x轴相切，所以|2a，所以2a（2）因为点MN，在圆C上，且60MQN，所以120MCN，因为PMPN，分别是圆C的切线，所以4PC，即点P在以C为圆心，4为半径的圆上，所以点P的轨迹方程为22(

24、2)()16xya，设00()T xy，()P mn，由2TPOC得，00()2(2)mxnya，所以0042mxnya，即0042mxnya，所以2200(2)()16xya，因为直线l60 xy上一存在唯一点T，使得2TPOC，所以220000(2)()1660 xyaxy只有一组解，所以|26|42a，所以44 2a22（本小题满分12 分）已知梯形 ABCD 中，AB1，A60，ABC 90，CBD 45，如图（1）所示现将 ABC 沿边 BC 翻折至 ABC，记二面角A BCD 的大小为（1）当90 时，如图（2）所示，过点B 作平面与AD垂直，分别交AC，AD 于点 E，F，求点

25、E 到平面 ABF 的距离；（2）当30 时，如图（3）所示，求二面角A CDB 的正切值解：（1）因为平面A BC平面BCD，平面A BC平面BCDBC，CDBC，CD平面BCD，所以CD平面A BC，又BE平面A BC，所以CDBE，因为A DBEF平面，BEBEF平面，所以A DBE又CDA DD，CDA DA CD，平面，所以BEA CD平面，又A CA CD平面，所以BEA C，在Rt A BC中，3=2A B BCBEA C，又A BCBCD平面平面，A BCBCDBC平面平面，A BBC，A BA BC面所以A BBCD平面，又BDBCD平面，所以A BBD，在Rt A BD中，

26、67A B BDBFA D，所以2217A FA BA F，在Rt BEF中，2232 7EFBFBE，设点E到平面A BF的距离为d，因为ABEFEA BFVV，所以1133BEFABFSA FSd，所以68d；（2）过点B作直线l/CD，过A作A Hl交l于点H因为CDBC，所以lBC，又因为A BBC，所以A BH就是二面角ABCD的平面角，所以30A BH，因为1A B，所以12A H，过点H作HQCD交CD于点Q，连接A Q，因为BCA B，BCl，lA BB，所以BCA BH平面，又BCBCD平面，所以BCDA BH平面平面又因为BCDA BHl平面平面，A Hl，A HA BH平面所以A HBCD平面，因为HQCD，所以CDA HQ平面，因为A QA CD平面，所以CDA Q，所以A QH是二面角ACDB的平面角，在Rt A QH中，3tan6A HA QHHQ=，所以二面角ACDB的正切值为36B C D Q H l