高中数学3.2.2几类不同增长的函数模型教案新人教A版必修1.pdf

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1、高中数学3.2.2 几类不同增长的函数模型教案新人教 A 版必修 1 1/6 3.2.2 几类不同增长的函数模型（一）教学目标1知识与技能利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.2进程与方法在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.3情感、态度与价值观在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.（二）教学重点与难点重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习

2、和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图回顾复习引入深题增函数的增长快慢比较方法：利用列表与图象，借助二分法求根，探究快慢相应区间获得一般结论.师：幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢一般性规律.生：回顾总结，口述回答.以旧引新导入课题实例分析例 1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40 元；方案二：第一天回报10 元，以后每天比前一天多回报10 元；方案三：第一天回报0.4 元，以后每天回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？

3、师生合作探究解答过程例 1 解答：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(xN*)进行描述；方案二可以用函数y=10 x(xN*)进行描述；方案三可以用函数y=0.4 2x 1(xN*)进行描述.三种方案所得回报的增长情况x/天方案一y/元增加量/元1 40 2 40 0 3 40 0 4 40 0 5 40 0 6 40 0 7 40 0 8 40 0 9 40 0 将实际问题转化为数学问题，利用图象、表格及恰当的推理，应用不同函数的增长快慢解决实际应用问题.高中数学3.2.2 几类不同增长的函数模型教案新人教 A 版必修 1 2/6 例 2 某公司为了实现1000万元利润的目标

4、，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的 25%.现有三个奖励模型：y=10 40 0 30 40 0 x/天方案二y/元增加量/元1 10 2 20 10 3 30 10 4 40 10 5 50 10 6 60 10 7 70 10 8 80 10 9 90 10 10 100 10 30 300 10 x/天方案三y/元增加量/元1 0.4 2 0.8 0.4 3 1.6 0.8 4 3.2 1.6 5 6.4 3.2 6 12.8

5、 6.4 7 25.6 12.8 8 51.2 25.6 9 102.4 51.2 10 204.8 102.4 30 214748364.8 107374182.4 再作三个函数的图象在第 13 天，方案一最多；在第 4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第58 天，方案二最多；第9 天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第 30天，所得回报已超过2亿元.例2 解答：作出函数y=5，高中数学3.2.2 几类不同增长的函数模型教案新人教 A 版必修 1 3/6 0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？y=0.25x，y=log7x+1，y=1

6、.002x的图象.观察图象发现，在区间 10，1000上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1 的图象始终在y=5 的下方，这说明只有按模型y=log7x+1 进行奖励时才符合公司的要求.首先计算哪个模型的奖金总数不超过 5 万.对于模型y=0.25x，它在区间 10，1000 上递增，而且当x=20 时，y=5，因此，当x20 时，y5，所以该模型不符合要求；对于模型y=log7x+1，它在区间10，1000 上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1 4.55 5，所以它符合奖金总数不超过5 万元的要求.再计算按模型

7、y=log7x+1 奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x10，1000 时，是否有7log10.25xyxx成立.令f(x)=log7x+1 0.25x，x10,1000 巩固练习1四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表x0 5 10 15 y1 5 130 505 1130 y25 94.478 1785.2 33733 y35 30 55 80 y45 2.3107 1.4295 1.1407 x20 25 30 y1 2005 3130 4505 y26.37 1051.2 1072.28 108 1解：y22解：设第1 轮病毒发作时有a1=10 台被感染，第2 轮

8、，第3轮依次有a2台，a3台被感染，依题意有a5=10204=160.答：在第 5 轮病毒发作时会有160万台被感染.动手尝试提升解题能力高中数学3.2.2 几类不同增长的函数模型教案新人教 A 版必修 1 4/6 y3105 130 155 y41.0461 1.0151 1.005 关于x呈指数型函数变化的变量是 .2某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20 台未感染病毒的计算机.现有10 台计算机被第 1 轮病毒感染，问被第 5轮 病 毒 感 染 的 计 算 机 有 多 少台？归纳总结2中学数学建模的主

9、要步骤（1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.（2）简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.（3）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.（4）求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.（5）检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，

10、如果不满意，要考虑重新建模.（6）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运师生合作反思归纳总结完善生：通过独立思考和必要的交流，分析归纳例1、例 2 的解题过程，简述建模的主要步骤.师：点评、总理学生的回答，然后完善归纳步骤.师生合作：结合上一课时总结函数增长快慢在实际应用问题中的应用体会.培养整理知识的学习 品 质.通过知识整合培养数学应用能力.高中数学3.2.2 几类不同增长的函数模型教案新人教 A 版必修 1 5/6 用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤.课后练习3.2 第二课时习案学生独立完成

11、强化基础提高能力备选例题例 1 有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800 元，在甲、乙两家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780 元，买二台单价为760 元，依次类推，每多买一台单价均减少20 元，但每台最低不低于440 元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.【解析】设单位购买x台影碟机，在甲商场购买，每台的单价为800 20 x，则总费用280020,(118)440,(18)xxxyxx在乙商场购买，费用y=600 x.（1）当 0 x10 时，(800 x 20 x2)600 x购买影碟机低于10 台，在乙商场购买.

12、（2）当x=10时，(800 x 20 x2)=600 x购买 10 台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样.（3）当 10 x18 时，(800 x 20 x2)600 x购买影碟机多于10 台且不多于18 台，在甲商场购买.（4）当x 18 时，600 x440 x购买影碟机多于18 台，在甲商场购买.答：若购买小于10 台，去乙商场购买；若购买 10 台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10 台，在甲商场购买.【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题.例 2 某皮鞋厂今年1 月份开始投产，并且前4 个月的产量分别为1 万双，1.2 万

13、双，1.3 万双，1.37 万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，就月份x，产量为y给出四种函数模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，y=a21x+b，y=abx+c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.由题意知A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）.（1）设模拟函数

14、为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有2.123.13baba，解得11.0ba所以得y=0.1x+1.因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000 双，这是不太可能的.高中数学3.2.2 几类不同增长的函数模型教案新人教 A 版必修 1 6/6（2）设y=ax2+bx+c，将A、B、C三点代入，有3.1392.1241cbacbacba，解得7.035.005.0cba，所以y=0.05x2+0.35x+0.7.因此由此法计算4 月份产量为1.3 万双，比实际产量少700 双，而且，由二次函数性质可知，产量自4 月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x=3

15、.5），不合实际.（3）设y=xa+b，将A，B两点的坐标代入，有2.121bbba，解得52.048.0ba，所以y=52.08.4x.因此把x=3 和 4 代入，分别得到y=1.35 和 1.48，与实际产量差距较大.（4）设y=abx+c，将A，B，C三点的坐标代入，得3.12.1132cabcabcab，解得4.15.08.0cba，所以y=0.8(0.5)x+1.4.因此把x=4 代入得y=0.8 0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性.经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此，选用y=0.8 0.54+1.4 模拟比较接近客观实际.【评析】本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与实际结合起来.