高中数学圆锥曲线新人教版.pdf

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1、高中数学圆锥曲线新人教版1/13 专题复习圆锥曲线知识能力回眸：曲线性质椭圆双曲线抛物线轨迹条件点集：M MF1+MF2=2a,F 1F22a 点 集：M MF1-MF2=2a,F2F2 2a.点集 M MF=点 M到直线l 的距离.图形标准方程22ax+22by=1(a b0)22ax-22by=1(a 0,b 0)2y=2px(p 0)顶点A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)O(0,0)轴对称轴 x=0,y=0 长轴长：2a 短轴长：2b 对称轴 x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴 y=0 焦点F1(-c,0),

2、F2(c,0)焦点在长轴上F1(-c,0),F2(c,0)焦点在实轴上F(2P，0)焦点对称轴上焦距F1F2=2c，22a-bcF1F2=2c,22a+bc准线x=ca2x=ca2x=-2p离心率e=ac,0 e1 e=ac,e 1 e=1 焦半径10PFaex20PFaex若P点在右支上，10PFexa20PFexa若P点在左支上，10PFexa20PFexa02pPFx方法技巧回眸：（1）解决直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般方法是，消元得到一元二次方程或一元一次方程，必须讨论，如果二次项系数不为0，利用寻找两根之和与两根之积得关系；当然有时借助图形的几何性质更为简洁，另外对于直线过x轴上

3、的点，通常设直线方程为，可避免对直线的斜率是否存在的讨论。(2)凡涉及弦的中点及中点弦问题，利用法，涉及垂直关系往往也利用，设而不求，简化运算。（3）在解析几何中求最值，关键是建立，再利用代数方法求出相应的最值，注意要考虑的取值范围。另外解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。解答规范题：（本题满分13 分）高中数学圆锥曲线新人教版2/13 已知21F,F是椭圆22221(0)xyabab的两个焦点，O为坐标原点，点)22,1(P在椭圆上，且0211FFPF，O是以21FF为直径的圆，直线l：mkxy与O相切，并且与椭圆交于不同的两点.,BA（）求椭圆的标准方

4、程；（）当OBOA，且满足4332时，求弦长|AB|的取值范围解:（）依题意，可知211FFPF，1c-1分又点)22,1(P在 椭圆上221112ab且222abc-2分解得1,1,2222cba-4分椭圆的方程为.yx1222-5分（）直线l：mkxy与221Oxy：相切，则112km，即122km，-6分由mkxyyx1222，得022421222mkmxxk，-7分直线l与椭圆交于不同的两点.,BA设.y,xB,y,xA22110002kk,，,kmxx,kkmxx2221221212221422222121212122221+()1212mkky ykxmkxmk x xkm xxm

5、kk，222121211kkyyxxOBOA-9分432113222kk1212k，22121214ABkxxx x42422241kkkk-11分设4221(1)2ukkk，高中数学圆锥曲线新人教版3/13 则243u，2113|2=2,24122(41)4uABuuu-|ABu在243,上单调递增64|23AB-13分题型 1：圆锥曲线的定义与标准方程：例 1：已知双曲线与椭圆1493622yx有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为73，求双曲线的方程。解：由题意知，双曲线的焦点在y轴上，则可设双曲线的方程为)0,0(12222babxay双曲线与椭圆1493622yx有公共

6、的焦点132c又椭圆的离心率为713，故双曲线的离心率为313，91322ac92a42b双曲线的方程为14922xy例 2：已知椭圆C：)0(12222babyax的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F，且向量AB与OM共线()求椭圆的离心率e；()若4x是椭圆 C的一条准线，求椭圆C的方程.解：()abycxcFMM21,),0,(则，acbkOM2ABOMabkAB与,是共线向量，abacb2，b=c,故22e()由accb22，又2,22224422baacacax，所以椭圆 C的方程为14822yx高中数学圆锥曲线新人教版4/13 题型 2

7、：与圆锥曲线弦长、距离有关的问题：例 3：在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线112422yx上一点 M的横坐标是3，求点 M到此双曲线的右焦点的距离。解：（方法一）3x代人221412xy得15y，不妨设(3,15)M，右焦点(4,0)F，1 154MF（方法二）由双曲线第二定义知，M到右焦点F的距离与M到右准线的距离比为离心率2cea，231MF，4MF例 4：已知椭圆22221xyab（ab0）的离心率e=32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.（）求椭圆的方程；（）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点 A的坐标为（-a，0）.若4 2AB5|=，求直线l的倾斜角；解：

8、（）由 e=32ca，得2234ac.再由222cab，解得 a=2b.由题意可知12242ab，即 ab=2.解方程组2,2,abab得 a=2，b=1.所以椭圆的方程为2214xy.()由（）可知点A的坐标是（-2,0）.设点 B的坐标为11(,)xy，直线 l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为y=k（x+2）.于是 A、B两点的坐标满足方程组22(2),1.4yk xxy消去 y 并整理，得2222(14)16(164)0kxk xk.由212164214kxk，得2122814kxk.从而12414kyk.所以22222222844 1|214141 4kkkABkkk.由4 2|5

9、AB，得224 14 2145kk.整理得42329230kk，即22(1)(3223)0kk，解得 k=1.所以直线l 的倾斜角为4或34.高中数学圆锥曲线新人教版5/13 题型 3：中点弦问题及“点差法”的应用：例 5：设椭圆221axby与直线10 xy相交于A、B两点，点C是AB的中点，若2 2AB，OC的斜率为22，求椭圆的方程。例 6：已知椭圆2222:1(0)xyCabab的长轴长为4。（）若以原点为圆心、短轴短半轴为半径的圆与直线2yx相切，求椭圆C的焦点坐标；（）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为PMk、PNk，当1

10、4PMPNkk时，求椭圆的方程。解：()由211b得2b又2224,2,4,2aaab2222cab，两个坐标分别为(2,0),(2,0)()由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M、N关于坐标原点对称，不妨设0000(,),(,),(,)M xyNxyP x y，由于M、N、P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有2200221xyab，22221xyab。两式相减得：22202220yybxxa由题意可知直线PM、PN的斜率存在，则222000222000PMPNyyyyyybkkxxxxxxa，则2214ba，由2a得1b，故所求的椭圆方程为2214xy。题型 4：圆锥曲线中的最值、取值范围问题

11、：例 7：已知抛物线22yx的焦点是F，点 P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)()求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标；()求点P到点1(,1)2B的距离与点P到直线12x的距离之和的最小值。解：62，A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：12x的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，当 PA l时，|PA|+d 最小，最小值是72即|PA|+|PF|的最小值为72此时 P点纵坐标为2，代入22yx，得2x，点 P坐标为(2,2)(2)由于直线12x即为抛物线的准线，故|PB|+d=|PB|+|PF|BF|，高中数学圆锥曲线新人教版6/13 当且仅当B、P、F

12、 共线时取等号而2211()1222BF|PB|+d 的最小值为2例 8：已知平面直角坐标系中的点(0,1)A及圆B：22(1)16xy，又圆B上任意一点Q，将坐标平面折叠，使A与Q点重合，此时折痕与直线BQ相交于P点。（）求动点P的轨迹方程；（）求动点P作圆C：22102xyy的两条切线PM、PN，切点为M、N，求MN的最小值。解：（）由已知P在AQ的垂直平分线上，所以42PAPBOQ所以，P点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4 的椭圆，又2AB所以，P点的轨迹方程是22143yx.()由圆:C2211()416xy的图形可得12PC MNPM MC所以222112114161216PCMN

13、PCPC故当PC最小时，MN最小.设P点坐标为(,)x y222222131145()3()(1)444416PCxyyyy因为，2,2y所以，1y时，2min4516PC从而，min5515MN所以，MN的最小值为5515.例 9：已知抛物线22(0)ypx p,过动点(,0)M a且斜率为 1 的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|2p(1)求a的取值范围(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值解 (1)设直线l的方程为y=xa,代入抛物线方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=0|AB|=224)(42apa2p4ap+2p2p2,即 4a

14、pp2，又p0,a4p(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点C(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,BNAoyx高中数学圆锥曲线新人教版7/13 则有x=222,2212121axxyyypaxx=p线段AB的垂直平分线的方程为yp=(xap),从而N点坐标为(a+2p,0），点N到AB的距离为papa22|2|从而SNAB=2222224)(4221papppapa当a有最大值4p时，S有最大值为2 p2例 10：如图，已知圆222222:220,1(0)xyGxyxyabab经过椭圆的右焦点 F 及上顶点 B，过椭圆外一点5(,0)()

15、6mma 倾斜角为的直线 1 交椭圆于C，D两点（1）求椭圆的方程（2）若右焦点F 在以线段 CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围。解：(1)22220 xyxy过点F、B，(2,0)F，(0,2)B，故椭圆的方程为22162xy 6 分(2)直线l：3()(6)3yxm m221 623()3xyyxm消y得2222(6)0 xmxm由02 32 3m，又6m62 3m设11(,)C xy、22(,)D xy，则12xxm，21262mx x，21212121()333mmy yx xxx，11(2,)FCxy，22(2,)FDxy12122(3)(2)(2)3m mFC FDxxy yF

16、在圆E的内部，003FCFDm，又62 3m63m.高中数学圆锥曲线新人教版8/13 题型 5：圆锥曲线中的定值、定点问题：例 11：已知椭圆22221(0)xyabab的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)FF，点P在椭圆上，且满足12122,30PFPFPF F，直线ykxm与圆2265xy相切，与椭圆相交于,A B两点（I）求椭圆的方程；（II）证明：AOB为定值（O为坐标原点）20解：（I）由题意，1212122,30,2PFPFPF FF F，解三角形得124 323PFPF，由椭圆定义得1222 3aPFPF，从而3,a又1c，则2b，所以椭圆的方程为22132xy（6 分）（

17、II）设交点1122(,),(,)A xyB xy，联立22132ykxmxy消去得222(23)6360kxkmxm由韦达定理得2121222636,2323kmmxxx xkk（9 分）又直线ykxm与圆2265xy相切，则有222656651mmkk（11 分）从而22121212121212()()(1)()x xy yx xkxm kxmkx xkm xxm222222222366(566)(1)0232323mkmmmkkkmmkkk（12 分）所以0OA OB，即90AOB为定值（13 分）例 12：已知抛物线C:)0(22ppxy上横坐标为4 的点到焦点的距离为5.（）求抛物线

18、 C的方程；（）设直线bkxy与抛物线C交于两点),(11yxA，),(22yxB，且ayy|21（0a，且a为常数）.过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线于点D，连结AD、BD得到ABD.（1）求证：)1(1622kbka；（2）求证：ABD的面积为定值.解（1）依题意得：452p，解得2p.所以抛物线方程为24yx.（2）由方程组2,4,ykxbyx消去x得：2440kyyb.（）依题意可知：0k.7 分 13 分?高中数学圆锥曲线新人教版9/13 由已知得124yyk，124by yk.由12yya，得221212()4yyy ya，即221616bakk，整理得221616kba

19、 k.所以2216(1)a kkb.（）由（）知AB中点222(,)bkMkk，所以点212(,)Dkk，依题意知12211122ABDbkSDMyyak.又因为方程（）中判别式16160kb，得10kb.所以2112ABDbkSak，由（）可知22116a kbk，所以23121632ABDaaSa.又a为常数，故ABDS的面积为定值.例 13：已知抛物线2:Cyax，直线1:4lyax过抛物线C的焦点。（1）求a的值；（2）在直线0 xya上任取一点P作抛物线C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，求证：弦AB所在的直线恒过定点。解：（）抛物线2:Cyax的焦点为1(0,)4a，将1(0

20、,)4a代人直线1:4lyax得1a（）设11(,)A x y、22(,)B xy，则211221AByykxxxx，直线AB的方程为1121()()yyxxxx，即1212()yxxxx x.112xxyx，在点A处的切线PA的方程为1112()yyxxx，即2112yx xx；同理可得在点B处的切线PB的方程为2222yx xx由得1212(,)2xxPx x.又点P在直线10 xy上，有1212102xxx x，即121212xxx x，将代人得直线AB的方程为121()()12yxxx，直线AB过定点1(,1)2.高中数学圆锥曲线新人教版10/13 圆锥曲线中的轨迹问题：例 14：已知

21、点(4,0)C和直线:1l x，作PQl，垂足为Q，且(2)(2)0PCPQPCPQ。（）求点P的轨迹方程；（）过点C的直线m与点P轨迹交于两点112212(,),(,),0Mx yN xyx x，点(1,0)B，若BMN的面积为36 5，求直线m的方程。解：（）由已知(2)(2)0PCPQPCPQ，得2240PCPQ。2PCPQ，设(,)P x y，代人上式得22(4)21xyx，平方整理得221412xy（）由题意可知直线m的斜率不为零，且(4,0)C恰为双曲线的右焦点，设直线m的方程为4xty，由2241412xtyxy得22(31)24360tyty。若2310t，则直线m与双曲线只有

22、一个交点，这与120 x x矛盾，故2310t由韦达定理可得12212224313631tyyty yt212121212(4)(4)4()16x xtytyt y yt yy222362441603131ttttt2234031tt213t22122(24)4 36(31)132231ABCttSBC yyt2218 131tt2218 131tt36 5，21945t或214t213t214t12t。直线m的方程为280 xy或280 xy。与平面向量、数列及导数等知识相结合的综合问题：例 15：已知圆01634),(16)()4(:22yxNmmyxC直线过椭圆)0(1:2222baby

23、axE的右焦点，且交圆C所得的弦长为532，点)1,3(A在椭圆 E上。（）求m的值及椭圆E的方程；（）设Q为椭圆 E上的一个动点，求AQAC的取值范围。解：（）因为直线43160 xy交圆 C所得的弦长为325所以圆心(4,)Cm到直线43160 xy的距离等于221612455高中数学圆锥曲线新人教版11/13 即|44316|1255m所以4,4mm或（舍去）3 分又因为直线43160 xy过椭圆 E的右焦点，所以右焦点坐标为2(4,0),F则左焦点 F1的坐标为（-4，0），因为椭圆E过 A点，所以12|2AFAFa|所以2225 2262,3 2,18,2aaab故椭圆 E的方程为：

24、221.182xy 6 分（）法一：(1,3),(,)ACQ x y设则(3,1)AQxy设3xyn，则由2211823xyxyn消x得22186180ynyn 9 分由于直线3xyn与椭圆 E有公共点，所以22(6)418(18)0nn所以66n，故36ACAQxy的取值范围为-12，0 13 分法二：(1,3)AC，设(,)Q x y则(3,1),(3)3(1)36AQxyACAQxyxy22(3)2|3|xyxy，而221182xy，即22(3)18,18618.xyxy 9 分222(3)(3)6186xyxyxyxy的取值范围是0，36 即3xy的取值范围是-6，6 36AC AQx

25、y的取值范围是-12，0 13 分例 16：已知双曲线C的方程为22221(0,0)yxabab，离心率52e，顶点到渐近线的距离为2 55。（）求双曲线C的方程；（）如图，P是双曲线 C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若1,23APPB，求AOB面积的取值范围。解答一（）由题意知，双曲线C 的顶点（0，a）到渐近线2 505axby的距离为，222 52 555ababcab即高中数学圆锥曲线新人教版12/13 由2222 5525125abcacbaccab得21x2y双曲线 C的方程为4（）由（）知双曲线C的两条渐近线方程为2yx设(,2),2),0,

26、0A mmBnnmn（由,),APPBPm-n 2(m+n)得 点的坐标为（1+1+将 P点的坐标代入222(1)1,44yx化简得 mn=142,tan()2,tan,sin 2225AOB设又5,5OAm OBn111sin 22()122AOBSOA OBmn记111()()1,223S则211()(1)2S由()01S得又 S（1）=2，189(),(2)334SS121833AOBAOB当时，的面积取得最小值，当时，的面积取得最大值AOB8面积的取值范围是 2,3解答二（）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线2 505axby的距离为，222 52 555ababcab即高中数学圆锥曲线新人教版13/13 由2222 5525125abcacbaccab得21x2y双曲线 C的方程为4（）设直线AB的方程为,ykxm由题意知2,0km由2,),222ykxmmmAyxkk得 点的坐标为（由2,),222ykxmmmByxkk得 点的坐标为（121,(),()122122mmAPPBPkkkk得 点的坐标为（将 P点的坐标代入21x2y4得2224(1)4mk设 Q为直线 AB与 y 轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）AOBS=AOQBOQSS22111()222114()2222 411()12ABABOQxOQxm xxmmmmkkk以下同解答一