高中数学对数与对数函数-及经典题试题新人教A版必修1.pdf

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1、高中数学对数与对数函数-及经典题试题新人教 A 版必修 1 1/13 对数与对数函数一、目标认知学习目标1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数；2.掌握对数函数的概念、图象和性质.重点对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用；理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.难点正确使用对数的运算性质；底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用.二、知识要点梳理知识点一、对数及其运算我们在学习过程遇到2x=4 的问题时，可凭经验得到x=2 的解，而一旦出现2x=3 时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算对数运算

2、.(一)对数概念:1.如果，那么数 b 叫做以 a 为底 N的对数，记作:logaN=b.其中 a 叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数恒等式：3.对数具有下列性质：(1)0 和负数没有对数，即；(2)1 的对数为0，即；(3)底的对数等于1，即.(二)常用对数与自然对数通常将以10 为底的对数叫做常用对数，.以e 为底的对数叫做自然对数，.(三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.高中数学对数与对数函数-及经典题试题新人教 A 版必修 1 2/13 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化

3、.(四)积、商、幂的对数已知(1)；推广：(2)；(3).(五)换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0，a 1，M0 的前提下有:(1)令 logaM=b，则有 ab=M，(ab)n=Mn，即，即，即:.(2)，令 logaM=b，则有 ab=M，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.知识点二、对数函数1.函数 y=logax(a 0，a1)叫做对数函数.2.在同一坐标系内，当a1 时，随 a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当 0a1 时，对数函数的图象随 a的增大而

4、远离x 轴.(见图 1)高中数学对数与对数函数-及经典题试题新人教 A 版必修 1 3/13(1)对数函数y=logax(a 0，a1)的定义域为(0，+)，值域为R(2)对数函数y=logax(a 0，a1)的图像过点(1，0)(3)当 a1 时，三、规律方法指导容易产生的错误(1)对数式 logaN=b中各字母的取值范围(a0 且 a1，N 0，b R)容易记错.(2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然 log2

5、(-3)(-5)是存在的，但 log2(-3)与 log2(-5)是不存在的.二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误 的：loga(M N)=logaM logaN，loga(M N)=logaM logaN，loga.(3)解决对数函数y=logax(a 0 且 a1)的单调性问题时，忽视对底数a 的讨论.(4)关于对数式logaN的符号问题，既受 a 的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以 1 为分界点，当a，N 同侧时，logaN0；当 a，N异侧时，logaN0.经典例题

6、透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1.将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；高中数学对数与对数函数-及经典题试题新人教 A 版必修 1 4/13(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式 1】求下列各式中x 的值：(1)(2)(3)lg100=x(4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10 x=100=102，于是 x=2；(4)由.类型二、利

7、用对数恒等式化简求值2求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为真数.举一反三：【变式 1】求的值(a，b，cR+，且不等于1，N0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3.已知 lg2=a，lg3=b，用 a、b 表示下列各式.(1)lg9(2)lg64(3)lg6(4)lg12(5)lg5(6)lg15 解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3

8、+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三：高中数学对数与对数函数-及经典题试题新人教 A 版必修 1 5/13【变式 1】求值(1)(2)lg2 lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式 2】已知 3a=5b=c，求 c 的值.解：由 3a=c

9、得：同理可得.【变式 3】设 a、b、c 为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式 4】已知：a2+b2=7ab，a 0，b0.求证：.证明：a2+b2=7ab，a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab，lg(a+b)2=lg(9ab)，a 0，b0，2lg(a+b)=lg9+lga+lgb 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb 即.类型四、换底公式的运用4.(1)已知 logxy=a，用 a 表示；(2)已知 logax=m，logbx=n，logcx=p，求 logabcx.高中数学对数与对数函数-及经典题试题新人教 A 版必修 1 6/13 解：(1)原式=

10、；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：am=x，bn=x，cp=x，；方法二：.举一反三：【变式 1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1)；(2)；(3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0 不为 1 任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10 为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5.求值(1)log89log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)高中数学对数与对数函数-及经典题试题新人教 A 版必修 1 7/13 解：(1)原式=

11、.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)举一反三：【变式 1】求值：解：另解：设=m(m0).，lg2=lgm，2=m，即.【变式 2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6.求下列函数的定义域：(1)；(2).思路点拨：由对数函数的定义知：x2 0，4-x 0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为

12、 x20，即 x0，所以函数；高中数学对数与对数函数-及经典题试题新人教 A 版必修 1 8/13(2)因为 4-x 0，即 x4，所以函数.举一反三：【变式 1】求下列函数的定义域.(1)y=(2)y=ln(ax-k 2x)(a 0 且 a 1，kR).解：(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为 ax-k 2x0，所以()xk.1当 k0 时，定义域为R；2当 k0 时，(i)若 a2，则函数定义域为(k，+)；(ii)若 0a 2，且 a1，则函数定义域为(-，k)；(iii)若 a=2，则当 0k 1 时，函数定义域为R；当 k1 时，此时不能构成函数，否则定义

13、域为.【变式 2】函数 y=f(2x)的定义域为-1，1，求 y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1 x1，可得 y=f(x)的定义域为，2，再由log2x2 得 y=f(log2x)的定义域为，4.类型七、函数图象问题7作出下列函数的图象：(1)y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2)y=lg|x|；(3)y=-1+lgx.解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).高中数学对数与对数函数-及经典题试题新人教 A 版必修 1 9/13 类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：比较大小；解不等式；判断单调性；求单调区间；求值域和最值.要求同学们：一

14、是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8.比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)loga5.1，loga5.9(a 0 且 a1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法 1：画出对数函数y=log2x 的图象，横坐标为3.4 的点在横坐标为8.5 的点的下方，所以，log23.4 log28.5；解法 2：由函数y=log2x 在 R+上是单调增函数，且3.4 8.5，所以 log23.4 log28.5；解法 3：直接用计算器计算得：log

15、23.4 1.8，log28.5 3.1，所以 log23.4 log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x 在 R+上是单调减函数，且1.8 2.7，所以 log0.31.8 log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小.解法 1：当 a 1时，y=logax 在(0，+)上是增函数，且5.1 5.9，所以，loga5.1 loga5.9 当 0a1 时，y=logax 在(0，+)上是减函数，且5.1 5.9，所以，loga5.1 loga5.9 解法 2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令 b1=loga5.1，则，令

16、 b2=loga5.9，则当 a1 时，y=ax在 R上是增函数，且5.1 5.9 所以，b1b2，即当 0a1 时，y=ax在 R上是减函数，且5.1 5.9 所以，b1b2，即.举一反三：【变式 1】若 logm3.5 logn3.5(m，n0，且 m 1，n 1)，试比较m，n 的大小.解：(1)当 m 1，n 1 时，3.5 1，由对数函数性质：当底数和真数都大于1 时，对同一真数，底数大的对数值小，n m 1.(2)当 m 1，0n1 时，logm3.5 0，logn3.5 0，0 n1 m也是符合题意的解.(3)当 0m 1，0n1 时，3.5 1，由对数函数性质，此时底数大的对数

17、值小，故 0m n1.综上所述，m，n 的大小关系有三种：1 m n 或 0n1m或 0m n1.9.证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.高中数学对数与对数函数-及经典题试题新人教 A 版必修 1 10/13 证明：设，且 x1 x2则又 y=log2x 在上是增函数即 f(x1)f(x2)函数 f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式 1】已知 f(logax)=(a 0 且 a1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设 t=logax(x R+，t R).当 a1 时，t=logax 为

18、增函数，若t1t2，则 0 x1x2，f(t1)-f(t2)=，0 x1x2，a 1，f(t1)f(t2)，f(t)在 R上为增函数，当 0a1 时，同理可得f(t)在 R上为增函数.不论 a1 或 0a1，f(x)在 R上总是增函数.10求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设 t=-x2+2x+3，则 t=-(x-1)2+4.y=t 为减函数，且0t 4，y=-2，即函数的值域为-2，+.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+30，即-1 x3.t=-x2+2x+3 在-1，1）上递增而在1，3)上递减，而y=t 为减函数.函数 y=(-x2+2x+3)的

19、减区间为(-1，1)，增区间为 1，3.类型九、函数的奇偶性11.判断下列函数的奇偶性.高中数学对数与对数函数-及经典题试题新人教 A 版必修 1 11/13(1)(2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即 f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍

20、有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型十、对数函数性质的综合应用12已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数 f(x)的定义域为R，求实数 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)的值域为R，求实数 a 的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x 的不等式ax2+2x+10 的解集为 R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为 R与 ax2+2x+1 恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求 u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种

21、情况，如图，我们会发现，使u 能取遍一切正数的条件是.解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x 的不等式ax2+2x+1 0的解集为R，当 a=0 时，此不等式变为2x+10，其解集不是R；高中数学对数与对数函数-及经典题试题新人教 A 版必修 1 12/13 当 a0 时，有a 1.a 的取值范围为a1.(2)f(x)的值域为R，即 u=ax2+2x+1 能取遍一切正数 a=0 或0a1，a 的取值范围为0a 1.13已知函数h(x)=2x(x R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a 1)，记 ABC的面积为S.(1)求

22、 S=f(a)的表达式；(2)求函数 f(a)的值域；(3)判断函数 S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若 S2，求 a 的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x 0).并且 A、B、C 三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4)，C(a+8，log2(a+8)(a1)，如图.A，C中点 D的纵坐标为log2a+log2(a+8)S=|BD|42=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把 S=f(a)变形得：S=f(a)=2 2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)=2log2=2log2(1+).

23、由于 a 1 时，a2+8a 9，11+，又函数 y=log2x 在(0，+)上是增函数，0 2log2(1+)2log2，即 0S2log2.(3)S=f(a)在定义域(1，+)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使 1a1a2+，则：(1+)-(1+)=16()=16，由 a11，a2 1，且 a2a1，a1+a2+80，+8a20，+8a10，a1-a20，1 1+1+，再由函数y=log2x 在(0，+)上是增函数，于是可得f(a1)f(a2)S=f(a)在(1，+)上是减函数.高中数学对数与对数函数-及经典题试题新人教 A 版必修 1 13/13(4)由 S2，即得，解之可得：1a4-4.