高中数学第六章《三角函数》数学竞赛讲义苏教版.pdf

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1、高中数学第六章三角函数数学竞赛讲义苏教版-1-/9 第六章三角函数一、基础知识定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义 2 角度制，把一周角360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|=rL,其中 r 是圆的半径。定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为

2、r,则正弦函数 sin=ry,余弦函数cos=rx,正切函数tan=xy，余切函数cot=yx，正割函数sec=xr,余割函数csc=.yr定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan=cot1,sin=csc1，cos=sec1；商数关系：tan=sincoscot,cossin；乘积关系：tancos=sin,cot sin=cos；平方关系：sin2+cos2=1,tan2+1=sec2,cot2+1=csc2.定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin,cos(+)=-cos,tan(+)=tan,cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan

3、(-)=-tan,cot(-)=cot;（）sin(-)=sin,cos(-)=-cos,tan=(-)=-tan,cot(-)=-cot;（）sin2=cos,cos2=sin,tan2=cot（奇变偶不变，符号看象限）。定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间22,22kk上为增函数，在区间232,22kk上为减函数，最小正周期为2.奇偶数.有界性：当且仅当x=2kx+2时，y取最大值1，当且仅当x=3k-2时,y取最小值-1。对称性：直线x=k+2均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心，值域为-1，1。这里kZ.定理 4 余弦函数的性质，根

4、据图象可得y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k,2k+上单调递减，在区间2k-,2k 上单调递增。最小正周期为2。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=k 均为其对称轴，点0,2k均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2k 时，y取最大值1；当且仅当x=2k-时，y取最小值-1。值域为-1，1。这里kZ.定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xk+2)在开区间(k-2,k+2)上为增函数,最小正周期为，值域为（-，+），点（k，0），（k+2，0）均为其对称中心。定理 6 两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin,sin()=sin高中数学第六章三角函数

5、数学竞赛讲义苏教版-2-/9 coscossin;tan()=.)tantan1()tan(tan定理 7 和差化积与积化和差公式:sin+sin=2sin2cos2,sin-sin=2sin2cos2,cos+cos=2cos2cos2,cos-cos=-2sin2sin2,sincos=21sin(+)+sin(-),cossin=21sin(+)-sin(-),coscos=21cos(+)+cos(-),sinsin=-21cos(+)-cos(-).定理 8 倍角公式:sin2=2sincos,cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2,tan2=.)tan1(ta

6、n22定理 9 半角公式:sin2=2)cos1(,cos2=2)cos1(,tan2=)cos1()cos1(=.sin)cos1()cos1(sin定理 10 万能公式:2tan12tan2sin2,2tan12tan1cos22,.2tan12tan2tan2定理 11 辅助角公式：如果a,b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a,b)的一个角为，则sin=22bab,cos=22baa，对任意的角.asin+bcos=)(22basin(+).定理 12 正弦定理：在任意ABC中有RCcBbAa2sinsinsin，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边，R为ABC

7、外接圆半径。定理 13 余弦定理：在任意ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。定理 14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到y=sinx(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(,0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得高中数学第六章

8、三角函数数学竞赛讲义苏教版-3-/9 到y=Asinx的图象。定义 4 函数y=sinx2,2x的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x-1,1)，函数y=cosx(x0,)的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x-1,1).函数y=tanx2,2x的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x-,+).y=cosx(x0,)的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x-,+).定理 15 三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程 sinx=a的解集是 x|x=n+(-1)narcsina,nZ。方程cosx=a的解集是 x|x=2kxarccosa,kZ.如果aR，方

9、程tanx=a的解集是x|x=k+arctana,kZ。恒等式：arcsina+arccosa=2；arctana+arccota=2.定理 16 若2,0 x，则 sinxx0，求证：.2sincossincosxx高中数学第六章三角函数数学竞赛讲义苏教版-4-/9 注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。3最小正周期的确定。例 4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。4三角最值问题。例 5 已知函数y=sinx+x2cos1，求函数的最大值与最小值。例 6 设 022n.注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x2,0时，

10、有tanxxsinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。6图象变换：y=sinx(xR)与y=Asin(x+)(A,0).由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的高中数学第六章三角函数数学竞赛讲义苏教版-6-/9 图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。例 10 例 10 已知f(x)=sin(x+)(0,0 )是 R上的偶函数，其图象关于点0,

11、43M对称，且在区间2,0上是单调函数，求和的值。7三角公式的应用。例 11 已知sin(-)=135，sin(+)=-135，且-,2，+2,23，求sin2,cos2 的值。例 12 已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且BCAcos2cos1cos1，试求2cosCA的值。例 13 求证：tan20+4cos70.高中数学第六章三角函数数学竞赛讲义苏教版-7-/9 三、基础训练题1已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3,-2cos3)，则x的弧度数为 _。2适合xxxxcos1cos1cos1cos1-2cscx的角的集合为_。3给出下列命题：（1）若，则sinsin；（2）

12、若sinsin,则；（3）若sin0，则 为第一或第二象限角；（4）若 为第一或第二象限角，则sin0.上述四个命题中，正确的命题有_个。4已知sinx+cosx=51(x(0,)，则cotx=_。5简谐振动x1=Asin3t和x2=Bsin6t叠加后得到的合振动是x=_。6已知 3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，则1，2，3，4分别是第 _象限角。7满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有 _个。8已知223x，则xcos21212121=_。940cos170sin)10tan31(50sin40c

13、os=_。10cot15cos25cot35cot85=_。11已知,(0,),tan212,sin(+)=135，求cos 的值。12已知函数f(x)=xxmcossin2在区间2,0上单调递减，试求实数m的取值范围。四、高考水平训练题1已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c0)，当扇形面积最大时，a=_.2.函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是_.3.函数xxycos2sin2的值域为 _.4.方程xxlg62sin2=0 的实根个数为 _.5.若sina+cosa=tana,a2,0，则3_a（填大小关系）.6.(1+tan1)(1+tan2

14、)(1+tan44)(1+tan45)=_.7.若 0yx0,k=-1，求f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。五、联赛一试水平训练题（一）1若x,yR，则z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范围是_.2已知圆x2+y2=k2至少盖住函数f(x)=kxsin3的一个最大值点与一个最小值点，则实数k的取值范围是_.3f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为 _.4方程sinx+3cosx+a=0 在（0，2）内有相异两实根，则+=_.5函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单

15、调递增区间是_.6设sina0cosa,且sin3acos3a，则3a的取值范围是_.7方程tan5x+tan3x=0 在0，中有 _个解.8若x,yR,则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为 _.9若 00)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数g(x)=12a的图象所围成的封闭图形的面积是_.2若3,125x，则y=tan32x-tan6x+cos6x的最大值是_.3在ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c,若 9a2+9b2-19c2=0，则BACcotcotcot=_.4设f(x)=x2-x,=arcsin31,=arctan45,=arccos31,=arccot4

16、5,将f(),f(),f(),f()从小到大排列为_.高中数学第六章三角函数数学竞赛讲义苏教版-9-/9 5logsin 1cos1=a,logsin 1tan1=b,logcos1sin1=c,logcos1tan1=d。将a,b,c,d从小到大排列为_.6在锐角ABC中，cosA=cossin,cosB=cossin,cosC=cossin，则tantantan=_.7已知矩形的两边长分别为tan2和 1+cos(00 恒成立，则的取值范围是_.10已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，则cos2x+cos2y+cos2z=_.11已知a1,a2,an是n个实

17、常数，考虑关于x的函数：f(x)=cos(a1+x)+21cos(a2+x)+121ncos(an+x)。求证：若实数x1,x2满足f(x1)=f(x2)=0，则存在整数m，使得x2-x1=m.12在ABC中，已知3coscoscossinsinsinCBACBA，求证：此三角形中有一个内角为3。13求证：对任意自然数n,均有|sin1|+|sin2|+|sin(3n-1)|+|sin3n|58n.六、联赛二试水平训练题1已知x0,y0,且x+y0（wR）.2.已知a为锐角，n2,nN+，求证：1cos11sin1aann2n-212n+1.3.设x1,x2,xn,y1,y2,yn,满足x1=y1=3,xn+1=xn+21nx,yn+1=211nnyy，求证：2xnyn3(n 2).4已知，为锐角，且cos2+cos2+cos2=1，求证；43+m，求证：对一切x2,0都有2|sinnx-cosnx|3|sinnx-cosnx|.7在ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。8求的有的实数a,使cosa,cos2a,cos4a,cos2na,中的每一项均为负数。9已知i2,0，tan1tan2tann=22n,n N+,若对任意一组满足上述条件的1，2，n都有cos1+cos2+cosn，求 的最小值。