高中数学第2章数列等比数列同步精品学案新人教A必修5.pdf

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1、用心爱心专心1 2.4等比数列对点讲练一、等比数列通项公式的应用例 1已知 an为等比数列，a3 2，a2a4203，求 an 的通项公式分析可根据条件先求出基本量a1及公比 q，再写出通项公式解设等比数列 an 的公比为q，则 q0.a2a3q2q，a4a3q2q，2q2q203.解得 q113，q23.当 q13时，a118，an1813n12 33n.当 q3 时，a129，an293n123n3.综上，当 q13时，an233n；当 q3 时，an 23n3.总结等比数列的通项公式ana1qn 1中有四个量a1，q，n，an.已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”?变式训练1已知

2、等比数列an，若 a1a2 a37，a1a2a38，求 an.解由等比数列的定义知a2 a1q，a3a1q2代入已知得，a1a1qa1q27，a1 a1q a1q2 8，?a1(1qq2)7，a31q38，?a1(1 qq2)7，a1q2，将 a12q代入 得 2q25q 20，解得 q2 或 q12.由得a11，q2；或a14，q12.当 a11，q2 时，an2n1；当a14，q12时，an23n.二、等比数列性质的应用例 2已知 an为等比数列(1)若 an0，a2a42a3a5a4a625，求 a3a5；(2)若 an0，a5a69，求 log3a1log3a2 log3a10的值分析

3、在等比数列 an中，若 mnp q，则 aman apaq，利用这一性质可以化繁为简解(1)a2a42a3a5a4a6a232a3a5a25(a3a5)225，an0，a3a50，a3a55.(2)根据等比数列的性质a5a6 a1a10a2a9a3a8a4a79.a1a2a9a10(a5a6)595.log3a1log3a2log3a10log3(a1a2 a9a10)log3955log3910.?变式训练2设an 是由正数组成的等比数列，公比q2，且 a1 a2 a3 a30215，求a2 a5 a8 a29的值解a1 a2 a3 a30(a1a30)(a2a29)(a15 a16)(a1

4、a30)15215，a1a302.a2 a5 a8 a29(a2a29)(a5a26)(a8a23)(a11a20)(a14a17)(a2a29)5(a1a30)52532.三、等比数列的判断与证明用心爱心专心2 例 3已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，Sn13(an1)(nN*)(1)求 a1，a2；(2)求证：数列 an是等比数列(1)解由 S113(a11)，得 a113(a1 1)，a112.又 S213(a21)，即 a1a213(a21)，得 a214.(2)证明当 n 2 时，anSnSn 113(an1)13(an1 1)，得anan112，又a2a112，所以 an是首

5、项为12，公比为12的等比数列总结利用等比数列的定义an 1an q(q0)是判定一个数列是否是等比数列的基本方法?变式训练3(2009 浙江文，20)设 Sn为数列 an前 n 项和，Snkn2 n，nN*，其中k 是常数(1)求 a1及 an；(2)若对于任意的mN*，am，a2m，a4m成等比数列，求k 的值解(1)由 Snkn2n，得 a1 S1k1，anSnSn1 2knk1(n2)a1k1 也满足上式，所以an2kn k1，nN*.(2)由 am，a2m，a4m成等比数列，得(4mkk1)2(2kmk1)(8kmk1)，将上式化简，得2km(k1)0，因为 mN*，所以 m0，故

6、k0 或 k1.课堂小结：1等比数列的判断或证明(1)利用定义：an1anq(与 n无关的常数)(2)利用等比中项：a2n1anan2(n N*)2如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在 an0，an01，an02，使 a2n01an0 an02，也可以用反证法3等比数列 an 的通项公式ana1qn1共涉及 an，a1，q，n 四个量，已知其中三个量可求得第四个课时作业一、选择题1如果 1，a，b，c，9 成等比数列，那么()Ab3，ac9 Bb 3，ac9 Cb3，ac 9 Db 3，ac 9 答案B 解析b2(1)(9)9 且 b 与首项 1 同号，b

7、 3，且 a，c 必同号2在等比数列an中，an0，且 a21a1，a49a3，则 a4 a5的值为()A16 B27 C36 D81 答案B 用心爱心专心3 解析由已知 a1a21，a3a49，q29.q3(q 3 舍)，a4a5(a3a4)q27.3在由正数组成的等比数列 an中，若a4a5a63，log3a1 log3a2log3a8log3a9的值为()A.43B.34C2 D343答案A 解析a4a6a25，a4a5a6 a35 3，得 a5313.a1a9a2a8a25，log3a1log3a2log3a8 log3a9 log3(a1a2a8a9)log3a45log334343

8、.4一个数分别加上20,50,100 后得到的三数成等比数列，其公比为()A.53B.43C.32D.12答案A 解析设这个数为x，则(50 x)2(20 x)(100 x)，解得 x25，这三个数为45,75,125，公比 q 为754553.5若正项等比数列 an的公比 q1，且 a3，a5，a6成等差数列，则a3a5a4a6等于()A.512B.512C.12D不确定答案A 解析a3a6 2a5，a1q2 a1q5 2a1q4，q3 2q2 1 0，(q 1)(q2 q 1)0(q1)，q2q10，q512(q1521)，则(aq2)2(aq)2a2，q2512.较小锐角记为，则 sin

9、 1q2512.三、解答题9等比数列的前三项和为168，a2a542，求 a5，a7的等比中项用心爱心专心4 解由题意可列关系式：a1a1q a1q2168a1q(1q)(1qq2)42 得：q(1 q)4216814，q12，a11681121221684796.又a6a1q5961253，a5，a7的等比中项为3.10设 an、bn是公比不相等的两个等比数列，Cnanbn，证明数列 Cn不是等比数列证明设 an、bn的公比分别为p、q，p0，q0，pq，Cnanbn.要证 Cn不是等比数列，只需证C22C1 C3.事实上，C22(a1p b1q)2a21p2b21q22a1b1pq，C1C3(a1 b1)(a1p2b1q2)a21p2b21q2a1b1(p2q2)，由于 C1C3 C22a1b1(pq)20.因此 C22C1 C3，故 Cn不是等比数列