高中数学新人教版选修2-2课时作业第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二含解析.pdf

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1、1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)明目标、知重点1理解函数的和、差、积、商的求导法则2理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数导数的运算法则：设两个函数分别为f(x)和g(x)(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)f xg x fx g xf x gxg x2(g(x)0)情境导学 前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题探究点一导数的运算法

2、则思考 1 我们已经会求f(x)5 和g(x)1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则思考 2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？答(1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在 两 个 函 数 积 与 商 的 导 数 运 算 中，不 要 出 现f(x)g(x)f(x)g(x)以 及f xg x fxgx的 错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“”，而商的导数公式中分子上是“”；(5)要注意区分参数与变量，例如ag(x

3、)ag(x)，运用公式时要注意a 0.例 1 求下列函数的导数：(1)yx32x3；(2)y(x21)(x1)；(3)y3xlg x.解(1)y(x3)(2x)3 3x22.(2)y(x21)(x1)x3x2x1 y(x3)(x2)x1 3x22x1.(3)函数y3xlg x是函数f(x)3x与函数g(x)lg x的差由导数公式表分别得出f(x)3xln 3，g(x)1xln 10，利用函数差的求导法则可得(3xlg x)f(x)g(x)3xln 3 1xln 10.反思与感悟本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适

4、当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数跟踪训练 1 求下列函数的导数：(1)yx5x7x9x；(2)f(x)22sin2x2.解(1)yx5x7x9xx2x3x4，y(x2)(x3)(x4)2x3x24x3.(2)f(x)22sin2x21cos x，f(x)sin x.例 2 求下列函数的导数：(1)f(x)xtan x；(2)f(x)x1x1.解(1)f(x)(xtan x)(xsin xcos x)xsin xcos xxsin xcos xcos2xsin xxcos xcos xxsin2xcos2xsin xcos xxcos2x.(2)f(x)x1x1x12x112x1，f

5、(x)(1 2x1)(2x1)2x1 2x1 x122x12.跟踪训练 2 求f(x)sin x1sin x的导数解f(x)sin x1sin x，f(x)cos x1sin xsin xcos x1sin x2cos x1sin x2.探究点二导数的应用例 2(1)曲线yxex2x 1 在点(0,1)处的切线方程为_答案3xy10 解析y exxex2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为ke0023，所以所求切线方程为y13x，即 3xy10.(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310 x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为 _答案(2,15

6、)解析设P(x0，y0)(x00，曲线yf(x)在点P(0，f(0)处的切线方程为y1，确定b、c的值解由题意得，f(x)x2axb，f(0)b0.由切点P(0，f(0)既在曲线f(x)13x3a2x2bxc上又在切线y1 上知f0 c，y|x01，即c1.综上所述，b0，c1.1设y 2exsin x，则y等于()A 2excos xB 2exsin xC2exsin xD 2ex(sin xcos x)答案D 解析y 2(exsin xexcos x)2ex(sin xcos x)2函数ycos x1x的导数是()A.sin xxsin x1x2B.xsin xsin xcos x1x2C

7、.cos xsin xxsin x1x2D.cos xsin xxsin x1x答案C 解析ycos x1xsin x1xcos x 11x2cos xsin xxsin x1x2.3 已知f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值是()A.193 B.163 C.133 D.103答案D 解析f(x)3ax26x，f(1)3a64，a103.4已知f(x)13x33xf(0)，则f(1)_.答案1 解析f(x)x23f(0)，令x0，则f(0)0，f(1)123f(0)1.5已知抛物线yax2bxc过点(1,1)，且在点(2，1)处与直线yx3 相切，求a、b、c的值解因为yax2bxc

8、过点(1,1)，所以abc1.因为y 2axb，所以曲线在点(2，1)处的切线的斜率为4ab1.又曲线过点(2，1)，所以 4a2bc 1.由abc1，4ab1，4a2bc 1，解得a3，b 11，c9.所以a、b、c的值分别为3、11、9.呈重点、现规律 求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础过关1下列结论不正确的是()A若y3，则y

9、0 B若f(x)3x1，则f(1)3 C若yxx，则y12x1 D若ysin xcos x，则y cos xsin x答案D 解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解D项，ysin xcos x，y(sin x)(cos x)cos xsin x.2已知直线yxb是曲线yf(x)ln x的切线，则b的值等于()A 1 B 0 C 1 D e 答案A 解析设切点的坐标为(x0，y0)，yf(x)ln x在xx0处的导数为f(x0)1x0，所以1x01，所以x01，y00.又因为(x0，y0)在直线yxb上，故 01b，所以b 1.3设曲线yx1x1在点(3,2)处的切线与直线axy10 垂直，

10、则a等于()A2 B.12 C 12 D 2 答案D 解析yx1x112x1，y2x12.y|x312.a2，即a 2.4已知曲线yx3在点P处的切线斜率为k，则当k3 时的P点坐标为()A(2，8)B(1，1)或(1,1)C(2,8)D(12，18)答案B 解析y 3x2，k3，3x23，x1，则P点坐标为(1，1)或(1,1)5设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A4 B 14 C 2 D 12答案A 解析依题意得f(x)g(x)2x，f(1)g(1)24.6若f(x)(2xa)2，且f(2

11、)20，则a_.答案1 解析f(x)4x24axa2，f(x)8x4a，f(2)164a20，a1.7若某物体做s(1 t)2的直线运动，则其在t1.2 s时的瞬时速度为 _答案0.4 m/s 解析st22t1，s 2t2，vs(1.2)21.2 20.4(m/s)二、能力提升8当函数yx2a2x(a0)在xx0处的导数为0 时，那么x0()AaBaCaDa2答案B 解析yx2a2x2xxx2a2x2x2a2x2，由x20a20 得x0a.9 若函数f(x)13x3f(1)x2x5，则f(1)_.答案6 解析f(x)13x3f(1)x2x5，f(x)x2 2f(1)x1，将x 1 代入上式得f

12、(1)12f(1)1，f(1)2，再令x1，得f(1)6.10求曲线ycos x在点A6，32处的切线方程为_答案x2y360 解析y(cos x)sin x，y|x6 sin612，在点A处的切线方程为y3212x6，即x2y360.11求过点(2,0)且与曲线yx3相切的直线方程解点(2,0)不在曲线yx3上，可令切点坐标为(x0，x30)由题意，所求直线方程的斜率kx300 x02y|xx03x20，即x30 x023x20，解得x00 或x03.当x00 时，得切点坐标是(0,0)，斜率k0，则所求直线方程是y0；当x03 时，得切点坐标是(3,27)，斜率k27，则所求直线方程是y2

13、727(x3)，即 27xy540.综上，所求的直线方程为y0 或 27xy540.12 已知曲线f(x)x33x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程解设切点为(x0，y0)，则由导数定义得切线的斜率kf(x0)3x203，切线方程为y(3x203)x16，又切点(x0，y0)在切线上，y03(x201)x016，即x303x03(x201)x016，解得x0 2，切线方程为9xy160.三、探究与拓展13设函数f(x)axbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0

14、和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值(1)解由 7x4y120 得y74x3.当x2 时，y12，f(2)12，又f(x)abx2，f(2)74，由，得2ab212，ab474.解之得a1b3.故f(x)x3x.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y 13x2知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(1 3x20)(xx0)，即y(x03x0)(1 3x20)(xx0)令x0 得y6x0，从而得切线与直线x0 的交点坐标为(0，6x0)令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为12|6x0|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.