高中数学必做100题选修1-2.pdf

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1、089.考点：会画散点图能利用公式求线性回归方程某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下的对应数据：（1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）据此估计广告费用为9 万元时，销售收入y的值参 考 公 式：回 归 直 线 的 方 程abxy?，其 中1122211()(),()nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybaybxxxxnx.解：（1）作出散点图如下图所示：（2）1(24568)55x，1(3040605070)505y，2145ix，213500iy，1380iixy.2225138055506.5145555iiix yxybxx，50 6.5 5

2、 17.5aybx因此回归直线方程为6.517.5yx；（3）9x时，预报y的值为96.517.576y（万元）090.考点：会根据数据绘制2 2列连表能利用公式判断两个量之间的相关性（独立性检验）甲乙两个班级均为40 人，进行一门考试后，按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为 36 人，乙班及格人数为24 人.（1）根据以上数据建立一个2 2的列联表；（2）试判断是否成绩与班级是否有关？参考公式：22()()()()()n adbcKab cd ac bd；nabcdP(K2k)0.500.400.250.150.10k0.4550.7081.3232.0722.706P(K2k

3、)0.050.0250.0100.0050.001k3.845.0246.6357.87910.83解：（1）22 列联表如下：不及格及格总计甲班4()a36()b40乙班16()c24()d40总计206080（2）222()()()()()80(4241636)9.640402060n adbcKab cdacbd由2(7.879)0.005P K，所以有 99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”.091.考点：合情推理及证明已 知1()33xfx，分 别 求(0)(1)ff，(1)(2)ff，(2)(3)ff，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.解：由1()33xf x，得01113

4、(0)(1)33333ff；12113(1)(2)33333ff；23113(2)(3)33333ff.归纳猜想一般性结论为3()(1)3fxfx.证明如下：1111133()(1)1133333113 3333 3133333 31333 313(13 3)xxxxxxxxxxxxfxf x092.考点：合情推理及证明（1）若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积1()2Sr abc，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面 积 分 别 为1234,SSSS，则 此 四 面 体 的 体 积V=.（2）在平面几何里有勾股定理：“设ABC的两边,AB AC互相

5、垂直，则222ABACBC.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出的正确结论 是：“设 三 棱 锥ABCD的 三 侧 面,ABC ACD ADB两两垂直，则.”解：（1）设四面体内切球的球心为O，则球心 O 到四个面1234,SSSS的距离都是R，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以1234,SSSS为底面的四个三棱锥体积的和.所以，12341()3VR SSSS.（2）线 的 关 系 类 比 到 面 的 关 系，猜 测：2222BC DABCAC DAD BSSSS.证明如下：如图作AECD连BE，则BECD.22222222222221

6、41()41()4BCDACDABCACDADBSCDBECDABAEACADABSSSS093.考点：综合法、分析法、反证法的步骤和格式试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知01a，则1491aa.解：【分析法】：14911 39(1)aaaaa201139(1)(31)0aaaaa【反证法】：假设1491aa，通分得139(1)aaa.01a，139(1)aaa，整理得2(31)0a，这与平方数不小于0 矛盾.假设不成立，则1491aa.【综合法】：由2(31)0a，变形得 139(1)aaa.01a，139(1)aaa，即1491aa.094考点：证明方法的合理利用

7、已知,()2x ykkZ，sinsinx是，cos的等差中项，siny 是sin,cos的等比中项.求证：（1）1cos2cos22xy；（2）22222(1tan)1tan1tan1tanxyxy.证明：（1）sin与cos的等差中项是sinx，等比中项是siny，sincos2sinx，2sincossiny，2 2，可得222(sincos)2 sincos4 sin2 sinxy，即224 sin2sin1xy.1cos21cos242122xy，即 22cos2(1cos2)1xy.故证得1cos2cos22xy.（2）要证22221tan1tan1tan2(1tan)xyxy，只需

8、证22222222sinsin11coscossinsin12(1)coscosyxyxxyxy，即证22222222cossincossincossin2(cossin)xxyyxxyy，即证22221cossin(cossin)2xxyy，只需证1cos2cos22xy.由（1）的结论，1cos2cos22xy显然成立.所以，22222(1tan)1tan1tan1tanxyxy.095.考点：复数的运算复数的共轭（1）已知1510zi，234zi，12111zzz，求 z.（2）已知(1 2)4 3i zi，求 z及zz.解：（1）11151012510(510)(510)25iizii

9、i，211343425izi12114225izz，故2525(42)5542202izii（2）431052125iizii2342,25ziiziiz096.考点：复数的几何意义（对应复平面上的点）已 知 z 是 复 数，z+2i、2zi均 为 实 数，且 复 数2()za i在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.解：根据题意，设复数z=c+di,则 z+2i=c+(d+2)i为实数，即20,2dd解得,解得所以2zci.又222(4)225zcicciii为实数，即40,4,425cczi解得所以.而222()(42)16(2)8(2)zaiiaiaa i对应的点在第一象限

10、，22616(2)028(2)0aaaa,解得 2a 6所以实数 a 的取值范围是2a 6097.考点：利用空间向量解决立体几何问题（涉及空间直角坐标系的建立、空间点坐标的表示、空间向量数量积的运算、平面向量定理、空间向量垂直的判定）如图，PD 垂直正方形ABCD 所在平面，AB2，E是 PB 的中点，cosDP，AE）33（1）建立适当的空间坐标系，写出点E 的坐标；（2）在平面PAD 内求一点F，使 EF平面 PCB解：（1）以 DA、DC、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）.设 P（0，0，2m），则 E（1，

11、1，m）.AE（-1，1，m），D P（0，0，2m），cosDP，222331 12mAEmm，解得1m.点 E 坐标是（1，1，1）.（2）F平面 PAD，可设 F（x，0，z）EF（x-1，-1，z-1）.EF平面 PCB，EFCB(1x，-1，1)z(2，0，0)0.1xEFPC，(1x，-1，1)(z0，2，-2)00z.点 F 的坐标是（1，0，0），即点 F 是 AD 的中点另解：由平面向量定理，设DFa DPbDA，即(2,0,2),(21,1,21)F baEFba042024200EFBCbEFPCBaEFPC面012ab，即1,0,0F098.考点：求概率求随机变量的分布

12、列和期望某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率（3）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E解：由图可知，参加活动1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为10、50 和 40（1）该合唱团学生参加活动的人均次数为1231020304050参加人数活动次数1 102 503402302.3100100（2）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概

13、率为0109504940 3941100 9999P（3）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加 1 次活动，另一人参加2 次活动”为事件A，“这两人中一人参加2 次活动，另一人参加3 次活动”为事件B，“这两人中一人参加1 次活动，另一人参加 3 次活动”为事件C易知(1)()()PP AP B111110505040241001005099C CC CCC；(2)()PP C1110402100899C CC；的分布列：012P41995099899的数学期望：4150820129999993E099.考点：数学归纳法（步骤）数列na满足2,nnSnanN（nS为前 n 项和）（1）

14、计算1234,aaaa，并由此猜想na；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论解：（1）1112asa，11a,212222saaa，232a,3123323saaaa，374a,434,43424ssaasa，4158a,猜想*112()2nnanN.（2）证明：当n=1 时，11 1121112a，猜想结论成立.假设当(1)nk k时结论成立，即1122kka.当n=k+1时11kkkass=21(1)2kkkaka，122kkaa，112kkaa=(1)11111222kk.所以当 n=k+1 时，猜想结论成立.由（1）和（2）可知，对一切*()n nN结论成立.100.考点：绝对值不等式（涉及分段函数的图像）设函数()214f xxx（1）解不等式()2fx；（2）求函数()yf x 的最小值解：（1）令214yxx，则1521334254xxyxxxx，作出函数214yxx的图象，它与直线2y的交点为(7 2)，和523，所以2142xx的解集为5(7)3，（2）由函数214yxx的图像可知，当12x时，()yf x 取得最小值9212O2y4xy