高中数学《椭圆与直线的位置关系》教案.pdf

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1、课题：椭圆与直线的位置关系【教学目的】：使学生理解并掌握椭圆与直线的相互位置关系及两者方程之间的相互联系能利用两者方程之间的相互关系解决有关椭圆与直线位置关系的问题.培养学生的运用知识能力、相互转化能力、理解能力及分析问题解决问题能力.【教学重点和难点】：重点：利用判别式、弦中点坐标、弦长公式及弦所在直线斜率等的相互关系解题。重点是掌握利用弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系解题.难点：有选择地运用适当技巧解题.【教学过程】：一、引入新课1.在圆的单元中，我们研究了圆与直线的位置关系，它们的关系是：相离、相切、相交，在分析这类问题时，其关键（或者说是解题的切入点）是分析直线与圆的公共点的个

2、数及圆心到直线的距离.通过这两点可以较清楚地分析出直线与圆的相互关系，并由此作为切入点进行解题.圆与直线的具体关系如下：直线与圆的位置关系交点个数判别式=b2-4ac 圆心到直线的距离d 与圆半径 R的关系相离0=b2-4ac0 RCBAdBAyx2200|从这里可以大致了解到此类问题大致有如下几方面的题型：.求直线方程（如切线方程、弦所在直线方程等）或圆方程；.把圆（一条封闭曲线）看成一个“区域”，利用线性规划的思想求最值；.求解与弦有关的一些问题（如弦长、弦中垂线等）。这里有一个 弦长公式：|P1P2|11|1212121221222yykxxkyyxx2.椭圆与圆有很多相似之处.当椭圆长

3、短轴的长相等（离心率为 0）时，椭圆即为圆.因此，在椭圆的这部分内容中也有此类问题，事实上，对于其他二次曲线（包括以后学习的双曲线和抛物线）均有此类问题，而且这类问题很有共性.当然，由于椭圆（包括以后学习的双曲线和抛物线等）有其本身的特殊性，在解题时也应注意研究分析各自的不同之处（比如相切问题，过切点的半径与圆的切线垂直，而椭圆中就没有这个性质，即切点与椭圆中心的连线不一定垂直于切线）.3.直线与二次曲线相互位置关系的问题，是解析几何的一个重点内容，也是高考的重点考查的内容之一，纵观历年高考，这部分的内容必考无疑！因此请大家务必引起充分重视.下面略举几例来说明此类问题的分析与解答.二、讲解新课

4、例 1：在椭圆 x2+4y2=16中，求通过点 M（2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程.解一：（显然，只须求出这条直线的斜率即可）如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于 x 轴，则点 M（2，1）显然不可能是这条弦的中点。故可设弦所在的直线方程为y=k(x-2)+1，代入椭圆方程得 x2+4k(x-2)+12=16 即得(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0 直线与椭圆有两个交点,故=16(k2+4k+3)0 又4418162221kkxxk两式联立解得 k=21，直线方程为 x+2y-4=0.评：.本例在解题过程中，充分考虑了椭圆与直线相交有两个交点这

5、一事实，由此得出=16(k2+4k+3)0，又利用了中点坐标，列出了方程，从而使问题得到解决.这种方法是常用的方法，大家务必掌握.-2-4 2 4 x y M(2,1)0 不可能但是，这种解法显得较繁（特别是方程组 16(k2+4k+3)0 44181622kkk显得较繁）。下面看解法二：解二：设弦的两个端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2)则 x1+x2=4,y1+y2=2 在 P(x1,y1),Q(x2,y2)椭圆上,故有 x12+4y12=16 x22+4y22=16 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0 点 M（2，1）是 PQ的中点,故 x

6、1x2，两边同除(x1-x2)得0422212121xxyyyyxx即 4+8k=0 k=21弦所在的直线方程为y-1=21(x-2)即 x+2y-4=0.评：.本解法设了两个端点的坐标，而我们并没有真的求出它们，而是通过适当变形，得到了0422212121xxyyyyxx，从而揭示了弦所在的直线斜率k 与弦中点坐标(x0,y0)之间在椭圆标准方程的前提下的关系：mx0+ny0k=0.显得很简便.但在解题过程中应注意考虑x1x2的条件！如果有这种可能性，可采用讨论的方法，先给以解决.如果不可能有这种情况，则应先说明.例 2：已知：椭圆1322yx的一个顶点 A的坐标是（0，1），试问是否存在一

7、条斜率为 k(k 0)的直线，使与椭圆有两个交点M、N，且满足|AM|AN|.分析提问：“是否存在一条这样的直线”只须判断直线的什么就可以了？为什么要规定“k0”这样的条件？“|AM|AN|”可以说明什么？于是得到如下解法：解：设满足条件的直线存在.设 M、N两点的坐标分别是M(x1,y1),N(x2,y2)，MN 的中点为 Q(x0,y0)，则显然可知 x1x2代入椭圆方程得0300kyx故yxk003，又由 AQ NM得kxy1100（k0）故130000yxyx210ykx230Q(x0,y0)在椭圆内部，故有33212322k即 k21 解得 1k1(k 0)存在满足这样条件的直线.评

8、：.本例的解法除了运用前面提到的弦中点坐标与弦所在直线的斜率的关系0300kyx外，还运用了“点Q(x0,y0)在椭圆内部”，并由此建立了不等式，解决了问题.本例也可以用判别式来解题，但会麻烦些，大家可在课外作为练习做一下.三、练习：1、已 1.设椭圆 mx2+ny2=1的一条弦 AB的斜率 为 k,弦 AB的中点为 M,O为坐标原点,设 MO 的斜率为 k0,求证:kk0=A Q N M x y 0 Q 略证:设弦 AB 的中点 M 坐标为 (x0,y0).则有 mx0+nky0=0，故k=而k0=所以 kk0=yxnm00 xy00yxnm00 xy00nmnm2、已知：A、B是椭圆122

9、22byax（ab0）上两点，线段 AB的中垂线交 x 轴于点 P(x0,0)，求证：aabaxba22022.略证：设 A(x1,y1),B(x2,y2)，AB的中点为 Q(m,n)则有b2x12+a2y12=a2b2b2x22+a2y22=a2b2故有 b2m+a2nkAB=0 nmabkAB22又kxABmn100故有nmnmxab022于是 b2nm=a2nm-a2nx0 mnmnmnabaabax2222220而 m(-a,a)故得aabaxba22022.四、小结：从上面练习及例题中可以看出，在解决此类曲线与直线关系的问题时，要充分利用判别式、弦的中点、弦所在直线的斜率等，结合给定

10、的其他条件，列出有关方程组给以解决.特别应注意的是类似于:0422212121xxyyyyxx的式子的应用。这个式子事实上是揭示了弦的中点(x0,y0)与弦所在直线的斜率k 之间的相互关系，即mx0+ny0k=0（其中 m.n 是椭圆在标准方程下的的二次项系数）.五、作业：1.直线 y=x+k 与曲线yx212恰有一个交点.则 k 的取值范围是 .Q B A x y 0 P 2.已知椭圆1422yx,直线4:kxyl交椭圆于 A、B两点，O为坐标原点，若2kkOBOA,求直线l 的方程.3.已知椭圆 C的两个焦点 F1 (0,22).F2(0,22).离心率36e.求椭圆 C的方程；是否存在直线 l 使之与圆 x2+y2=1相切，且切点是 l 与椭圆 C相交弦的中点？若存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由.