高中数学专题12导数及其应用.pdf

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1、2012 届高中数学专题 12 导数及其应用-1-/11 2012 届专题十二数学考试范围：导数及其应用一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为ttts833123，那么速度为零的时刻是（）A 1 秒B1 秒末和 2 秒末C 4 秒末D 2 秒末和4秒末2（理）已知直线kxy是曲线xyln的切线,则直线kxy经过点（）A)1,(eB)1,(eC)1,1(eD)1,1(e（文）曲线2xxy在点)1,1(处切线的一个方向向量为（）A)2,1(B)2,1(C)1,2(D)1,2(3

2、设函数5221)(23xxxxf，若对于任意2,1x，mxf)(恒成立，则实数m的取值范围为（）A),7(B),8(C),7D),9(4曲线2)(3xxxf上点0P处的切线垂直于直线xy41，则点P0的坐标是（）A)0,1(B)2,0(C)4,1(或)0,1(D)4,1(5已知函数)(xfy，（xR）上任一点)(,(00 xfx处的切线斜率200)1)(3(xxk，则该函数的单调递增区间为（）A,3B3,C 1,D,16 对于R上可导的任意函数)(xf，若满足0)()1(xfx，则必有（）A)1(2)2()0(fff B)1(2)2()0(fffC)1(2)2()0(fffD)1(2)2()0

3、(fff7已知函数1)(mxexfx的图像为曲线C，若曲线C不存在与直线xy21垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A 21mB21mC 2mD2m8若函数1ln21)(2xxxf在其定义域内的一个子区间)1,1(kk内不是单调函数，则实数k的取值范围（）2012 届高中数学专题 12 导数及其应用-2-/11 A,1B23,1C2,1D2,239已知对xR，函数)(xf都满足)2()2(xfxf，且当)2,2(x时，xxxfsin2)(，则（）A)3()2()1(fffB)1()3()2(fffC)1()2()3(fffD)2()1()3(fff10（理）已知点P是曲线13xxeey上一动点

4、，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的最小值是（）A 0 B4C 32D43（文）右 图 是 某 一 函 数 在 第 一 象 限 内 的 图 像，则 该 函 数 的 解 析 式 可 能 是（）AxxeeyB xxy1lnC xxylnD xxy1ln二、填空题（本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分.把答案填在题中的横线上）11（理）如图所示，点)1,0(),1,1(),0,1(),0,0(CBAO，则曲线2xy与x轴围成的封闭图形的面积是（文）若 幂 函 数)(xf的 图 象 经 过 点)21,41(A，则 该 函 数 在 点A处 的 切 线 方 程为12如图，函数)(xf的图象是折线段

5、ABC，其中A，B，C的坐标分别为)4,4(),0,2(),4,0(则xfxfx)1()1(lim013(理)曲线xxytan1tan在点)21,4(M处的切线的斜率为（文）函数63)(23xxxf在x处取得极小值2012 届高中数学专题 12 导数及其应用-3-/11 14已知函数)(xf的导函数为)(xf，且xxfxfln)1(2)(，则)1(f=15 (理)直 线xy是 曲 线kxysin的 一 条 切 线，则 符 合 条 件 的 一 个 实 数k值为（文）函数f(x)x33x-a有三个不同的零点，则a的取值范围是三、解答题（本大题共6 小题，共75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

6、算步骤)16（本小题满分12 分）已知函数xmxxxt23)(是奇函数，2)(2nxaxxs是偶函数，设)()()(xsxtxf（1）若1a,令函数)(2)(xfxxg,求函数)(xg在)2,1(上的极值；（2）对）（,31,21xx恒有0)()(2121xxxfxf成立，求实数a的取值范围.17（本小题满分12 分）请你设计一个LED霓虹灯 灯箱。现有一批 LED霓虹灯箱材料 如图所示，ABCD是边长为 60cm的正方形 LED散片，边CD上有一以其中点M为圆心，半径为2cm的半圆形缺损，因此切去阴影部分（含半圆形缺损）所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于空

7、间一点P，正好形成一个正四棱柱形状有盖的LED霓虹灯灯箱，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.（1）用规格长宽高=cmcmcm75145145外包装盒来装你所设计的LED霓虹灯 灯箱，灯箱彼此间隔空隙至多0.5cm，请问包装盒至少能装多少只LED霓虹灯 灯箱（每只灯箱容积V最大时所装灯箱只数最少）?（2）若材料成本2 元/cm2,霓虹灯 灯箱销售时 以霓虹灯 灯箱侧面积S（cm2）为准，售价为2.4 元/cm2.试问每售出一个霓虹灯 灯箱可获最大利润是多少？2012 届高中数学专题 12 导数及其应用-4-/11 18（本小题满分12 分）（理）函数)(

8、)(12baxexxfx，已知2x和1x为)(xfy的零点.（1）求a和b的值；（2）设2332)(xxxg，证明：对），（x恒有0)()(xgxf.（文）已知函数xaxxfln1)(a0,aR)（1）若1a，求函数)(xf的极值和单调区间；（2）若在区间（0，e上至少存在一点0 x，使得0)(0 xf成立，求实数a的取值范围.19（本大题满分12 分）已知函数)(xf是定义在实数集R上的奇函数，当0 x时，xaxxfln)(，其中aR（1）求函数)(xf的解析式；（2）若点P（a,b）在圆422yx上变化时，函数)(xf在区间），（1上极大值)(ag值域；（3）求证：对aR，),1(e，使.

9、)71828.2(1)1()()(eefeff.2012 届高中数学专题 12 导数及其应用-5-/11 20（本小题满分12 分）（理）已知)2332()(2xxexgx，)(xf是)(xg的导数（1）判断函数)(xf在区间1,0上极值点情形及个数.（2）当21x时，若关于x的不等式1)3(25)(2xaxxf恒成立，试求实数a的取值范围.（文）已知函数xxexfx32)(2（1）判断函数)(xf在区间1,0上极值点情形及个数.（2）当1x时，若关于x的不等式axxf)(恒成立，求实数a的取值范围.21（本小题满分15 分）（理）设函数)(xf定义在),0(上，其图像经过点M（1,0），导函

10、数1)(xxf，)()()(xfxfxg（1）如果不等式mg(x)能成立，求实数m的取值范围；（2）如果点),(btN是函数)(xfy图像上一点，证明：当10t，)()(bgtg（3）是否存在00 x，使得xxxgx2ln)(ln0对任意0 x成立？若存在，求出0 x的取值范围；若不存在，请说明理由（文）已知函数：aaxxaxf(3ln)(R).（1）讨论函数)(xf的单调性；2012 届高中数学专题 12 导数及其应用-6-/11（2）若函数)(xfy的图象在点)2(,2(f处的切线的倾斜角为。45，对于任意的2,1t，函数2)()(23mxfxxxg在区间)3,(t上总不是单调函数，求m的

11、取值范围；（3）求证：nnnnn,2(1ln55ln44ln33ln22lnN*)2012 届同心圆梦专题卷数学专题十二答案与解析1【答案】D【解析】862tts令0 s，得2t或 4，故选 D.2（理）【答案】B【解析】,xxy1)(ln,设切点为）（00ln,xx,则切线方程为)(1ln000 xxxxy得1ln100 xxxy由01ln0 x,得ex0,故ek1，此时直线xey1经过点）（1,e.（文）【答案】B【解析】2)2(2xy，所以，在点）（1,1处的切线斜率2)21(221xyk，所以切线的一个方向向量为）（2,1.3【答案】A【解析】mxf)(恒成立,即为)(xf的最大值m恒

12、成立，由23)(2xxxf知，当32,1x及2,1x时)(xf为增函数，当132，x时，)(xf为减函数，知)(xf的最大值为7)2(f，所以m的取值范围为），（7，故选 A.2012 届高中数学专题 12 导数及其应用-7-/11 4【答案】C【解析】2)(3xxxf，13)(2xxf，且曲线在0P点处的切线斜率为4，令413)(2xxf，得1x，4)1(,0)1(ff所以曲线2)(3xxxf在点）（0,1、），（41处的切线与直线xy41垂直故选C5【答案】A【解析】利用200)1)(3(xxk，并且0k，易得到,3x，即函数的单调递增区间.6【答案】C【解析】0)(1xfx）（即0)(1

13、xfx）（，分1x或1x讨论得，当1x时)(xf单调递增，当1x时)(xf单调递减，画数轴，观察得)1(2)2()0(fff7【答案】C【解析】mexfx)(，曲线 C不存在与直线xy21垂直的切线，即曲线C不存在斜率等于2的切线，亦即方程2mex无解，2mex，故02m，因此2m.8【答案】B【解析】因为)(xf定义域为），（0，xxy212，由0)(xf，得21x利用图象可知，根据题意得，011211kkk，解得231k9【答案】D【解析】0cos2)(xxf f（x）在区间2,2上单调递增；又)2()2(xfxf,函数)(xf图像关于2x对称,故)2()1()3(fff,选择 D.10（

14、理）【答案】D【解析】因11413xxxeeey,24)1(42xxxxeeeey，01y即0tan1.又，0，所以角的最小值为43.（文）【答案】D【解析】当0 x时，xxeey，xxeey)1(2xxee)1)(1(xxxeee0，xxeey是增函数，排除A；xxy1lnxxln是减函数，排除B；xxyln，xy11xx1，当10 x时，0y；xxyln单调递增，当1x时，xxyln单调递减，排除C；故选 D11（理）【答案】31【解析】曲线2xy与x轴围成的封闭图形的面积是31)31(103210 xdxxS.（文）【答案】0144yx【解析】设幂函数)(xfx，21)41(，21，)(

15、xf21x，)(xf2121x，)41(f1，点 A 处的切线方程为21)41(xy，即0144yx.12【答案】2【解析】由导数的几何意义知2)1()1(lim0ABxKxfxf2012 届高中数学专题 12 导数及其应用-8-/11 13（理）【答案】21【解析】由xxxxxycossinsintan1tan知22)cos(sin1)cos(sin)sin(cossin)cos(sincosxxxxxxxxxxy，所214cos4sin124）（xy.（文）【答 案】2x【解 析】易 求 得)2(363)(2xxxxxf，知)(xf的 单 调 递增 区 间 为），（，2),0(,)(xf的

16、单调递减区间为)2,0()(xf在x=2 处取得极小值.14【答案】1【解析】xfxf1)1(2)(，令1x得1)1(2)1(ff，1)1(f.15（理）【答案】1【解析】设切点坐标为),(00yx，则0coskxky,故切线方程为)(cos000 xxkxkyy，即0000)cos()cos(xkxkxkxkyy与xy对比知000)cos(xkxky，所以000)cos(sinxkxkkx，00tankxkx，显然00 x是其中一个满足的结果，所以,)0cos(1kkk故1k.（文）【答案】（2,2）【解析】令g（x）3x230，得x1，可求得g（x）的极大值为f（1）2，极小值为g（1）2

17、，如图所示可知 2a2 时，y=a与xxxg3)(3恰有三个不同公共点答案：（2,2）16【解析】方法一因为函数xmxxxt23)(是奇函数，2)(2nxaxxs是偶函数,故0,0 nm.（1）1a时，2)2()()(2323xxxaxxxxf，2)2(2)(2323xxxxxxxxg，所以123)(2xxxg由0)(xg得31x或1x（2 分）函数)(xg在31x处取得极小值2759；在1x处取得极大值1（6分）（2）123)(2axxxf的对称轴为3ax，对),31(,21xx恒有0)()(2121xxxfxf，所以函数)(xf在),31(上恒为单调递增函数.若313a即1a时，要使函数)

18、(xf在),31(上恒为单调递增函数，则有01242a，解得：33a，所以13a；（8 分）若313a即1a时，要使函数)(xf在),31(上恒为单调递增函数，则有01)31(2)31(3)31(2af，解得：21a；（10分）综上，实数a的取值范围为23a（12分）方法二（参数变量分离法最简单）0123)(2axxxf在),31(上恒成立1322xax（1）当x=0 时，aR,1322xax.（2）当x0 时，xxxxa131322，因3213xx，322a，3a（3）当031x时，xxxxa131322，而431131313）（xx，42a，2a.综上所述，实数a的取值范围为 3，2.17

19、【解析】（1）)22300)(30(24)260(22)2(22xxxxxV，所以，)20(212xxV，当200 x时，V递增，当3020 x时，V递减，所以，当x=20 时，V最大.此时正四棱柱形灯箱底面边长x)31,(31)1,31(1)1(，)(xg00)(xg递减2759递增1递减2012 届高中数学专题 12 导数及其应用-9-/11）（cm3.28220，高为）（cm2.14210.用规格为cmcmcm75145145外包装盒来装灯箱，彼此间隔空隙至多 0.5cm，至少装下555=125 个灯箱.答：至少装下125 个灯箱.（2）22228240)260(460 xxxxS（22

20、300 x）,所以x=15cm时侧面积最大，最大值是1800158152402（cm2）此时获利最大，最大利润为7201800)24.2(（元）.答：每个灯箱最大利润720 元.18（理）【解析】（1）)23()2(232)(12121baxxxxebxaxexexfxxx，由2x和1x为)(xfy的零点知.0)1(,0)2(ff（2 分）即,0233,026baba解得.1,31ba（4分）（2）证明：由（1）得231231)(xxexxfx，故)(3231)()(12232312xexxxxxexxgxfxx.令xexhx1)(，则1)(1xexh.（6 分）令0)(xh，得1x)(xh、

21、)(xh随x的变化情况如上表，（8 分）由上表可知，当1x时，)(xh取得极小值，也是最小值；即当)(，x时，)1()(hxh，也就是恒有0)(xh.（10 分）又02x，故对任意)(，x，恒有0)()(xgxf.（12 分）（文）【解析】（1）因为2211)(xaxxaxxf，当1a，21)(xxxf，令0)(xf，得1x，（2分）又)(xf的定义域为)0(，)(xf，)(xf随x的变化情况如右表，所以1x时，)(xf的极小值为1.)(xf的递增区间为)1(，递减区间为）（1,0；（4 分）（2）因为2211)(xaxxaxxf，且0a，令0)(xf，得到ax1，若在区间e,0上存在一点0

22、x，使得0)(0 xf成立，其充要条件是)(xf在区间e,0上的最小值小于0 即可.（6 分）（1）当01ax，即0a时，0)(xf对)0(，x成立，所以，)(xf在区间e,0上单调递减，故)(xf在区间e,0上的最小值为aeeaeef1ln1)(，由01ae，得ea1，即)1,(ea.（8 分）（2）当01ax，即0a时，若ae1，则0)(xf对ex,0成立，)(xf在区间e,0上单调递减，所以，)(xf在区间e,0上的最小值为01ln1)(aeeaeef，显然，)(xf在区间e,0上的最小值小于0 不成立.（10 分）若ea10，即ea1时，则有（右表），所 以)(xf在 区 间e,0上

23、的 最 小 值 为aaaaf1ln)1(，由0ln11ln)1(）（aaaaaaf，x)0,(1），（1)(xh0+)(xh0 x）（1,01)1(，)(xf0)(xf递减极小值递增x），（a10a1),1(ea)(xf0)(xf递减极小值递增2012 届高中数学专题 12 导数及其应用-10-/11 得0ln1a，解得ea，即),(ea.（11 分）综上，由（1）（2）可知：）（,)1,(eea符合题意.（12 分）19【解析】0)0(f，0 x时，)ln()()(xaxxfxf所以0,)ln(0,00,ln)(xxaxxxxaxxf（3 分）（2）当0 x时，xaxxfln)(，由xaxf

24、1)(，显然，0a时函数)(xf在)1(，没有极大值，故0a.由xaxf1)(=0 得ax1.又因为P（a,b）在圆422yx上变化，故22a，所以02a.当ax10，0)(,10)(，xfaxxf.故ax1是函数)(xf的极大值点，极大值)1ln(1)1ln()1()1()(aaaaafag，又因02a，故211a.所以12ln)1ln(1a，因此函数)(xf的极大值)(ag的值域为,12ln.（9 分）（3）证明：111)1(1)1()(eaeaaeefef，1()fa解111)(/eaaf得1e,因为ee 11，()(1)1().1f efefe所以存在（1，e），使得=（12 分）（理

25、）【解析】（1）()43xf xex，（1 分）且0(0)32 0fe，(1)10fe，(0)(1)0ff（2分）令()()43xh xf xex，则()40 xh xe，)(xf在区间1,0上单调递增，)(xf在区间1,0上存在唯一零点，)(xf在区间1,0上存在唯一的极小值点（4 分）（2）由25()(3)12f xxax，得22523(3)12xexxxax，即2112xaxex，12x，2112xexax，（7 分）令2112()xexg xx，则221(1)12()xe xxg xx（8 分）令21()(1)12xxe xx，则()(1)xxx e12x，()0 x，()x在1,)2

26、上单调递增，171()()0282xe，因 此()0g x，故()g x在1,)2上 单 调 递 增，（10分）则1211198()()21242eg xge，a的取值范围是924ae（12 分）（文）【解析】（1）()43xfxex，（1 分）0(0)320fe，(1)10fe，(0)(1)0ff（2分）令()()43xh xfxex，则()40 xh xe，)(xf在区间1,0上单调递增，)(xf在区间1,0上存在唯一零点，)(xf在区间1,0上存在唯一极小值点（4 分）（2）由()f xax，得223xaxexx，1x，223xexxax，（6 分）令223()xexxg xx，则22(

27、1)2()xxexgxx，2012 届高中数学专题 12 导数及其应用-11-/11（8 分）1x，()0g x，()g x在1,)上单调递增，min()(1)1gxge，（10 分）a的取值范围是1ae（12 分）21（理）【解析】（1）1()fxx，()lnf xxc（c为常数），又(1)0f，所以ln10c，即0c，()lnf xx；1()lng xxx，（3 分）21()xg xx，令()0g x，即210 xx，解得1x，当)1,0(x时，()0g x；当(1,)x时，()0g x.所以1x是函数)(xg在),0(上的唯一极小值点，从而是最小值点，所以)(xg的最小值是1)1(g“不

28、等式m g（x）能成立”的等价命题是“ming(x)m”，故1m.（8 分）（2）证明：点N),(bt是函数)(xfy图像上一点，ttfb1)(tttgbgln)1()(.设11()()()()()2lnh tg tg bg tgtttt，则22(1)()th ttt，当)1,0(t时，0)(th，此时1()2lnh tttt是减函数,故()(1)h th，又1t时，0)1(h，即0)(th，12ln0ttt也就是1()()g tgt.(0,1)()().tg tg b故当时，（3）满足条件的0 x不存在证明如下：假设存在00 x使得对任意0 x有02ln()lnxg xxx，但对上述的0 x

29、，取0()1g xxe时，有10ln()xg x，这与左边的不等式矛盾，因此不存在00 x，使02ln()lnxg xxx对任意0 x成立（15 分）（文）【解析】（1）)0()1()(xxxaxf,（1 分）当0a时，)(xf的单调增区间为1,0，减区间为,1；当0a时，)(xf的单调增区间为,1，减区间为1,0；当0a时，)(xf不是单调函数.（4 分）（2）12)2(af得2a，32ln2)(xxxf（5 分）xxmxxg2)22()(23，2)4(3)(2xmxxg)(xg在区间)3,(t上总不是单调函数，且2)0(g0)3(0)(gtg（8 分）由题意知：对于任意的2,1t，0)(tg恒成立，所以，(1)0(2)0(3)0ggg，9337m（10 分）（3）令1a此时3ln)(xxxf，所以2)1(f，由（1）知3ln)(xxxf在),1(上单调递增，当),1(x时)1()(fxf，即01lnxx，1lnxx对一切),1(x成立，（11 分）Nnn,2，则有1ln0nn，nnnn1ln0（13 分）),2(11433221ln44ln33ln22lnNnnnnnnn（15 分）