高考理科数学一轮复习专题训练：解三角形(含详细答案解析).pdf

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1、1 第五单元解三角形（基础篇）第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在中，a、b、c分别为A、B、C的对边，且，则（）ABCD【答案】D【解析】，由正弦定理sinsinabAB，可得sin6sin1203 6sinsin45aBbA故选 D2若ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若222abcab，则C=（）A6B3C23D56【答案】B【解析】角A，B，C的对边分别为a，b，c，故得到2221cos222bacabCabab，故角3C，故答案为B3在ABCV中，若7a，3b，8c，则其面积等于（）A6 3B212C28

2、D 12【答案】A【解析】方法一：由余弦定理，得2222227381cos22737abcCab，所以24 3sin1sin7CA，所以114 3sin736 3227SabC故选 A方法二：海伦-秦九韶公式()()()Sp papbpc，其中92abcp，所以9(97)(93)(98)=63S，故选 A4在ABCV中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若coscossinbCcBaA，则ABCV的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形【答案】B 2【解析】因为coscossinbCcBaA，所以2sincossincossinBCCBA，所以2sinsinBCA，即

3、2sinsinAA，因为0,A，故sin0A，故sin1A，所以2A，ABCV为直角三角形，故选 B5已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则a的取值范围是（）A3,5B(3，5)C3,5D5,3【答案】A【解析】锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则保证2 所对应的角和a所对应的角均为锐角即可，即222214021403540aaaaa，故答案为A6在ABCV中，45B，D是BC边上一点，13AD，4AC，3DC，则 AB 的长为（）A522B3 62C3 3D2 6【答案】D【解析】由题意，在ADC中，由余弦定理可得916131cos2342C，则3sin2C，在ABCV中，由正弦定理可

4、得sinsinABACCB，即43222AB，据此可得2 6AB，故选 D7如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D现测得15BCD，45BDC，302 mCD，并在点C测得塔顶A的仰角为30，则塔高AB 为（）3 A 30 2 mB 20 3 mC60 m D 20 m【答案】D【解析】15BCDQ，45BDC，120CBD?，由正弦定理得30 2sin120sin45BC=鞍，302sin4520 3sin120BC=，3tan3020 3203ABBC状=?，故选 D8在ABC中，1AB，3AC，2BC，D为ABC所在平面内一点，且2BDABACu uu

5、ruuu ru uu r，则ABC的面积为（）A23B3C32D3 32【答案】D【解析】由题可作如图所示的矩形，则易知6BCA，则3BCD，则3sin2BCD，所以113si3n2322232BCDSBCDCBCD，故选 D9若满足sincoscosABCabc，则ABC为（）A等边三角形B有一个内角为30的直角三角形C等腰直角三角形D有一个内角为30的等腰三角形【答案】C【解析】由正弦定理可知sincoscosABCabc，4 又sincoscosABCabc，所以cossinBB，cossinCC，有tantan1BC所以45BC所以180454590A所以ABC为等腰直角三角形故选C1

6、0在ABC中，已知 ax，2b，60B，如果ABC有两组解，则x 的取值范围是（）A4 32,3B4 32,3C4 32,3D432,3【答案】A【解析】由已知可得sinaBba，则sin602xx，解得4 323x故选 A 11在ABC中，3AC，向量 ABuuu r在ACuuu r上的投影的数量为2，3ABCS，则BC（）A5 B 2 7C29D4 2【答案】C【解析】向量ABuu u r在ACuuu r上的投影的数量为2，cos2ABAuuu r3ABCS，13|sin|sin322ABACAABAuu u ruuu ru uu r，|sin2ABAuuu r由得tan1A，A为ABC的

7、内角，34A，22 23sin4ABuuu r在ABC中，由余弦定理得22222322cos(22)322 232942BCABACAB AC，29BC故选 C12锐角中，角，的对边分别为，且满足，函数cos 22sinsin344fxxxx，则的取值范围是（）A1,12B1,12C3,12D13,22【答案】A【解析】，5，三角形为锐角三角形，022302202BBB，,3 2B，cos 22sinsin344fxxxxcos 22sincoscos 2sin243342xxxxxsin26x，所以sin 26fBB，因为223B，65226B，所以112fB故选 A第卷二、填空题：本大题共

8、4 小题，每小题5 分13ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c已知60B，3b，6c，则 A_【答案】75【解析】由正弦定理sinsinbcBC，得sin6 sin 602sin32cBCb，又cb，则CB，45C，18075ABC，本题正确结果7514已知ABC的边a，b，c的对角分别为A，B，C，若ab且sincosACab，则角A的大小为 _【答案】2【解析】由正弦定理得sincos1sinsinACAB，即cossinCB，cos0C，0,2C，6 又ab，AB，0,2B，由cossinCB，得sinsin2CB，2CB，即2BC，2ABC，本题正确结果215 如图，一栋建筑物

9、AB高 30103 m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD 在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15和 60，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为 30，则通信塔CD的高为 _m【答案】60【解析】由题意可知：45CAM，105AMC，由三角形内角和定理可知30ACM在ABMRt中，sinsin15ABABAMBAMAM在ACM中，由正弦定理可知：sin 45sin45sinsinsin30sin15sin30AMCMAMABCMACMCAM，在DCMRt中，sin45sinsin60sin6060sin15sin30CDABCMDCDCMCM16ABC的内角

10、A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2 sin(2)tanbCabB，2 3c=，则ABC面积的最大值为_【答案】3【解析】sin2 sin2tan2sinsin2sinsincosBbCabBBCABB2cossin2sinsin2sinsin2sincos2cossinsinBCABBCBBCBCB1cos223CC，由余弦定理可知222222cos12cababCabab，222ababQ，1223ababab4ab，当且仅当ab时取等号，7 max113sin43222SabC，本题正确结果3三、解答题：本大题共6 个大题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（1

11、0 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3cos5A，4B，2b，（1）求 a的值；（2）求sinC【答案】（1）85a；（2）7 210【解析】（1）因为3cos5A，4B，2b，所以4sin5A，2sin2B，由正弦定理可得24sinsin252abaAB，85a（2）sinsin ()sin()sincoscossinCABABABAB42327 252521018（12 分）在中，分别是角，的对边，且（1）求的值；（2）若，且，求的面积【答案】（1）52；（2）32 57【解析】（1）由正弦定理及，有，所以，又因为，所以，因为，所以2cos3B，又，所以25sin1c

12、os3BB，sin5tancos2BBB（2）在中，由余弦定理可得2224323bacac，又，所以有2967c，所以的面积为2196532 5sinsin2737SacBcB19（12 分）如图：在平面四边形ABCD中，已知BD，且7ADCD，5AB，3BC8（1）求D；（2）求四边形ABCD的面积【答案】（1）3D；（2）16 3【解析】（1）在ACD中，由余弦定理得222222cos77277cosACADCDAD CDDD9898cosD在ABC中，由余弦定理得：222222cos53253cosACABBCAB BCBB3430cosB9898cos3430cosDB，BD，cosc

13、os()cosBDD，9898cos3430cosDD，1cos2D，3D（2）由（1）得233B，11sinsin22ABCDACDABCSSSAD CDDAB BCB1313775316 3222220（12 分）已知向量sin,cosxxa，3cos,cosxxb，fxa b（1）求函数fxa b 的最小正周期；（2）在ABC中，7BC，sin3sinBC，若1fA，求ABC的周长【答案】（1）；（2）47【解析】（1）23113sin coscossin2cos2222fxxxxxx，1sin 262fxx，所以 fx 的最小正周期22T（2）由题意可得1sin 226A，又0A，所以

14、132666A，所以5266A，故3A设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则2222cosabcbcA，所以2227abcbc，9 又sin3sinBC，所以3bc，故222793ccc，解得1c所以3b，ABC的周长为 47 21（12 分）如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，2(62)CD，2 2BC，BFBC，梯形ABCD的高为31，E是CD的中点，分别以C，D为圆心，CE，DE为半径作两条圆弧，交AB于F，G两点（1）求BFC的度数；（2）设图中阴影部分为区域，求区域的面积【答案】（1）45BFC；（2）2(31)S【解析】（1）设梯形ABCD的高为h，因为3162sin42 2h

15、BCDBC，180BCDCBF，所以62sinsin 180sin4CBFBCDBCD在CBF中，由正弦定理，得sinsinCFBCCBFBFC，即6222sin624BFC，解得2sin2BFC又0,180BFC，且CFBC，所以45BFC（2）由（1）得45ECFBFC在BCF中，由余弦定理推论，得222cos2BFFCBCBFCBFFC，即22(31)4 30BFBF，解得2BF，2 3BF（舍去）因为112sin2(62)31222CBFDAGSSBFFCBFC，所以2(31)CBFDAGSSS22（12 分）如图，在平面四边形中，14AB，3cos5A，5cos13ABD10（1）求

16、对角线BD 的长；（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，求BCD面积的最大值【答案】（1）13BD；（2）1698【解析】（1）在ABD中，56sinsin()sin()sincoscossin65ADBAABDAABDAABDAABD，由正弦定理得sinsinBDABAADB，即sin13sinABABDADB（2）由已知得，CA，所以3cos5C，在BCD中，由余弦定理可得2222cos169BCDCBC DCCBD，则2261616955BCDCBCDCBCDC，即516916BC DC，所以1154169sin169221658BCDSBC CDC，当且仅当13 54BCDC时取等号

17、第五单元解三角形（提高篇）第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在ABC中，若2BC，2AC，45B，则角A等于（）A 30B 60C 120D150【答案】A 11【解析】由正弦定理可得sinsinBCACAB，所以22sin22A，所以1sin2A，因 BCAC，所以45AB，故A为锐角，所以30A，故选 A2若ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若a=2，b=3，c=4，则 cosC=（）A14B14C23D23【答案】A【解析】a=2，b=3，c=4，根据余弦定理得到22294161cos2124bacCab，故答

18、案为A3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2 7a，4b，120A，则ABC的面积为（）A2 B3C4 D23【答案】D【解析】因为27a，4b，120A，所以由余弦定理2222cosabcbcA，可得2c，所以ABC的面积为1sin2 32bcA故选 D4ABC中，60B，2bac，则ABC一定是（）A锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形【答案】D【解析】ABC中，60B，2bac，2222221cos20022acbBacacacac，故得到ac，故得到角A等于角C，三角形为等边三角形故答案为D5钝角ABC中，若1a，2b，则最大边c的取值范围是（）A5,3B

19、2,3C5,4D5,7【答案】A【解析】因为钝角ABC，所以222cos02abcCab+-=，2140c+-，又因为3cab，53c，故选 A6如图，在ABC中，45B，D是BC边上一点，2 7AD，6AC，4DC，则AB的长为（）12 A2B3 6C3 3D3 2【答案】B【解析】由余弦定理可得22246(2 7)1cos2462C+-=创，60C=?，sinsinABACCBQ=，得到36sin23 6sin22CACABB=，故选 B7如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度是（）A 24031 mB 18021 mC

20、3031 mD 12031 m【答案】D【解析】由题意可知：105ABC，45BAC，),2(mA，6060120sinsin30ACC，由正弦定理sinsinBCACBACABC，得sin120sin 4560 212031sinsin105sin60 cos45cos60 sin 45ACBACBCABC，即河流的宽度12031 m，本题正确选项D8已知ABC的面积为36AB ACuuu ruu u r，则角A的大小为（）A60B120C30D150【答案】D【解析】cosAB ACc bAuu u r uuu rQ，又ABC的面积为36AB ACu uu ruuu r，13sin6cos

21、2SbcAb cA，则3tan3A，13 又(0,)A，150A，故选 D9 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC的三个内角,A B C所对的边分别为,a b c，面积为S，则“三斜求积”公式为222222142acbSa c，若2sin2sinaCA，22()6acb，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为（）A32B3C12D1【答案】A【解析】2sin2sinaCAQ，22a ca，2ac，因为22()6acb，所以22226acacb，22262642acbac，从而ABC的面积为221232422，故选 A10 已知ABC的内角A，B，C的对

22、边分别为a，b，c，AD 为角A的角平分线，交BC于D，4B，2 2AD，2BD，则b（）A2 2B2C3D6【答案】A【解析】因为2 2AD，2BD，4B，由正弦定理得sinsinADBDBBAD，即2 22sinsin4BAD，解得1sin2BAD，又由0,2BAD，所以6BAD，则3BAC，所以53412C，又因为512ADCBBAD，所以ADC为等腰三角形，所以2 2bAD，故选 A11已知在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，60A，2a，则ABC周长的取值范围是（）A(0,6)B4,222C(4,6D4,222【答案】C【解析】根据三角形正弦定理得到4sinsinsin

23、3abcABC，14 变形得到4444sin,sin,2sinsin3333bB cC lBC，因为23BC，4422sinsin22 3sin2cos24sin3633lBBBBB，2 510,sin,1366662BBB，4,6l，故答案为C12在平面四边形ABCD中，75ABC，2BC，则 AB 的取值范围是（）A2,6B22,62C2,62D62,62【答案】D【解析】由题意，平面四边形ABCD中，延长BA、CD交于点E，BC75，EBC为等腰三角形，E30，若点A与点E重合或在点E右方，则不存在四边形ABCD，当点A与点E重合时，根据正弦定理sinsinABBCECBBEC，算得62

24、AB，62AB，若点D与点C重合或在点C下方，则不存在四边形ABCD，当点D与点C重合时ACB30，根据正弦定理sinsinABBCACBBAC，算得62AB，62AB，综上所述，AB的取值范围为6262AB故选 D15 第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，角C等于60，若4,2ab，则c的长为 _【答案】23【解析】因为角C等于60，4,2ab，所以由余弦定理可得22212cos60164242122cabab，所以2 3c=，故答案为2 314在ABC中，3A，1b，3a，则ABC的面积为 _【答案】32【解析】3AQ，1

25、b，3a，由正弦定理可得31sin32B，解得1sin2B，baQ，BA，6B，可得2CAB，113sin31sin2222ABCSabC，本题正确结果3215海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则，两点的距离为 _【答案】【解析】由已知，ACD中，ACD15，ADC150，DAC=15，由正弦定理得80sin150404062sin15624AC，16 BCD中，BDC15，BCD135，DBC=30，由正弦定理，sinsinCDBCCBDBDC，

26、所以sin80sin15160sin1540621sin2CDBDCBCCBD，ABC中，由余弦定理，2222cosABACBCAC BCACB11600 84 31600 84 321600626221600 161600 41600 20，解得80 5AB，则两目标A，B间的距离为，故答案为16 在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sincoscossinsinsinabCaBbAaAbBcC，且3ab，则c的取值范围为 _【答案】3,32【解析】因为sinsinsincoscossinCABABAB，所以由正弦定理可得coscosaBbAc，又因为sincoscossin

27、sinsinabCaBbAaAbBcC，所以由正弦定理可得222abccabc，即222abcab，所以2222()3cabababab，因为3ab，所以293cab，因为2924abab，当且仅当32ab时取等号，所以27304ab，所以99394ab，即2994c，所以332c，故c的取值范围为3,32三、解答题：本大题共6 个大题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）在ABCV中，45,10BAC，且2 5cos5C（1）求BC边长；17（2）求 AB 边上中线CD的长【答案】（1）3 2；（2）13【解析】（1）(0,)CQ，25sin1cos5CC，3

28、10sinsin()sincoscossin10ABCBCBC，由正弦定理可知中：sin3 2sinsinsinBCACACABCABB（2）由余弦定理可知：222 52cos10182103 225ABACBCAC BCC，D是 AB 的中点，故1BD，在CBD中，由余弦定理可知：2222cos18123 21132CDBCBDBC BDB18（12 分）已知ABCV的内角,A B C的对边分别为,a b c，若2sin2sinsinBAC（1）若2ab，求cosB；（2）若90B且2a，求ABCV的面积【答案】（1）14；（2）2【解析】2sin2sinsinBACQ，由正弦定理可得22b

29、ac=，（1）21abcQ，由余弦定理222cos2acbBac，可得1cos4B（2）90BQ，由勾股定理可得22222()02bacacacac，112 2222ABCSac19（12 分）如图，在四边形ABCD中，60A，90ABC已知3AD，6BD（1）求sinABD的值；18（2）若2CD，且CDBC，求BC的长【答案】（1）64；（2）1BC【解析】（1）在ABD中，由正弦定理，得sinsinADBDABDA因为60,3,6AADBD，所以36sinsinsin 6046ADABDABD（2）由（1）可知，6sin4ABD，因为90ABC，所以6coscos 90sin4CBDAB

30、DABD在BCD中，由余弦定理得2222cosCDBCBDBC BDCBD因为2,6CDBD，所以2646264BCBC，即2320BCBC，解得1BC或2BC又CDBC，则1BC20（12 分）已知a，b，c分别是ABCV内角A，B，C的对边角A，B，C成等差数列，sinA，sin B，sinC成等比数列（1）求sinsinAC的值；（2）若2a，求ABCV的周长【答案】（1）3sinsin4AC?；（2）ABCV的周长为3 2【解析】（1）角A，B，C成等差数列，2BAC，即60B，sin,sinsinABCQ，成等比数列，2233sinsinsin24ACB骣琪?=琪桫（2）由（1）可知

31、2sinsinsinACB?，即2acb，由余弦定理可得2222cos60bacac=+-?，化简得2()0ac，即2ac，2bac=，3 2abc+=，因此ABCV的周长为3 221（12 分）某市欲建一个圆形公园，规划设立，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其19 中，的位置已确定，（单位：百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图所示请你为规划部门解决以下问题：（1）如果，求四边形的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为283万平方米，求的值【答案】（1）；（2）12或17【解析】（1）coscosADCABCADC，在和中分别使用余弦定理得：，得1cos7，4 3sinsin

32、7ADC，四边形的面积1sin2ABCADCSSSBA BCDA DC14 326448 327（2）圆形广场的面积为283，圆形广场的半径2 213R，在中由正弦定理知：4 212 sinsin3ACR，在中由余弦定理知：，2421sin4024cos3，化简得，解得1cos2或1cos722（12 分）已知ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，02B，36b，22ac1sinsintan12ACB（1）求内角B的大小；（2）求(2)(2)acbacb的最大值20【答案】（1）6B（2）133【解析】（1）36bQ，221sinsintan12acACB，222sinsintana

33、cACBb，即222sinsintanacbACB，由余弦定理得2cossinsintanacBACB，2tansinsincosacBACB，由正弦定理得222tancossinbBBB，即222cossintanbBBB，231cossin6BB，231sin6sinBB，即326sinsin10BB，变形得2(2sin1)(3sin2sin1)0BBB，解得1sin2B，02BQ，6B（2）36bQ，6B，由余弦定理得2212cos612acac，化简得221312acac，21()(23)12acac，2()4acacQ，2(23)()(23)4acac，22(23)()()(23)4acacac，2(23)()1412ac，223()3ac，2213(2)(2)()43acb acbacb，当且仅当ac时等号成立，(2)(2)acb acb 的最大值为133