高考理科数学一轮复习专题训练：直线与圆(含详细答案解析).pdf

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1、1 第 11 单元直线与圆（基础篇）第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1过点（1，0）且与直线220 xy垂直的直线方程为（）A210 xyB210 xyC220 xyD210 xy【答案】C【解析】由于直线220 xy的斜率为12，故所求直线的斜率等于2，所求直线的方程为02(1)yx，即220 xy，故选 C2直线1l，2l，3l的斜率分别为1k，2k，3k，如图所示，则（）A321kkkB231kkkC123kkkD213kkk【答案】A【解析】设三条直线的倾斜角为123、，根据三条直线的图形，可得132090180，因为

2、tank，0 9090180U,，当0 90,时，tan0k，当90180,时，tank单调递增，且tan0，故321tantan0tan，即3210kkk，故选 A3已知圆22:20Cxxy，则圆心C到直线3x的距离等于（）2 A1B2C3D4【答案】D【解析】由题2211xy，则圆心1,0，则圆心C到直线3x的距离等314，故选 D4已知直线与圆相交于，两点，则（）A2 B 4 CD与的取值有关【答案】B【解析】由圆，得圆心0,1，半径2r，又直线恒过圆心0,1，则弦长24ABr，故选 B5圆关于直线33yx对称的圆的方程是（）ABCD【答案】D【解析】由题意得，圆方程，即为，圆心坐标为，

3、半径为1设圆心关于直线33yx的对称点的坐标为，则312332232baba，解得13ab，所求圆的圆心坐标为，所求圆的方程为故选 D6唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221xy，若将军从点(2,0)A处出发，河岸线所在直线方程为3xy，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路3 程为（）A101B2 21C2 2D10【答案】A【解析】设点A关于直线3xy的对称

4、点(,)A a b，AA的中点为2,22ab，2AAbka，故(1)122322baab，解得31ab，要使从点A到军营总路程最短，即为点A到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为22311101，故选 A7若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（）ABCD【答案】C【解析】圆的标准方程为，又因为点为圆的弦AB的中点，圆心与点P确定直线的斜率为101132，故弦AB所在直线的斜率为2，所以直线AB的直线方程121yx，即210 xy8若直线bxy与曲线234yxx有公共点，则b的取值范围是（）A122,12 2B3,122C1,1 2 2D122,3【答案】D【解析】将曲线的方程234y

5、xx，化简为22234 13,04xyyx，即表示以2,3A为圆心，以2 为半径的一个半圆，如图所示：4 由圆心到直线bxy的距离等于半径2，可得2322b，解得12 2b或12 2b，结合图象可得12 23b，故选 D9经过点(3,0)M作圆222430 xyxy的切线l，则l的方程为（）A30 xyB30 xy或3xC30 xyD30 xy或3x【答案】C【解析】22222430(1)(2)8xyxyxy，圆心坐标坐标为(1,2)，半径为12xx，当过点3,0M的切线存在斜率k，切线方程为(3)30yk xkxyk，圆心到它的距离为12xx，所以有212 132 211kkkk，当过点3,

6、0M的切线不存在斜率时，即3x，显然圆心到它的距离为22 2，所以3x不是圆的切线，因此切线方程为30 xy，故本题选C10已知且为常数，圆，过圆内一点的直线 与圆相交于两点，当弦最短时，直线的方程为，则的值为（）A2 B 3 C4 D 5【答案】B【解析】圆C：化简为22211xyaa，5 圆心坐标为1,Ca，半径为，如图：由题意可得，当弦最短时，过圆心与点（1，2）的直线与直线垂直则211 12a，即3a故选 B11过点且不垂直于轴的直线与圆交于两点，点在圆上，若是正三角形，则直线的斜率是（）A34B32C23D43【答案】D【解析】根据题意，圆，即2214xy，圆心为（1，0），半径2r

7、，设正的高为h，由题意知，为正的中心，M到直线l的距离13dh，又32hAB，即36dAB，由垂径定理可得22244ABdr，可得，由题意知设直线l的斜率存在且不为0，设为k，则直线l的方程为11yk x，即10kxyk，则有22111kk，解可得43k或 0（舍），故选 D12已知直线与圆交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）AB2CD2【答案】B 6【解析】根据题意，圆的圆心为0,0，半径，设圆心到直线的距离为d，若直线与圆交于不同的两点A，B，则21 12kkd，则有2 2k，设与的夹角即，若，即，变形可得1cos2，则23，当23时，若23，则12kd，解可得

8、2k，则k的取值范围为，故选 B第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13已知两条直线：，：，则与的距离为 _【答案】52【解析】因为：可化为，所以与的距离为22235242d故答案为5214已知两直线与的交点在第一象限，则实数c的取值范围是 _【答案】31,2【解析】由与的交点532,11ccc，所以501c，3201cc，312c15 九章算术是我国古代著名的数学典籍，其中有一道数学问题：“今有勾八步，股十五步问勾中容圆，径几何？”意思是：在两条直角边分别为八步和十五步的直角三角形中容纳一个圆，7 请计算该圆直径的最大值为_步【答案】6【解析】如图所示：2217ABACBC，设三角

9、形ABC内切圆的半径为r步，ABCABOAOCOBCSSSS，由圆的切线性质可知：过圆切点的半径垂直过该切点的切线，所以有11118 15=3222215+8+17BCACAB rAC rCB rr，所以该圆直径的最大值为6 步16已知圆22:(1)(4)10Cxy上存在两点A，B，P为直线x5 上的一个动点，且满足APBP，则点P的纵坐标取值范围是_【答案】2，6【解析】要使APBP，即APB的最大值要大于或等于90，显然当PA切圆C于点A，PB切圆C于点B时，APB最大，此时CPA最大为 45，则2in2sCPA，即22CACP，设点05,Py，则201022164y，解得026y故答案为

10、 2，6 三、解答题：本大题共6 个大题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）平面直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别为(1,2)A，(3,4)B，(0,6)C（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）求ABC的面积【答案】（1）3210 xy；（2）5【解析】（1）直线BC的斜率6420(3)3BCk，则BC边上高所在直线斜率32k，8 则BC边上的高所在的直线方程为32(1)2yx，即3210 xy（2）BC的方程为263yx，23180 xy点A到直线BC的距离22|2(1)3 218|10 131332d，22(03)(64)13BC，则ABC的面积

11、1110 13|1352213SBC d18（12 分）已知过点1,2P，斜率为2的直线1l与x轴和y轴分别交于A，B两点（1）求A，B两点的坐标；（2）若一条光线从A点出发射向直线2:1lyx，经2l反射后恰好过B点，求这条光线从A到B经过的路程【答案】（1）2,0A，0,4B；（2）5 2【解析】（1）由已知有：1:221lyx，即24yx，当0 x时，4y；当0y时，2x，2,0A，0,4B（2）设A关于2l的对称点为A，设11,A x y，依题意有111101202122yxyx，解得1113xy，1,3A，22103452BA，这条光线从A点到B点经过的路程为5 219（12 分）已

12、知圆的方程为2211xy，求：（1）斜率为3且与圆相切的直线方程；（2）过定点2,3且与圆相切的直线方程【答案】（1）31030 xy或31030 xy；（2）2x或4310 xy【解析】（l）设切线方程为3yxb，9 则圆心1,0到该直线的距离130110bd，解得103b或103，所求切线方程为31030 xy或31030 xy（2）当切线的斜率存在时，设切线方程为32yk x，即230kxyk，则圆心1,0到该直线的距离2202311kkdk，解得43k，切线方程为4323yx，即4310 xy，当切线的斜率不存在时，直线2x也是圆的切线，综上所述：所求切线方程为2x或4310 xy20

13、（12 分）已知两个定点，动点到点的距离是它到点距离的 2 倍（1）求点的轨迹；（2）若过点作轨迹的切线，求此切线的方程【答案】（1）见解析；（2）或【解析】（1）设动点，则，坐标代入得，化简得，所以动点的轨迹是以为圆心，以2 为半径的圆（2）设是圆的切线，则有2213241kkk，当 不存在时，恰好与圆切于点，综合得：切线方程为或21（12 分）在平面内，已知点，圆：，点是圆上的一个动点，记线段的中点为（1）求点的轨迹方程；（2）若直线：与的轨迹交于，两点，是否存在直线，使得10OMONuu uu r uu u r（为坐标原点），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）

14、存在直线l，使得，此时10【解析】（1）设，点P的坐标为，点，且Q是线段PA的中点，在圆C：上运动，即，点Q的轨迹方程为（2）设，将代入方程圆的方程，即，由22(24)16 10kk，得403k，122241kxxk，12241x xk，2224241241011kkkkk，即，解得舍，或存在直线l，使得，此时22（12 分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为22(4)1xy，且圆C与x轴交于,M N两点，设直线l的方程为(0)ykx k（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；（2）已知直线l与圆C相交于,A B两点2OAABuuu ruu u r，求直线l的方程；直线AM与直线BN相

15、交于点P，直线AM，直线BN，直线OP的斜率分别为1k，2k，3k，是否存在常数a，使得123kkak恒成立？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【答案】（1）15:15lyx；（2）直线l的方程为1525yx；存在常数2a，使得1232kkk恒成立【解析】（1）由题意，0k，圆心C到直线l的距离241kdk，11 Q直线l与圆C相切，2411kdk，解得1515k，直线l方程为1515yx（2）设11,A x y，由2OAABuu u ru uu r，得1133,22Bxy，由2211221141334122xyxy，解得11258158xy，1525k，0kQ，1525k，直线l的方程为

16、1525yx由题意知：3,0M，5,0N，则1:3AMlykx，与圆22:41Cxy联立，得221131350 xkxk，3MxQ，2121351Akxk，2112211352,11kkAkk，同理可得2222222532,11kkBkk，OAOBkkQ，122212221222122211355311kkkkkkkk，整理可得12121350k kkk，121k kQ，2135kk，设00,P xy，01002035ykxykx，1201212012352kkxkkk kykk，12121212352,kkk kPkkkk，即1315,44kP，1313141554kkk，12 121322

17、5kkkk，存在常数2a，使得1232kkk恒成立第 11 单元直线与圆（提高篇）第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知直线1:3610lxy，2:20lxmy，若12ll/，则m的值为（）A4 B 2 C2D12【答案】B【解析】因为12ll/，所以3()1(6)0m，解得2m，故选 B2若直线l的向上方向与y轴的正方向成30角，则直线l的倾斜角为（）A30B60C30或 150D60或 120【答案】D【解析】如图所示，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60或1203已知圆截两坐标轴所得弦长相等，且圆过点和，则圆的半径为（）

18、ABCD【答案】D【解析】圆C在两坐标轴上截得弦长相等，C在直线yx或yx上，13 当C在yx上时，设C（m，m），半径为R，则，解得m1，5，R=；当C在yx上时，设C（m，m），半径为R，则，无解；圆的半径为，故选 D4已知圆2240 xyxa截直线30 xy所得弦的长度为2 3，则实数a的值为（）A2B0C2D6【答案】B【解析】将圆化为标准式为2224xya，得圆心为2,0，半径4ra，圆心到直线的距离2113d，又弦长2 3l，由垂径定理得2222lrd，即413a，所以0a，故选 B5已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（）ABCD【答案】D【解析】设，则1230222111xyy

19、x，54xy，故选 D6设点P为直线:40lxy上的动点，点(2,0)A，2,0B，则PAPB的最小值为（）A2 10B26C2 5D10【答案】A【解析】依据题意作出图像如下：14 设点2,0B关于直线l的对称点为1,B a b，则它们的中点坐标为2,22ab，且1PBPB，由对称性可得011224022baab，解得4a，2b，所以14,2B，因为1|PAPBPAPB，所以当1,A P B三点共线时，PAPB最大，此时最大值为22142202 10AB，故选 A7若直线过点，则该直线在轴、轴上的截距之和的最小值为（）A1 B 4 C2 D 8【答案】B【解析】因为直线过点，所以abab，1

20、11ab，因为直线在轴的截距为，在轴上的截距为，所以直线在轴、轴上的截距之和的最小值为，112224bab aababababa b，所以当时取最小值，最小值为，故选 B8已知点，点是圆上的动点，则面积的最小值为（）A1 B 2 C3 D 4【答案】A【解析】如图所示，由几何图形易知点M的坐标为时有最小值，15 其面积为12 112OAMS故选 A9在区间 1,1上随机取一个数k，使直线(3)yk x与圆221xy相交的概率为（）A12B13C24D23【答案】C【解析】因为圆心(0,0)，半径1r，直线与圆相交，所以2|3|11kdk，解得2244k，所以相交的概率22224P，故选 C 1

21、0已知直线与圆相交于、两点，是线段的中点，则点到直线的距离的最大值为（）A5 B 4 C3 D 2【答案】B【解析】直线经过定点4,0，设，则点，因为点B在圆上，故有，化简整理得，所以点M的轨迹是圆心为3,0，半径为1 的圆，圆心3,0到直线的距离为963916，所以点M到直线的最大距离为4故选 B11已知函数，若函数至少有一个零点，则取值范围是（）16 ABC3,03D3,3【答案】C【解析】令，可得，即函数，其图像为过点的一条直线，其图像为圆心在原点，半径为1 的，上半圆，由图像可知，过点的直线与上半圆至少有一个交点需要满足直线与圆相交或相切相切时，由2211kk，解得33k，因为与上半圆

22、相切，所以33k，所以的取值范围为3,0312已知圆：，点，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为为坐标原点，则面积的最大值为（）A12 B 6 CD【答案】A【解析】由题可知，所以点在以线段为直径的圆上，的边，故当到直线的距离最大时，的面积最大，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，直线的方程为，点到直线的距离为222，所以到直线的距离的最大值为，故的面积的最大值为16 22 2122第卷17 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13过直线210 xy和直线220 xy的交点，且与直线310 xy垂直的直线方程为_【答案】330 xy【解析】由交点01，又直线310 xy的斜率为3，所求直

23、线与直线310 xy垂直，所求直线的斜率为13，所求直线的方程为113yx，化简得330 xy，故答案为330 xy14光线由点P(2，3)射到直线10 xy上，反射后过点Q(1，1)，则反射光线方程为_【答案】4510 xy【解析】因为P点关于直线10 xy对称点为，所以反射光线方程为13:1114MQyx，4510 xy15直线:30lxym与圆22:410C xyx交于,A B两点，若ABC为等边三角形，则m_【答案】1或5【解析】圆22:410C xyx，即2223xy，圆C的圆心为2,0C，半径为3，直线:30lxym与圆2223xy交于,A B两点且ABC为等边三角形，=3AB，故

24、圆心到直线的距离为233322d，即23213m，解得1m或5，故答案为1或516已知点，若圆上存在点使得，则的最大值为18 _【答案】【解析】设，22cos,22sinACau uu r，22cos,22sinBCau uu r，90ACBQ，22222cos22sin0AC BCau uu r uu u r，2104 2 sincos108sin108184a，当sin14时取等号，本题正确结果三、解答题：本大题共6 个大题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）已知点(5,1)A关于x轴的对称点为11(,)B xy，关于原点的对称点为22(,)C xy（1）求

25、ABC中过AB，BC边上中点的直线方程；（2）求ABC的面积【答案】（1）550 xy；（2）10【解析】（1）点(5,1)A关于x轴的对称点为11(,)B xy，(5,1)B又点(5,1)A关于原点的对称点为22(,)C xy，(5,1)C，AB的中点坐标是(5,0)，BC的中点坐标是(0,1)过(5,0)，(0,1)的直线方程是051005yx，整理得550 xy（2）易知1 12AB，5510BC，ABBC，ABC的面积112 101022SABBC18（12 分）已知ABC的顶点3,4B，AB边上的高所在的直线方程为30 xy，E为BC的中点，且AE所在的直线方程为370 xy（1）求

26、顶点A的坐标；（2）求过E点且在x轴、y轴上的截距相等的直线l的方程19【答案】（1）1,2；（2）40 xy或50 xy【解析】（1）由已知得1ABk，直线AB的方程为43yx，即10 xy，由10370 xyxy，解得12xy，A的坐标为1,2（2）设00,Exy，则0023,24Cxy，则0000232430370 xyxy，解得0041xy，Q直线l在x轴、y轴上的截距相等，当直线l经过原点时，设直线l的方程为ykx，把点4,1E代入，得14k，解得14k，此时直线l的方程为40 xy，当直线l不经过原点时，设直线l的方程为1xyaa，把点4,1E代入，得411aa，解得5a，此时直线

27、l的方程为50 xy，直线l的方程为40 xy或50 xy19（12 分）已知点(1,0)P与圆22:(1)(1)4Cxy（1）设Q为圆C上的动点，求线段PQ的中点M的轨迹方程；（2）过点(1,0)N作圆C的切线l，求l的方程【答案】（1）22304xyy；（2）1x或3344yx【解析】（1）设00(,)M xy，因为线段PQ的中点为M，故0021 2Qxy(,)，因为Q为圆C上的动点，所以0021121422xy()()，即2200044414xyy，即M的轨迹方程22304xyy（2）当切线的斜率不存在时，直线方程为1x，满足题意；当切线的斜率存在时，则设切线方程为(1)yk x，即0k

28、xyk，故1212kkk，解得34k，此时切线方程为3344yx20 所以切线方程为1x或3344yx20（12 分）已知抛物线的顶点在坐标原点，其焦点在轴正半轴上，为直线12yx上一点，圆与 轴相切（为圆心），且，关于点对称（1）求圆和抛物线的标准方程；（2）过的直线 交圆于，两点，交抛物线于，两点，求证：【答案】（1）的标准方程为的标准方程为；（2）见证明【解析】（1）设抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为0,2p已知在直线12yx上，故可设，因为，关于对称，所以2022202apa，解得24ap，所以的标准方程为因为与 轴相切，故半径，所以的标准方程为（2）由（1）知，直线的斜率存在，设为

29、，且方程为，则到直线 的距离为2221kdk，所以2222441kABdk，由282xyyk x，消去并整理得设，则，所以21 因为，所以222222 1|22|kkkCDkABkk，所以，即21（12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆O：相切（1）直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为，求直线l的方程；（2）已知直线y3 与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由【答案】（1）或；（2）见解析【解析】直线x3y10=0 与圆O：x2+y2=r2（0r）相切，圆心O到

30、直线x3y10=0 的距离为101019r（1）记圆心到直线l的距离为d，d=当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y1=k（x2），即kxy+（12k）=021221kdk，解得34k，此时直线l的方程为 3x+4y 10=0综上，直线l的方程为x=2 或 3x+4y10=0（2）点M、N的纵坐标之积为定值10设11,P xy，直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（1，3），直线PA、PB的方程分别为113311yyxx，113311yyxx令x=0，得11130,1xyMx，11130,1xyNx，则22111111

31、2111339111MNxyxyxyyyxxx（*）点11,P x y在圆C上，即，代入（*）式，得221121910101MNxxyyx为定值22 22（12 分）在平面直角坐标系xOy中，过点(0 1)P,且互相垂直的两条直线分别与圆22:4O xy交于点A，B，与圆22:(2)(1)1Mxy交于点C，D（1）若372AB，求CD的长；（2）若CD中点为E，求ABE面积的取值范围【答案】（1）3；（2）3 5,42【解析】（1）因为372AB，圆O半径为 2，所以点O到直线AB的距离为14，显然AB、CD都不平行于坐标轴，可设:1AB ykx，即10kxy，则点O到直线AB的距离21141

32、dk，解得15k因为ABCD，所以1CDkk，所以1:1CDyxk，即0 xkyk，点M（2，1）到直线CD的距离22121dk，所以2212 12 132CDd（2）当ABx轴，CDx轴时，此时AB=4，点E与点M重合，PM=2，所以ABE的面积S=4；当ABx轴，CDx轴时，显然不存在，舍去；当AB与CD都不平行于坐标轴时，由（1）知2222112 42 42 411ABdkk，23 因为2211dk，所以23k，因为点E是CD中点，所以MECD，所以22222244411PEPMdkk，所以ABE的面积2211444211SAB PEkk，记211tk，则104t，则23 5444254,42Stttt，综上所述：3 5,42S