2010年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学试题(文科).含详解.pdf

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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷1 至 2 页，第卷3至 4页，共 150 分。考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试题卷上作答，答案无效。3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。参考公式如果事件,A B互斥，那么球的表

2、面积公式()()()P ABP AP B24SR如果事件,A B，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()P A BP AP B球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么343VRn次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)kknknnPkCpp第卷一选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1对于实数,a b c，“ab”是“22acbc”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】主要考查不等式的性质。当C=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以

3、推出左边2若集合|1Ax x，0Bx x，则AB（）A11xxB0 x xC01xxD【答案】C【解析】考查集合与简单不等式。解决有关集合的问题关键是把握住集合中的元素，由题知集合A是由大于等于-1 小于等于 1 的数构成的集合，所以不难得出答案310(1)x展开式中3x项的系数为（）A720B720C120D120【答案】D【解析】考查二项式定理展开式中特定项问题，解决此类问题主要是依据二项展开式的通项，由4若42()f xaxbxc满足(1)2f，则(1)f（）A4B2C 2D4【答案】B【解析】考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择B5不等式22xx的解集是（）A(,2)B(,

4、)C(2,)D(,2)(2,)【答案】A【解析】考查含绝对值不等式的解法，对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值。但此题利用代值法会更好6函数2sinsin1yxx的值域为（）A 1,1B5,14C5,14D5 1,4【答案】C【解析】考查二次函数型值域问题。通过函数形状发现此函数很像二次函数，故令sin Xt可得21ytt从而求解出二次函数值域7等比数列na中，15252|1,8,aaaaa则na（）A1(2)nB1(2)nC(2)nD(2)n【答案】A【解析】考查等比数列的通项公式。用代特值法解决会更好。8若函数1axyx的图像

5、关于直线yx对称，则a为（）A1B1C1D任意实数【答案】B【解析】考查反函数，因为图像本身关于直线yx对称故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案。或利用反函数的性质，依题知（1，a/2）与（a/2，1）皆在原函数图故可得a=-19有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(01)p，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为（）A(1)npB1npCnpD1(1)np【答案】D【解析】考查 n 次独立重复事件中A事件恰好发生K次的公式，可先求 n 次测试中没有人通过的概率再利用对立事件得答案D10直线3ykx与圆2

6、2(2)(3)4xy相交于 M、N 两点，若|MN|2 3，则k的取值范围是（）1A1B1C1DADCBMA3,04B33,33C3,3D2,03【答案】B【解析】考查相交弦问题。法一、可联立方程组利用弦长公式求|MN|再结合|MN|2 3可得答案法二、利用圆的性质知：圆心到直线的距离的平方加上弦长的一半的平方等于半径的平方求出|MN|再结合|MN|2 3可得答案11如图，M 是正方体1111ABCDA B C D的棱1DD的中点，给出下列命题过 M 点有且只有一条直线与直线AB、11B C都相交；过 M 点有且只有一条直线与直线AB、11B C都垂直；过 M 点有且只有一个平面与直线AB、1

7、1B C都相交；过 M 点有且只有一个平面与直线AB、11B C都平行.其中真命题是：（）ABCD【答案】C【解析】考查立体几何图形中相交平行垂直性质12如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数sin 2yx，sin()6yx，sin()3yx的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是（）ABCD【答案】C【解析】考查三角函数图像，通过三个图像比较不难得出答案Cxxxx2010 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第卷注意事项：第卷 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。二.填空题：本大题

8、共4小题，每小题4 分，共 16 分。请把答案填在答题卡上13已知向量a，b满足|2b，a与b的夹角为60，则b在a上的投影是；【答案】1【解析】考查向量的投影定义，b在a上的投影等于b的模乘以两向量夹角的余弦值14将 5 位志愿者分成3 组，其中两组各2 人，另一组1 人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）；【答案】90【解析】考查排列组合里分组分配问题，15点00(,)A xy在双曲线221432xy的右支上，若点A到右焦点的距离等于02x，则0 x；【答案】2【解析】考查双曲线的比值定义，利用点 A到右焦点比上到右准线的距离等于离心率得出0 x216长方体11

9、11ABCDA B C D的顶点均在同一个球面上，11ABAA，2BC，则A，B两点间的球面距离为.【答案】3【解析】考查球面距离，可先利用长方体三边长求出球半径，在三角形中求出球心角，再利用球面距离公式得出答案三.解答题：本大题共6 小题，共74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17（本小题满分12 分）设函数32()63(2)2f xxaxax.（1）若()f x的两个极值点为12,x x，且121x x，求实数a的值；（2）是否存在实数a，使得()f x是(,)上的单调函数？若存在,求出a的值；若不存在，说明理由.【解析】考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识解：2()186

10、(2)2fxxaxa（1）由已知有12()()0fxfx，从而122118ax x，所以9a；（2）由2236(2)4 18236(4)0aaa，1A1B1C1DADCB所以不存在实数a，使得()fx是R上的单调函数.18（本小题满分12 分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道.若是 1 号通道，则需要1 小时走出迷宫；若是2 号、3 号通道，则分别需要2 小时、3 小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.(1)求走出迷宫时恰好用了1 小时的概率；(2)求走出迷宫的时间超过3

11、小时的概率.【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。解：(1)设 A表示走出迷宫时恰好用了1 小时这一事件，则1()3P A.(2)设 B表示走出迷宫的时间超过3 小时这一事件，则1111()6662P B.19（本小题满分12 分）已知函数2()(1cot)sin2sin()sin()44f xxxxx.（1）若tan2，求()f；（2）若,122x，求()fx的取值范围.【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值域问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题

12、，考查基本三角函数变换，属于中等题.解：（1）2()sinsincoscos2f xxxxx1cos21sin 2cos222xxx11(sin 2cos2)22xx由tan2得2222sincos2 tan4sin 2sincos1tan5，222222cossin1tan3cos2sincos1tan5，所以3()5f.（2）由（1）得1121()(sin 2cos2)sin(2)22242f xxxx由,12 2x得552,4124x，所以2sin(2),142x从而2112()sin(2)0,2422f xx.20（本小题满分12 分）如图，BCD与MCD都是边长为2 的正三角形，平面

13、MCD平面BCD，AB平面BCD，2 3AB.（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.【解析】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力解法一：（1）取 CD中点 O，连 OB，OM，则 OBCD，OMCD.又平面MCD平面BCD,则 MO平面BCD，所以 MOAB，A、B、O、M 共面.延长 AM、BO相交于 E，则 AEB就是 AM 与平面 BCD所成的角.OB=MO=3，MOAB，则12EOMOEBAB，3EOOB，所以2 3EBAB，故45AEB.（

14、2）CE是平面ACM与平面BCD的交线.由（1）知，O 是 BE的中点，则BCED是菱形.作 BF EC于 F，连 AF，则 AFEC，AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.因为 BCE=120，所以 BCF=60.sin 603BFBC，tan2ABBF，2 5sin5所以，所求二面角的正弦值是2 55.解法二：取CD中点 O，连 OB，OM，则 OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD,则 MO平面BCD.以 O 为原点，直线OC、BO、OM 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM=3，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，3），B

15、（0，-3，0），A（0，-3，23），（1）设直线AM 与平面 BCD所成的角为.因AM（0，3，3），平面BCD的法向量为(0,0,1)n.则有32sincos,26AM nAM nAMn，所以45.（2）(1,0,3)CM，(1,3,2 3)CA.设平面 ACM 的法向量为1(,)nx y z，由11nCMnCA得DMCBAzyxMDCBOAz_ C_ H_ M_ D_ E_ B_ O_ A_ F3032 30 xzxyz.解得3xz，yz，取1(3,1,1)n.又平面 BCD的法向量为(0,0,1)n，则1111cos,5n nn nnn设所求二面角为，则212 5sin1()55.2

16、1（本小题满分12 分）已知抛物线1C：22xbyb经过椭圆2C：22221(0)xyabab的两个焦点.(1)求椭圆2C的离心率；(2)设(3,)Qb，又,M N为1C与2C不在y轴上的两个交点，若QMN的重心在抛物线1C上，求1C和2C的方程.【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。解：（1）因为抛物线1C经过椭圆2C的两个焦点12(,0),(,0)FcFc，所以220cbb，即22cb，由22222abcc得椭圆2C的离心率22e.（2）由（1）可知222ab，椭圆2C的方程为：222212xybb联立抛物线1C的方程22xbyb得：2220ybyb，解得：2b

17、y或yb（舍去），所以62xb，即66(,),(,)2222bbMbNb，所以QMN的重心坐标为(1,0).因为重心在1C上，所以2210bb，得1b.所以22a.所以抛物线1C的方程为：21xy，椭圆2C的方程为：2212xy.22（本小题满分14 分）正实数数列na中,121,5aa,且2na成等差数列.NxQMOyNxQMOy(1)证明数列na中有无穷多项为无理数；(2)当n为何值时，na为整数，并求出使200na的所有整数项的和.【解析】考查等差数列及数列分组求和知识证明：（1）由已知有：2124(1)nan，从而124(1)nan，方法一：取21124kn，则2124kna（*kN）

18、用反证法证明这些na都是无理数.假设2124kna为有理数，则na必为正整数，且24kna，故241kna.241kna,与(24)(24)1kknnaa矛盾，所以2124kna（*kN）都是无理数，即数列na中有无穷多项为无理数;方法二：因为21124,()nannN，当n的末位数字是3,4,8,9时，1 24n的末位数字是3和7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时1124nan不是有理数，因这种n有无穷多，故这种无理项1na也有无穷多(2)要使na为整数，由(1)(1)24(1)nnaan可知：1,1nnaa同为偶数，且其中一个必为3 的倍数，所以有16nam或16nam当61

19、nam时，有2236121112(31)nammmm（mN）又(31)mm必为偶数，所以61nam（mN）满足2124(1)nan即(31)12mmn（mN）时，na为整数；同理*61()nammN有22361211 12(31)nammmm（*mN）也满足2124(1)nan，即(31)12mmn（*mN）时，na为整数；显然*61()nammN和61nam（mN）是数列中的不同项；所以当(31)12mmn（mN）和(31)12mmn（*mN）时，na为整数；由61200nam（mN）有033m，由61200nam（*mN）有133m.设na中满足200na的所有整数项的和为S，则(511197)(17199)S5 19711993334673322