人教版八年级数学讲义与三角形有关的线段(含解析).pdf

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1、第1讲 与三角形有关的线段知识定位讲解用时：5 分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习三角形的知识，包括与三角形有关的线段和角，本次课重点讲述与三角形有关的线段，掌握三角形的角平分线、中线和高线，以及三角形的三边关系，学会处理含三角形线段的几何题目。知识梳理讲解用时：20分钟与三角形有关的线段1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边 a+bc 或 b+ca 或 a+cb b-ac 或 c-b a 或 c-a b 依据：两点之间，线段最

2、短3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高abc课堂精讲精练【例题 1】下列说法正确的是（）与三角形有关的角4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性1、三角形内角和定理：三角形的内角和是1802、三角形的外角性质：性质 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和性质 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角3、三角形的几种特殊模型

3、：两内角角平分线夹角两外角角平分线一内角、一外角角平分线夹角P=90+12A P=90-12A P=12A 4、直角三角形的性质：（1）两锐角互余（2）等面积法计算S=12ab=12ch（3）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半A所有的等腰三角形都是锐角三角形B等边三角形属于等腰三角形C不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形【答案】B【解析】根据锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义一一判断即可解：A、错误内角为 30，30，120的等腰三角形是钝角三角形B、正确等边三角形属于等腰三角形C、错误内角为30，30，120的三角形既是钝角三角形又是等

4、腰三角形的三角形D、错误内角为 30，30，120的三角形有两个锐角，是钝角三角形故选：B讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查三角形的一个概念，解题的关键是搞清楚锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义，属于基础题，中考常考题型教学建议：掌握等腰三角形、锐角和钝角三角形的定义.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 1.1】下列说法中，正确的个数是（）三角形的中线、角平分线、高都是线段；三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；直角三角形只有一条高；三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点A1 B2 C 3 D4【答案】A【解析】根据三角形的三条中线

5、都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上解：三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误所以正确的有 1 个故选：A讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解教学建议：掌握三角形的中线、角平分线、高线定义和作图.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 2】若三角形

6、的三边长分别为3，4，x1，则 x 的取值范围是【答案】2x8【解析】根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”即可求x 的取值范围解：由三角形三边关系定理得：43x14+3，解得：2x8，即 x 的取值范围是 2x8故答案为：2x8讲解用时：3 分钟解题思路：此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可教学建议：熟练掌握三角形的三边关系，利用任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边做题.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 2.1】四根长度分别为 3，4，6，x（x 为正整数）的木棒，从中任取三根，首

7、尾顺次相接都能组成一个三角形，则（）A组成的三角形中周长最小为9 B组成的三角形中周长最小为10 C组成的三角形中周长最大为19 D组成的三角形中周长最大为16【答案】D【解析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析解：其中的任意三根的组合有3、4、6；3、4、x；3、6、x；4、6、x 共四种情况，若三边为 3、4、6 时，其周长为 3+4+6=13；若三边为 3、4、x 时，43x4+3，即 1x7 由于 x 为正整数，当 x 为 2 或 3 或 4 或 5 或 6，其周长最小为 2+3+4=9，周长最大为 3+4+

8、6=13；若三边为 3、6、x 时，63x6+3，即 3x9，由于 x 为正整数，则 x 为 4 或 5 或 6 或 7 或 8，其周长最小为 3+6+4=13，周长最大为 3+6+8=17；若三边为 4、6、x 时，64x6+4，即 2x10 由于 x 为正整数，则 x 为 3 或 4 或 5 或 6 或 7 或 8 或 9，其周长最小为 3+6+4=13，周长最大为 4+6+9=19；综上所述，选 D 故选：D讲解用时：4 分钟解题思路：本题考查的是三角形三边关系，利用了分类讨论的思想 掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答本题的关键教学建议：熟练掌握三角形的三边关

9、系，分析每个组合的情况得到最后的结果.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【例题 3】已知 ABC的三边长 a、b、c，化简|a+bc|b ac|的结果是【答案】2（bc）【解析】先根据三角形三边关系判断出a+bc 与 bac 的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案解：ABC 的三边长分别是 a、b、c，a+bc，bac，a+bc0，bac0，|a+bc|b ac|=a+bc（b+a+c）=a+bc+bac=2（bc）；故答案为：2（bc）讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了三角形三边关系，用到的知识点是三角形的三边关系、绝对值、整式的加减，关键是根据三角形的三边关系

10、判断出a+bc 与，bac的符号教学建议：熟练掌握三角形的三边关系，利用任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边做题.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 3.1】若 a、b、c 为三角形的三边长，试证明：（a2+b2c2）24a2b2的值一定为负【答案】（a2+b2c2）24a2b2的值一定为负【解析】根据平方差公式和完全平方公式把（a2+b2c2）24a2b2变形为（a+b+c）（a+bc）（abc）（ab+c），再根据三角形的三边关系即可得出答案解：（a2+b2c2）24a2b2=（a2+b2c2+2ab）（a2+b2c22ab）=（a+b）2c2（ab）2

11、c2=（a+b+c）（a+bc）（abc）（ab+c），a、b、c 为三角形的三边长，a+b+c0，a+bc0，abc0，ab+c0，（a2+b2c2）24a2b2的值一定为负讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了三角形的三边关系，用到的知识点是平方差公式、完全平方公式以及三角形的三边关系，关键是对给出的式子进行变形教学建议：熟练掌握三角形的三边关系，利用任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边做题.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 4】如图所示，在 ABC中，1=2，G是 AD的中点，延长 BG交 AC于点 E，F 为AB上一点，CF AD交 AD于点 H

12、AD是ABE的角平分线；BE是ABD 的边AD上的中线；CH为ACD的边 AD上的高；AH是ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有【答案】【解析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高解：根据三角形的角平分线的概念，知AD是ABC的角平分线，故此说法不正确；根据三角形的中线的概念，知 BG是ABD的边 AD上的中线，故此说法不正确；根据三角形的高的概念，知CH为ACD 的边 AD上的高，

13、故此说法正确；根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是ACF的角平分线和高线，故此说法正确故答案为讲解用时：4 分钟解题思路：本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段透彻理解定义是解题的关键教学建议：熟练掌握三角形的角平分线、中线和高线的定义和性质，综合利用.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 4.1】如图，在 ABC中，AB，AC边上的高线分别是CE，BF D、G分别是 EF、BC的中点，那么 EDG（）A=90B90C90D不能确定【答案】A【解析】连接 E

14、G、FG，根据斜边中线长为斜边一半的性质即可求得EG=FG=BC，D是 EF中点，根据等腰三角形三线合一的性质可得GD EF，即可解题解：连接 EG、FG，EG、FG分别为直角 BCE、直角 BCF的斜边中线，直角三角形斜边中线长等于斜边长的一半EG=FG=BC，D为 EF中点GD EF，即EDG=90，故选：A讲解用时：4 分钟解题思路：本题考查了斜边中线长等于斜边长一半的性质，考查了等腰三角形三线合一的性质，本题中根据等腰三角形三线合一的性质求得GD EF是解题的关键教学建议：熟练掌握直角三角形的性质和等腰三角形三线合一的性质.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题

15、5】在ABC中，AC+AB=14，（AC AB），AD为 BC边上的中线，把 ABC的周长分为两部分，这两部分的差为2，求 AB、AC的长【答案】AB=6，AC=8【解析】设 AB=x，根据三角形的中线的定义可知BD=CD，那么 AC=x+2，根据AC+AB=14 列出方程 x+x+2=14，解方程求出 x 的值即可解：设 AB=x，则 AC=x+2 AC+AB=14，x+x+2=14，解得 x=6，AB=6，AC=8 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线熟记概念并求出本题中AD把ABC周长分为的两部分的差等于 AC AB（A

16、C AB）是解题的关键教学建议：通过中线的定义找到AC和 AB的差，再利用AC+AB=14，建立二元一次方程组求出结果.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 5.1】如图，BD是ABC的中线，AB=8，BC=6，ABD和BCD的周长的差是【答案】2【解析】根据三角形中线的定义可得AD=CD，然后求出 ABD 和BCD 的周长差=AB BC，代入数据进行计算即可得解解：BD是ABC的中线，AD=CD，ABD 和BCD 的周长差=（AB+AD+BD）（BC+CD+BD），=AB+AD+BDBC CD BD，=AB BC，AB=8，BC=6，ABD 和BCD 的周长差=86=

17、2答：ABD和BCD 的周长差为 2讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，数据概念并求出ABD和BCD 的周长差=AB BC是解题的关键教学建议：利用中线的定义求两个三角形的周长之差.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 6】（1）如图，BD、CD是ABC和ACB的角平分线且交于点D，A=50 ，则D=（2）如图，BD、CD是ABC和ACB外角的平分线且相交于点D，请猜想A与D 之间的数量关系：（3）如图，BD 为ABC的角平分线，CD为ACB的外角的角平分线，它们相交于点 D，请猜想 A 与D 之间的数量关系，并说明理由【答案】B（1）1

18、15；（2）90-12A；（3）D=12A【解析】（1）根据角平分线的定义得到DBC=ABC，DCB=ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；（2）根据角平分线的定义得到DBC=EBC，FCB=ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；（3）根据角平分线的定义得到DBC=ABC，DCE=ACE，根据三角形的外角的性质解答解：（1）BD、CD是ABC和ACB 的角平分线，DBC=ABC，DCB=ACB，D=180（DBC+DCB）=180（ABC+ACB）=180（180A）=90+A；A=50，D=115，故答案为：115；（2）BC、CD是ABC和ACB外角的平分线，DBC=EBC，FCB=A

19、CB，D=180（DBC+DCB）=180（EBC+FCB）=180（180+A）=90A；故答案为：90A；（3）BD为ABC的角平分线，CD为ACB的外角的角平分线，DBC=ABC，DCE=ACE，D=21=（ACE ABC）=A讲解用时：5 分钟解题思路：本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键教学建议：熟记三角形角平分线的3 种模型.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 6.1】如图，已知：点 P是ABC内一点（1）求证：BPC A；（2）若 PB平分 ABC，PC平分 ACB，A=40，求 P的度数【答案】（

20、1）成立；（2）110【解析】（1）延长 BP交 AC于 D，根据PDC 外角的性质知 BPC 1；根据ABD外角的性质知 1A，所以易证 BPC A（2）由三角形内角和定理求出ABC+ACB=140，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果（1）证明：延长 BP交 AC于 D，如图所示：BPC 是CDP 的一个外角，1 是ABD的一个外角，BPC 1，1A，BPC A；（2）在 ABC 中，A=40，ABC+ACB=180 A=18040=140，PB平分 ABC，PC平分 ACB，PBC=ABC，PCB=ACB，在ABC 中，P=180（PBC+PCB）=180（ABC+ACB）=180（

21、ABC+ACB）=180140=110讲解用时：4 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【例题 7】如图，ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，CAB=50 ，C=60 ，求DAE和BOA的度数【答案】DAE=5 ，BOA=120【解析】先利用三角形内角和定理可求ABC，在直角三角形ACD中，易求DAC；再根据角平分线定义可求CBF、EAF，可得 DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出BOA 解：CAB=50，C=60 ABC=180 5060=70，又AD是高，ADC=90，DAC=180 90 C=30，

22、AE、BF是角平分线，CBF=ABF=35，EAF=25，DAE=DAC EAF=5，AFB=C+CBF=60+35=95，BOA=EAF+AFB=25+95=120，DAC=30，BOA=120 故DAE=5，BOA=120 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质关键是利用角平分线的性质解出EAF、CBF，再运用三角形外角性质求出AFB 教学建议：熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形的外角定理.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 7.1】如图，在 ABC中，ADBC于 D，AE平分 BAC（1）若 C=70

23、，B=40 ，求 DAE的度数（2）若 CB=30 ，则 DAE=（3）若 CB=（CB），求 DAE的度数（用含 的代数式表示）【答案】（1）15；（2）15；（3）【解析】（1）根据角平分线的定义和互余进行计算；（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出DAE的度数等于 B与C差的一半解答即可；（3）根据（2）中所得解答即可解：（1）由已知可得，BAC=180 4070=70，CAD=20，DAE=CAE CAD=35 20=15；（2）B+C+BAC=180，BAC=180 BC，AE平分 BAC，BAE=BAC=（180 BC）=90（B+C），AD BC，ADE=90，而ADE=B

24、+BAD，BAD=90 B，DAE=BAD BAE=90 B）90（B+C）=（C B），CB=30，DAE=30=15，故答案为：15；（3）CB=，DAE=讲解用时：4 分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180和三角形外角性质解答教学建议：熟练掌握三角形高线、角平分线的定义.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018 课后作业【作业 1】下列说法错误的是（）A三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分B三角形的三条中线，角平分线都相交于一点C直角三角形三条高交于三角形的一个顶点D钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部【答案】A【解析】

25、根据三角形的面积公式以及三角形的中线、角平分线、高的概念可知解：A、三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，错误；B、三角形的三条中线，角平分线都相交于一点，正确；C、直角三角形三条高交于直角顶点，正确；D、钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，正确故选：A讲解用时：3 分钟难度：2 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 2】如果所示，已知 1=2，3=4，则下列结论正确的个数为（）AD平分 BAF；AF平分 DAC；AE平分DAF；AE平分 BAC A1 B2 C 3 D4【答案】B【解析】根据角平分线的定义进行判断即可解：AD不一定平分 BAF，错误；AF不一定平

26、分 DAC，错误；1=2，AE平分 DAF，正确；1=2，3=4，1+3=2+4，即 BAE=CAE，AE平分 BAC，正确；故选：B讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 3】如图，在 ABC中，AB=9，AC=7，BE、CD为中线，且 BE CD，则 BC=【答案】26【解析】设 BE、CD交于点 O，设 OE=x，OB=2x，OD=y，OC=2y 构建方程组，求出 x2+y2即可解决问题解：设 BE、CD交于点 O，设 OE=x，OB=2x，OD=y，OC=2y AD=BD=，AE=CE=，BE CD，BOD=COE=90，可得 x2+y2=，BC=

27、故答案为讲解用时：4 分钟难度：2 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 4】已知 a、b、c 分别为 ABC的三边，你能判断（a2+b2c2）24a2b2的符号吗？并说明理由【答案】负【解析】公式法因式分解即可解决问题；解：（a2+b2c2）24a2b2=（a2+b2c2+2ab）（a2+b2c22ab）=（a+b）2c2（ab）2c2=（a+b+c）（a+bc）（ab+c）（abc）a+b+c0，a+bc0，ab+c0，abc0，（a2+b2c2）24a2b20讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 5】已知 AD是ABC 的高，BAD=7

28、0，CAD=20，求 BAC的度数【答案】90 或 50【解析】分高 AD在ABC 内部和外部两种情况讨论求解即可解：如图 1，当高 AD在ABC的内部时，BAC=BAD+CAD=70+20=90；如图 2，当高 AD在ABC的外部时，BAC=BAD CAD=70 20=50，综上所述，BAC 的度数为 90或 50讲解用时：4 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 6】如图，是一个不规则的五角星，则A+B+C+D+E=（用度数表示）【答案】180【解析】根据三角形外角性质，可得1=C+2，2=A+D，那么有 1=C+A+D，再根据三角形内角和定理有1+B+E=180，从而易求 A+B+C+D+E=180 解：如右图所示，1=C+2，2=A+D，1=C+A+D，又 1+B+E=180，A+B+C+D+E=180故答案是：180讲解用时：4 分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018