人教版八年级数学讲义勾股定理逆定理(含解析).pdf

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1、第 14 讲 勾股定理逆定理知识定位讲解用时：3 分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习勾股定理的逆定理。它是初中几何中及其重要的一个定理，是今后判断某三角形是直角三角形的证明方法之一，有着广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，因此本节内容至关重要。知识梳理讲解用时：20分钟勾股定理逆定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a2b2=c2.2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足 a2b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角.勾股

2、定理与勾股定理逆定理是互逆的关系3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理.4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5.勾股数：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.熟记几组常见的勾股数：（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）（7，24，25）、（9、40、41）等等.注意：一组勾股数同时扩大或缩小相应的倍数，仍满足勾股定理的逆定理.课堂精讲精练【例题 1】下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A1.5，2，2.5 B4，5，6 C 2，3，4 D 1，3【答案】A【解

3、析】根据勾股定理的逆定理求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可解：A、1.52+22=2.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；B、42+5262，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；C、22+3242，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；D、12+（）232，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；故选：A讲解用时：2 分钟解题思路：本题考查了勾股定理的逆定理的应用，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，难度适中教学建议：掌握勾股定理的逆定理来判断直角三角形.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：薛城区期末年份：2017【练习 1.1

4、】三角形的三边长分别为6，8，10，它的最长边上的高为（）A6 B2.4 C 8 D4.8【答案】D【解析】根据已知先判定其形状，再根据三角形的面积公式求得其高解：三角形的三边长分别为6，8，10，符合勾股定理的逆定理62+82=102，此三角形为直角三角形，则10 为直角三角形的斜边，设三角形最长边上的高是h，根据三角形的面积公式得：68=10h，解得 h=4.8故选：D讲解用时：2 分钟解题思路：考查了勾股定理的逆定理，解答此题的关键是先判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式解答教学建议：先通过勾股定理逆定理判断出直角三角形，再用等面积法求斜边的高.难度：2 适应场景：当堂练习例题来源

5、：遂宁期末年份：2017【例题 2】一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是 60，则它的面积是【答案】120【解析】先求得三角形的三边长，然后依据勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，最后，再利用三角形的面积公式求解即可解：三角形的三边长分别为60=10，60=24，60=26102+242=262，三角形为直角三角形三角形的面积=1024=120故答案为：120讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查的是勾股定理的逆定理，证得三角形为直角三角形是解题的关键教学建议：熟记勾股数组（5，12，13），掌握勾股定理的逆定理并熟练运用.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：高新区期末年份

6、：2017【练习 2.1】在ABC 中，AB=17，BC=15，AC=8，则 C=【答案】90【解析】根据已知可得三边符合勾股定理的逆定理，即可求出C的度数解：ABC 中，AB=17，BC=15，AC=8，152+82=172，即 BC2+AC2=AB2，C=90 故答案为 90讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形 ABC 的三边满足 a2+b2=c2，则三角形 ABC是直角三角形教学建议：掌握勾股定理的逆定理并熟练运用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 3】如图，正方形网格中的 ABC，若小方格边长都为1，则ABC是：三角形【答案】直

7、角【解析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可解：AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，AC2+AB2=BC2，ABC是直角三角形讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断教学建议：利用勾股定理求出AB、BC、AC的长，再用勾股定理逆定理判断出直角三角形.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：东城区校级期末年份：2016【练习 3.1】如图，分别以 ABC的三边为直径向外作3 个半圆，它们的面积分别为4、5、9，

8、则ABC 直角三角形（填“是”或“不是”）【答案】是【解析】根据勾股定理的逆定理，可得答案解：由分别以 ABC的三边为直径向外作3 个半圆，它们的面积分别为4、5、9，得BC2+AC2=AB2，则ABC 是直角三角形，故答案为：是讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理是解题关键教学建议：掌握勾股定理的逆定理并熟练运用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 4】已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，DA=3，ABC=90，求四边形ABCD 的面积【答案】2+【解析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出ACD

9、=90，根据三角形的面积公式分别求出ABC和ACD的面积，即可得出答案解：连接 AC，在 RtABC中，由勾股定理得：AC=2，CD=1，AD=3，AC=2，AC2+CD2=AD2，ACD=90，四边形 ABCD 的面积：S=SABC+SACD=AB BC+AC CD=22+12=2+讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出ACD 是直角三角形是解此题的关键教学建议：熟练运用勾股定理及其逆定理.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：大兴区期末年份：2017【练习 4.1】如图，在四边形 ABCD 中，B=90，AB=9，BC=12，AD=8，CD=17 求

10、：（1）AC的长（2）四边形 ABCD 的面积【答案】（1）15；（2）114【解析】（1）已知 B=90，则ABC 是直角三角形，根据勾股定理解答即可；（2）根据 ACD的三边关系可判断出 ACD是直角三角形，再根据四边形ABCD面积=SABC+SACD计算解：（1）在 RtABC中，B=90AC=15；（2）152+82=172，AD2+AC2=DC2，DAC=90，S四边形 ABCD=SABC+SDAC=AB?BC+DA?AC=114讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了勾股定理的逆定理，关键是利用勾股定理解直角三角形的能力及勾股定理的逆定理解答教学建议：熟练运用勾股定理及其逆定理.难度

11、：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 4.2】如图，在四边形 ABCD 中，B=90，AB=8，BC=6，AD=24，CD=26，求四边形 ABCD的面积【答案】144【解析】连接 AC，根据已知条件运用勾股定理逆定理可证ABC和ACD 为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形 ABCD 的面积解：连接 AC，B=90，ABC 为直角三角形，AC2=AB2+BC2=82+62=102，AC=10，在ACD 中，AC2+CD2=100+576=676，AD2=262=676，AC2+CD2=AD2，ACD 为直角三角形，且 ACD

12、=90，S四边形 ABCD=SABC+SACD=68+1024=144讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形，使面积的求解过程变得简单教学建议：熟练运用勾股定理及其逆定理.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 5】如果 a，b，c 为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c 叫做一组勾股数（1）请你根据勾股数的意思，说明3、4、5 是一组勾股数；（2）写出一组不同于3、4、5 的勾股数；（3）如果 m表示大于 1 的整数，且 a=4m，b=4m21，c=4m2+1，请你根据勾股数的定义

13、，说明 a、b、c 为勾股数【答案】（1）是；（2）12，16，20；（3）a、b、c 为勾股数【解析】（1）直接利用勾股数的定义去验证即可；（2）根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，即可写出一组勾股数；（3）得到 a2+b2=c2即可得到这是一组勾股数解：（1）3、4、5 是正整数，且 32+42=52，3、4、5 是一组勾股数；（2）122+162=202，且 12，16，20 都是正整数，一组勾股数可以是12，16，20答案不唯一；故答案为 12，16，20（3）m表示大于 1 的整数，由 a=4m，b=4m21，c=4m2+1 得到 a、b、c 均为正整数；

14、又 a2+b2=（4m）2+（4m21）2=16m2+16m48m2+1=16m4+8m2+1，而 c2=（4m2+1）2=16m4+8m2+1，a2+b2=c2，a、b、c 为勾股数讲解用时：4 分钟解题思路：本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方注意本题答案不唯一教学建议：掌握基本的勾股数组并学会探究勾股数是规律.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：溧阳市期中年份：2016【练习 5.1】判断由下列各组线段a、b、c 的长，能组成什么三角形，试说明理由a=3K，b=3K，c=3K【答案】直角三角形【解析】根据如果三角

15、形的三边长a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可解：直角三角形，a2+b2=（3K）2+（3K）2=18K2，c2=（3K）2=18K2，a2+b2=c2，三角形是直角三角形讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断教学建议：熟练应用勾股定理的逆定理判断直角三角形.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 6】已知 a，b，c 为ABC 的三边，且满足a2c2b2c2=a4b4，试判定 ABC的形状【答案

16、】直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形【解析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断ABC 的形状解：a2c2b2c2=a4b4，a4b4a2c2+b2c2=0，（a4b4）（a2c2b2c2）=0，（a2+b2）（a2b2）c2（a2b2）=0，（a2+b2c2）（a2b2）=0 得：a2+b2=c2或 a=b，或者 a2+b2=c2且 a=b，即ABC 为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形讲解用时：4 分钟解题思路：此题考查勾股定理的逆定理的应用，还涉及到了分解因式、等腰三角形的有关知识教学建议：采用因式分解方法以及勾股定理的逆定理判断三角形的形状.难度：4 适

17、应场景：当堂例题例题来源：九台市期末年份：2015【练习 6.1】已知 ABC的三边长为 a，b，c，且 a+b=4，ab=1，c2=14，试判断 ABC的形状【答案】直角三角形【解析】先利用完全平方公式得出a2+b2=（a+b）22ab=14=c2，再根据勾股定理的逆定理即可判断 ABC为直角三角形解：a+b=4，ab=1，a2+b2=（a+b）22ab=1621=14，c=，c2=14，a2+b2=c2，ABC 为直角三角形讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了完全平方公式，勾股定理的逆定理，难度适中正确求出a2+b2=14是解题的关键教学建议：通过完全平方公式以及勾股定理的逆定理进行解题

18、.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：孟津县期末年份：2015【练习 6.2】若 a、b、c 是ABC 的三边长，且满足 a2c2b2c2=a4b4，试判定这个三角形的形状【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】把等式两边分解因式，左右两边同除以相同的因式，可得c2=a2+b2，根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状解：a2c2b2c2=a4b4，c2（a2b2）=（a2b2）（a2+b2）=（a+b）（ab）（a2+b2），a+b0，a=b或 c2=a2+b2，该三角形是等腰三角形或直角三角形讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查勾股定理的逆定理的应用，同时要灵活掌握分解因式教学建议：通过因

19、式分解以及勾股定理的逆定理进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 7】一艘在海上朝正北方向肮行的轮船，从点 A到点 B航行了 240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左转一定角度后，继续航行70 海里后到达点 C，此时 AC之间的距离为 250 海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？【答案】是【解析】由 AB=240海里，BC=70海里，AC=250海里，利用勾股定理的逆定理得出 ABC=90，继而求得船转弯后，沿正西方向航行解：沿正西方向航行理由如下：如图，AB=240海里，BC=70海里，AC=250海里，AB2+BC2=AC2，ABC=90，船转弯

20、后，沿正西方向航行讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了勾股定理逆定理的应用解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，把实际问题抽象到解直角三角形中，进行解答教学建议：灵活应用勾股定理的逆定理去解决实际问题.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：槐荫区期末年份：2015【练习 7.1】如图所示，在 ABC中，AB：BC：CA=3：4：5 且周长为 36cm，点 P 从点 A 开始沿 AB边向 B 点以每秒 2cm的速度移动，点 Q从点 C 沿 CB边向点 B以每秒 1cm的速度移动，如果同时出发，则过3 秒时，求 BPQ 的面积【答案】4.5cm2【解析】首先设 AB为 3xcm，BC为 4xc

21、m，AC为 5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形再求出3 秒后 BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解解：设 AB为 3xcm，BC为 4xcm，AC为 5xcm，周长为 36cm，AB+BC+AC=36cm，3x+4x+5x=36，解得 x=3，AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，AB2+BC2=AC2，ABC 是直角三角形，过 3 秒时，BP=9 32=3（cm），BQ=1 3=3（cm），SPBQ=BP?BQ=33=4.5（cm2）故BPQ 的面积为 4.5cm2讲解用时：4 分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面积

22、 由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键教学建议：灵活应用勾股定理的逆定理去解决实际问题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 7.2】如图，在 ABC 中，AB=4，AC=3，BC=5，DE是 BC的垂直平分线，DE分别交 BC、AB于点 D、E（1）求证：ABC 为直角三角形（2）求 AE的长【答案】（1）ABC 为直角三角形；（2）【解析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得ABC 是直角三角形；（2）根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE，设 AE=x，则 EC=4 x，

23、根据勾股定理可得 x2+32=（4x）2，再解即可（1）证明：ABC 中，AB=4，AC=3，BC=5，又42+32=52，即 AB2+AC2=BC2，ABC 是直角三角形；（2）证明：连接 CE DE是 BC的垂直平分线，EC=EB，设 AE=x，则 EC=4 xx2+32=（4x）2解之得 x=，即 AE的长是讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方教学建议：灵活运用勾股定理及其

24、逆定理进行解题.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018 课后作业【作业 1】在ABC 中，AB=12，AC=20，BC=16，则 ABC的面积是【答案】96【解析】先根据勾股定理的逆定理判断ABC为直角三角形，再根据直角三角形面积公式进行计算解：122+162=202，即 AC2=AB2+BC2，ABC 是直角三角形，且AC是直角边，ABC 的面积是1216=96故答案为 96难度：3 适应场景：练习题例题来源：鞍山期末年份：2017【作业 2】如图，四边形 ABCD 中，AB AD于 A，AB=8，AD=8，BC=7，CD=25，则四边形 ABCD 的面积为【答案】96+84

25、【解析】连接 BD，在 RtABD中，已知 AB，AD的长，运用勾股定理可求出BD的长，在 BCD 中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形 ABCD 的面积为 RtABD与 RtCBD的面积之和解：连接 BD，AB AD，A=90，BD=24，BC2+BD2=72+242=625=252=CD2，CBD 为直角三角形，S四边形 ABCD=SABD+SBCD=88+247=96+84讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：滨江区期末年份：2016【作业 3】如图，四边形 ABCD 中，C=90，BD平分 ABC，AD=3，E为 AB上一点，AE=4，

26、ED=5，求 CD的长【答案】3【解析】根据勾股定理的逆定理得出DA AB，进而解答即可解：AD=3，AE=4，ED=5，AD2+AE2=ED2A=90DA AB C=90 DC BC BD平分 ABC，DC=AD AD=3，CD=3 讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 4】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1cm，ABC为格点三角形（1）ABC 的面积=cm2；（2）判断 ABC 的形状，并说明理由【答案】（1）5；（2）直角三角形【解析】（1）利用 ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式进行计算即可；（2）利用相应的直角三角形

27、，分别求出AB2、BC2、AC2的值，再根据勾股定理逆定理进行判断是直角三角形；解：（1）ABC 的面积=4cm2；（2）AB2=22+12=5，BC2=42+22=20，AC2=42+32=25，25=5+20，即 AB2+BC2=AC2，ABC 是直角三角形；讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 5】如图，AD是ABC的中线，AD=12，AB=13，BC=10，（1）求 AC的长；（2）若 AC边上的高为 BH，求出 BH的长【答案】（1）13；（2）【解析】（1）首先利用勾股定理逆定理证明ADB=90，再利用勾股定理计算出 AC的长即可；（2）根据三角形的面积公式代入数计算即可求出BH的长解：（1）AD是 BC的中线，BC=10，BD=CD=5，122+52=132，AD2+BD2=AB2，ADB=90，ADC=90，AC=13；（2）1012=60，60213=答：BH的长是讲解用时：4 分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：泰兴市校级期中年份：2016