全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷含答案.pdf

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1、2015 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)1/5 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10 小题，满分70 分，每小题7 分要求直接将答案写在横线上）1已知点P(4，1)在函数 f(x)loga(xb)(b0)的图象上，则ab 的最大值是解：由题意知，loga(4b)1，即 ab4，且 a0，a1，b0，从而 ab(ab)244，当 ab2 时，ab 的最大值是42函数 f(x)3sin(2x4)在 x4324处的值是解：2x44312440121032 43，所以 f(4324)3sin43323若不等式|ax1|3 的解集为 x|2x 1

2、，则实数a 的值是解：设函数f(x)|ax 1|，则 f(2)f(1)3，故 a24第一只口袋里有3 个白球、7 个红球、15 个黄球，第二只口袋里有10 个白球、6 个红球、9 个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是解：有两类情况：同为白球的概率是310252530625，同为红球的概率是7 625 2542625，所求的概率是726255在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x2a2y2b21(ab0)与椭圆x2b2y2c21 有相同的离心率e，则 e 的值是解：若 c b，则c2a2c2 b2c2，得 ab，矛盾，因此cb，且有c2a2b2c2b2，解得 e1

3、526如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线B1D 与平面 A1BC1交于 E 点记四棱锥EABCD 的体积为V1，长方体ABCDA1B1C1D1的体积为 V2，则V1V2的值是A B C D E（第 6 题图）A1 B1 C1D1 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)2/5 解：记四棱锥B1ABCD 的体积为V如图，DE23DB1，从而 V123V又 V13V2，所以V1V2297若实数集合A31x，65y与 B 5 xy，403仅有一个公共元素，则集合AB 中所有元素之积的值是解：因为 31x65y5xy4032015xy若 xy0，则集合 A 和集合 B 中有

4、一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意所以xy 0，从而 AB 中所有元素之积的值为08设向量 a(cos，sin)，b(sin，cos)向量 x1，x2，x7中有 3 个为 a，其余为 b；向量 y1，y2，y7中有 2 个为 a，其余为 b则7i=1xiyi的可能取值中最小的为解：因为aabb1，ab0，所以7i=1xiyi的最小值为29在 33 的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6 个数之和为解：如图，设幻方正中间的数为x，则由题意知a 2012，从而对角线上三个数的和为x2011因此 bx 2014，c

5、4026，d 2013，ex2014由 bexx2011，解得 x20112这 9 个数的和为3(20112 2011)180992，所以幻方中其余6 个数之和为180992201822135210在平面直角坐标系xOy 中，设 D 是满足 x0，y0，xyxy 19 的点(x，y)形成的区域（其中x是不超过x 的最大整数）则区域D 中整点的个数为解：区域 D 中整点的个数为123 1055（第 9 题图）1 2 2015（第 9 题图）e c d a b 1 2 2015 x（第 6 题图）A B C D E O A1 B1 C1D1 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)3

6、/5 二、解答题（本大题共4 小题，每小题20 分，共 80 分）11 在等比数列 an中，a22，q 是公比记 Sn为an的前 n 项和，Tn为数列 a2n的前 n项和若S2n2Tn，求 q 的值解：若 q1，则 ana22，a2n4，则 S2n 4n，Tn4n，S2n2Tn若 q 1，则 an2(1)n，a2n4，则 S2n 0，Tn4n，S2n2Tn5 分若 q 1，则 an2qn2，a2n4q2n4，从而 S2n2q(1q2n)1q，Tn4q2(1q2n)1q215 分由 S2n 2Tn，则4q(1q)1，q2q40，解得 q 1172综上，q 的值为1172和117220 分12如图

7、，ABC 中，ABAC，点 D、E 分别在边AB、AC 上，且 BDCE BAC 的外角平分线与 ADE 的外接圆交于A、P 两点求证：A、P、B、C 四点共圆证明：如图，连结PD，PE，PC因为四边形APDE 是圆内接四边形,所以 PAD PED，P AF PDE又因为 AP 是 BAC 的外角平分线，所以 PAD PAF，从而 PED PDE，故 PDPE10 分又 ADP AEP，所以 BDP CEP又因为 BDCE，所以 BDP CEP，从而 PBD PCE，即 PBA PCA，A B C D P(第 12 题图)E A B C D P(第 12 题图)E F 2015 年全国高中数学

8、联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)4/5 所以 A、P、B、C 四点共圆10 分13如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆 O1、圆 O2都与直线l：ykx 及 x 轴正半轴相切若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P(2，2)，求直线l 的方程解：由题意，圆心O1，O2都在 x 轴与直线l 的角平分线上若直线 l 的斜率 ktan ，设 ttan2，则 k2t1t2圆心 O1，O2在直线 ytx 上，可设 O1(m，mt)，O2(n，nt)交点 P(2，2)在第一象限，m，n，t04 分所以 O1：(xm)2+(ymt)2=(mt)2，O1：(xn)2+(ynt)2=(nt)2，所以(2 m)2(

9、2mt)2(mt)2，(2 n)2(2nt)2(nt)2，即m2(44t)m80，n2(44t)n80，8 分所以m，n 是方程 X2(4+4t)X 8=0 的两根，mn 8由半径的积(mt)(nt)2，得 t214，故 t1216 分所以k2t1t2111443，直线 l：y43x 20 分14将正十一边形的k 个顶点染红色，其余顶点染蓝色（1）当 k2 时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k 取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由解：（1）设正十一边形的顶点A1，A2，A3，A11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形以这些点为顶点的等腰

10、三角形个数可以如此计算：以Ai(i1，2，3，11)为顶角顶点的等腰三角形有1112 5 个，这些三角形均不是等边三角形，即当ji 时，以 Aj为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形故所有的等腰三角形共有51155 个5 分当 k2 时，设其中Am，An染成红色，其余染成蓝色以 Am为顶角顶点的等腰三角形有5 个，以 Am为底角顶点的等腰三角形有10 个；同时以 Am，An为顶点的等腰三角形有3 个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(510)x O y O1 l(第 13题图)O2 P 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)5/5 2327 个注意到仅有这些等腰三角形的三

11、个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有 552728 个10 分（2）若 11 个顶点中k 个染红色，其余11k 个染蓝色则这些顶点间连线段(边或对角线)中，两端点染红色的有k(k1)2条，两端点染蓝色的有(11k)(10k)2条，两端点染一红一蓝的有 k(11k)条并且每条连线段必属于且仅属于3 个等腰三角形把等腰三角形分4 类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x1个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x2个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x3个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x4个，则按顶点颜色计算连线段，3x1x33k(k1)2，3x2x43(11k)(10k)2，2x32x43k(11 k)，由得3(x1x2)x3x432k(k1)(11 k)(10k)，用代入得x1x212 k(k 1)(11k)(10k)k(11k)12(3k233k110)当 k5 或 6 时，(x1x2)min12(546 556)10即顶点同色的等腰三角形最少有10 个，此时k5 或 620 分