备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析：平面解析几何(解析版).pdf

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1、备战 2020 年浙江省高考数学优质卷分类解析第八章 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线的方程及几何性质为主，难度在中等或以下，其中圆的问题是五年两考，直线与椭圆的位置关系，五年三考，圆锥曲线基本问题五年五考；大题则主要考查直线与抛物线的位置关系问题，五年五考，直线与椭圆位置关系问题只 2016 年理科考查一次；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为

2、基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.一选择题1【浙江省三校2019 年 5 月份第二次联考】双曲线的焦距是（）ABCD【答案】D【解析】双曲线的焦距为.故选 D.2【浙江省2019 届高三高考全真模拟（二)】双曲线22132xy的焦距是（）A1B2C5D2 5【答案】D【解析】2213,2,32xyab又225cab，所以焦距等于2 5，故本题选D.3【浙江省温州市

3、2019 届高三 2 月高考适应性测试】双曲线的一个顶点坐标是（）A(2，0)B(，0)C(0，)D(0，)【答案】D【解析】双曲线化为标准方程为：，=，且实轴在y 轴上，顶点坐标是（），故选 D.4【浙江省湖州三校2019 年普通高等学校招生全国统一考试】双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）A1B2C4D【答案】A【解析】因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长一半，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是1,选 A.5【浙江省金丽衢十二校2019 届高三第一次联考】双曲线的渐近线方程为（）ABCD【答案】C【解析】根据题意，双曲线的标准方程为，其焦点在轴上，且，则其渐近线方程为；故选：

4、6【浙江省金华十校2019 届下学期高考模拟】过点（1,0）且与直线220 xy垂直的直线方程为（）A210 xyB210 xyC220 xyD210 xy【答案】C【解析】由于直线220 xy的斜率为12，故所求直线的斜率等于2，所求直线的方程为02(1)yx，即220 xy，故选：C7【浙江省金华十校2019 届高三上期末】已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为ABCD【答案】B【解析】由题意，双曲线的右焦点为在圆上，双曲线方程为双曲线的渐近线方程为故选：B8【浙江省宁波市2019 届高三上期末】已知椭圆的离心率的取值范围为，直线交椭圆于点为坐标原点且，则椭圆长轴长的取值范围是

5、（）ABCD【答案】C【解析】联立方程得，设，则，由，得，化简得，化简得，即椭圆的长轴长的取值范围为，故选 C9【浙江省金华十校2019 届高考模拟】已知椭圆C：2214xy上的三点A，B，C，斜率为负数的直线BC与y轴交于M，若原点O是ABC的重心，且BMA与CMO的面积之比为32，则直线BC的斜率为（）A24B14C36D33【答案】C【解析】设11(,)B xy，22(,)C xy(0,)Mm 33(,)A xy，直线BC的方程为ykxm.原点O是ABC的重心，BMA与CMO的高之比为3，又BMA与CMO的面积之比为32，则2BMMC.即2BMMC，1220 xx联立2244ykxmxy

6、222418440kxmkxm.122814kmxxk，21224414mx xk，由整理可得：22223614mkmk原点O是ABC的重心，3122814kmxxxk，3211222()()2 14myyyk xxmk.223344xy，22222282()4()41441414kmmkmkk由可得2112k，k036k.故选：C二.填空题10【浙江省金华十校2019 届下学期高考模拟】双曲线2214yx的渐近线方程是_，离心率为_【答案】2yx52【解析】由2204yx得其渐近线方程为2yx，且2a，5c，52e故答案为：2yx，5211【浙江省三校2019 年 5 月份第二次联考】已知抛

7、物线，过点作直线交抛物线于另一点，是线段的中点，过作与轴垂直的直线，交抛物线于点，若点满足，则的最小值是_【答案】【解析】由，可设.因为，是的中点，所以.所以直线的方程为.代入，可得.因为，所以点为的中点，可得.所以.所以当时，取得最小值，即的最小值为.12【浙江省台州市2019 届高三 4 月调研】已知为双曲线的左焦点，过点作直线 与圆相切于点，且与双曲线右支相交于点，若，则双曲线的离心率为 _.【答案】【解析】如下图，取AB有中点 D，连 F2D，因为，所以 FA AD DB，因为 O为 FF2的中点，A为 FD的中点，OA FD，所以 OA F2D，F2DFD，F2D2OA 2a，在直角

8、三角形FAO中，FA2OF2OA2c2a2b2，所以 FA b，又由双曲线的定义，得：BF BF22a，所以 BF23b2a，在 RtBDF2中，解得：。离心率：e13【浙江省温州市2019 届高三 2 月高考适应性测试】已知 F 是椭圆的右焦点，直线交椭圆于A、B两点，若 cosAFB，则椭圆C 的离心率是 _【答案】【解析】设椭圆的左焦点为，由对称性可知，AF=cosAFB，设 AAF=n，在中，由余弦定理可得=+AF，又 m+n=2a，所以-4，即 mn=3,联立直线与椭圆，得 A（）,B（）,则=；又在中，由余弦定理可得=+AFB=，得到-，所以有=-，即=5，=4，所以 e=.故答案

9、为.14【浙江省湖州三校2019 年普通高等学校招生全国统一考试】已知椭圆的两个顶点，过，分别作的垂线交该椭圆于不同于的，两点，若，则椭圆的离心率是 _【答案】【解析】过作的垂线的方程为，与联立方程组解得，过作的垂线的方程为，与联立方程组解得，因为，所以15【浙江省金华十校2019 届高三上期末】已知F为抛物线C：的焦点，点A在抛物线上，点B在抛物线的准线上，且A，B两点都在x轴的上方，若，则直线FA的斜率为 _【答案】【解析】的焦点，准线方程为，如图，设A在x轴上的射影为N，准线与x轴的交点为M，由，可设，可得，即有，则直线AF的斜率为故答案为：16【浙江省金丽衢十二校2019 届高三第一次

10、联考】已知是椭圈上的动点，过作椭圆的切线与 轴、轴分别交于点、，当（为坐标原点）的面积最小时，（、是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率为 _【答案】【解析】如图所示，设切点直线的方程为：联立，化为：由直线与椭圆相切，可得：化为：，化为：由，可得：，解得，由直线的方程为：可得当且仅当时取等号设，化为：，代入化为：，故答案为：三.解答题17【浙江省宁波市2019 届高三上期末】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于.（1）求证：；（2）设，当时，求的面积的最小值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）显然斜率存在，设直线的方程，代入抛物线方程中，得，设，由韦达定理得到，直线的

11、斜率为，易知切线方程，切线的方程，当时，联立求得：，故，.，又当时，显然有.所以.（2）由，得，结合韦达定理，从而，又，由于在区间上为减函数，因此当有最小值.18【浙江省三校2019 年 5 月份第二次联考】对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆外一点，是椭圆的两条切线，则切点所在直线的方程是，利用此结论解答下列问题：已知椭圆和点，过点作椭圆的两条切线，切点是，记点到直线（是坐标原点）的距离是，（）当时，求线段的长；（）求的最大值.【答案】（）；（）【解析】（）因为点，直线的方程式：，即，当时，直线的方程是，此时.（）由（）知直线的方程是，直线的方程是.设，则.又由点在直线的两侧可得与异号，所以.又

12、，所以.设，则，所以，当，即时，有最大值为19【浙江省 2019 届高三高考全真模拟（二)】如图所示，曲线C由部分椭圆1C：22221(0,0)yxabyab和部分抛物线2C：21(0)yxy连接而成，1C与2C的公共点为A，B，其中1C所在椭圆的离心率为22.（）求a，b的值；（）过点 B 的直线l与1C，2C分别交于点P，Q（P，Q，A，B 中任意两点均不重合），若APAQ，求直线l的方程.【答案】（）2,1ab；（）440 xy.【解析】（）因为21(0)yxy，所以0y，即1x，因此(1,0),(1,0)AB，代入椭圆方程中，得1b，由22ca以及2221acb，可得2a，所以2,1a

13、b；（）由（）可求出横轴上方的椭圆方程为：2222(0)yxy，由题意可知：过点B 的直线l存在斜率且不能为零，故设直线方程为1(0)xmym，代入椭圆1C得：222140mymy，故可得点 P 的坐标为：222124,1212mmmm，显然0m，同理将1(0)xmym代入抛物线2C方程中，得2220m yymy，故可求得Q的坐标为：22221,mmmmm，APAQ222222122141101212mmmmmAP AQmmmm，2820mm，解得14m，符合0m，故直线l的方程为：440 xy.20【浙江省台州市2019 届高三 4月调研】已知斜率为的直线经过点，且直线交椭圆于，两个不同的点

14、.（）若，且是的中点，求直线的方程；（）若随着的增大而增大，求实数的取值范围.【答案】（）；（）或.【解析】（）设，直线的方程为，联立椭圆方程，得所以，因为点是中点，所以，代入得，所以，解得所以直线的方程为（）设，直线的方程为，联立椭圆方程得所以，所以记，则记,由随着的增大而增大，所以随着的增大而增大所以函数在上单调递减当时，显然不成立当时，有，解得或21【浙江省温州市2019 届高三 2 月高考适应性测试】如图，A 为椭圆的下顶点，过 A 的直线l交抛物线于 B、C 两点，C是 AB 的中点（I）求证：点C的纵坐标是定值；（II）过点C作与直线l倾斜角互补的直线l 交椭圆于M、N两点，求p

15、的值，使得 BMN的面积最大【答案】（）见证明；（II）见解析【解析】（）易知，不妨设，则，代入抛物线方程得：，得：，为定值.（）点是中点，直线 的斜率，直线的斜率，直线的方程：，即，不妨记，则：代入椭圆方程整理得：，设，则，到的距离，所以.取等号时，得，所以，.22【浙江省湖州三校2019 年普通高等学校招生全国统一考试】已知抛物线：的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，直线交抛物线于另一点，的最小值为4.（）求抛物线的方程；（）记、的面积分别为，求的最小值.【答案】（）（）.【解析】（）由已知及抛物线的几何性质可得，抛物线的方程为.（）设直线：，：，由，同理可得，从而，点到的距离，.又

16、，.当且仅当，即时有最小值.23【浙江省金华十校2019 届高三上期末】已知椭圆C：，过点分别作斜率为，的两条直线，直线交椭圆于A，B两点，直线交椭圆于C，D两点，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N 若，求椭圆方程；若，求面积的最大值【答案】；见解析【解析】由得解得，所以，解得，故椭圆方程为：由得，中点，故，用代得，所以，令，则，所以时，；当时，24【浙江省金丽衢十二校2019 届高三第一次联考】已知椭圆左顶点为，为原点，是直线上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点（1）若，求的面积的最小值；（2）若，三点共线，求实数的值.【答案】（1）1；（2）【解析】（1）由勾股定理、三角形面积

17、可得：，,当且仅当等号成立，即的面积的最小值为1（2）设，则方程为：，则为，同理为，得25【浙江省七彩联盟2019 届高三上期中】抛物线Q：，焦点为F若是抛物线内一点，P是抛物线上任意一点，求的最小值；过F的两条直线，分别与抛物线交于A、B和C、D四个点，记M、N分别是线段AB、CD的中点，若，证明：直线MN过定点，并求出这个定点坐标【答案】(1)4(2)见证明【解析】由抛物线定义知，等于P到准线的距离，的最小值即为点E到准线的距离，等于4证明：由，得：，解得，代入，得，同理，：，变形得：，因为，所以进一步化简得，所以MN恒过定点26.【浙江省金华十校2019 届下学期高考模拟】已知抛物线C：

18、22(0)ypx p的焦点是(1,0)F，直线1l：1yk x，2l：2yk x分别与抛物线C相交于点A和点 B，过A，B 的直线与圆O：224xy相切（1）求直线AB的方程（含1k、2k）；（2）若线段OA与圆O交于点M，线段OB与圆O交于点N，求MONS的取值范围【答案】（1）1212()40k k xkky；（2）4 5(,25【解析】（1）焦点是(1,0)F，可得12p，即2p，设11(,)A xy，22(,)B xy，抛物线方程为24yx，联立1yk x，可得21144(,)Akk，同理可得22244(,)Bkk，若AB斜率存在，可得12121212AByyk kkxxkk，AB的方

19、程为122112144()k kyxkkkk，化为1212()40k k xkky，AB的斜率不存在时，也满足上面的方程，则直线AB的方程为1212()40k k xkky；（2）过A，B 的直线与圆O：224xy相切，可得22121242drk kkk，化简为221212()()4k kkk，即有1220k k，121222221122cos|x xy yOA OBAOBOAOBxyxy1222212121()1k kk kkk，由221212()()4k kkk，可得12121cos52k kAOBk k，22121212()44sin52k kk kMONk k，设1252(5,9tk

20、k，则222121212()444sin452MONk kk kSMONk k2(5)2(5)444ttt218494918()182 494ttttt，当7t=取等号，即121 2,0)k k，所以max()2MONS，又2491618(5)55MONS，即4 55MONS，即有MONS的取值范围为4 5(,25.27.【浙江省浙南名校联盟2019 届高三上期末联考】已知直线与椭圆恰有一个公共点，与圆相交于两点.（I）求与的关系式；（II）点与点关于坐标原点对称.若当时，的面积取到最大值，求椭圆的离心率.【答案】（1）（II）【解析】（I）由，得，则化简整理，得；（）因点与点关于坐标原点对称

21、，故的面积是的面积的两倍.所以当时，的面积取到最大值，此时，从而原点到直线的距离，又，故.再由（I），得，则.又，故，即，从而，即.28.【浙江省2019 届高考模拟卷（三)】如图，直线交椭圆于两点，点是线段的中点，连接并延长交椭圆于点.（1）设直线的斜率为，求的值；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）设，则，将 A、B 点坐标代入椭圆方程，有，-得，即，即；（2）由（1）知，当时，有，则有直线，直线，不妨设，则有，故点到直线的距离，联立方程组，即，则，故面积，令，则，令则或 2（舍去）时，有最大值243，即面积的最大值为.29.【浙江省2019 届高考模拟卷（一)】抛

22、物线上纵坐标为的点到焦点的距离为2（）求的值；（）如图，为抛物线上三点，且线段与轴交点的横坐标依次组成公差为1 的等差数列，若的面积是面积的，求直线的方程【答案】()；().【解析】（1）解：设，则，由抛物线定义，得所以 5 分（2）由（1）知抛物线方程为，设，（均大于零)，与轴交点的横坐标依次为 6 分当轴时，直线的方程为，则，不合题意，舍去7 分与轴不垂直时，设直线的方程为，即，令得 2，同理 2，2，9 分因为依次组成公差为1 的等差数列，所以组成公差为2 的等差数列设点到直线的距离为，点到直线的距离为，因为，所以=2，所以得，即，所以，所以直线的方程为：12 分解法二：（1）同上（2）

23、由（1）知抛物线方程为，由题意，设与轴交点的横坐标依次为设，（均大于零）6 分当轴时，直线的方程为，则，不合题意，舍去7 分与轴不垂直时，设直线的方程为，即，同理直线的方程为，由得则所以，10 分同理，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，因为，所以=2，所以化简得，即，所以直线的方程为：12 分30.【浙江省2019 届高考模拟卷（二)】已知椭圆，过点，且离心率为，过点作互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点.（1）求椭圆方程；（2）求面积的最大值.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）椭圆的离心率为，椭圆的方程为，椭圆过点，解得椭圆的方程为（2）由题意可知，直线的斜率必存在，设直线的方程为，由消去整理得，直线与椭圆交于两点，设，则，即，,，且恒成立，又点到直线的距离为，令，则，由于函数在上单调递减，当且仅当，即时等号成立，面积的最大值为