高中数学第3章导数及其应用3.4导数在实际生活中的应用学业分层测评苏教版.pdf

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1、精品教案可编辑学业分层测评(二十)导数在实际生活中的应用(建议用时：45 分钟)学业达标 一、填空题1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s43t32t2，那么速度为24的时刻是 _ 秒末.【解析】由题意可得t 0，且s 4t2 4t，令s 24，解得t3(t 2 舍去).【答案】32.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y13x381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_ 万件.【解析】令yx281 0，解得x9 或x 9(舍去).f(x)在区间(0,9)内是增函数，在区间(9，)上是减函数，f(x)在x9 处取最大值.【答案

2、】93.已知某矩形广场面积为4 万平方米，则其周长至少_ 米.【解析】设广场的长为x米，则宽为40000 x米，于是其周长为y2x40000 x(x0)，所以y 2 140000 x2，令y 0，解得x200(x 200 舍去)，这时y800.当 0 x200 时，y 0；当x200 时，y 0.所以当x200 时，y取得最小值，故其周长至少为800 米.【答案】8004.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm.要使其体积最大，则高为_.【解析】设圆锥的高为hcm(0 h20)，则圆锥的底面半径r202h2精品教案可编辑400 h2(cm)，VV(h)13r2h13(400 h2)h13(

3、400hh3)，V13(400 3h2)，令V13(400 3h2)0，解得h2033.由题意知V一定有最大值，而函数只有一个极值点，所以此极值点就是最大值点.【答案】2033cm5.要做一个底面为长方形的带盖的盒子，其体积为72 cm3，其底面两邻边边长之比为12，则它的长为 _、宽为 _、高为 _ 时，可使表面积最小.【解析】设底面的长为2x cm，宽为x cm，则高为36x2cm，表面积S 22xx 2x36x2 22x36x24x2216x(x0)，S 8x216x2，由S 0，得x3，x(0,3)时，S 0，x(3，)时，S 0，x3 时，S最小.此时，长为6 cm，宽为 3 cm，

4、高为 4 cm.【答案】6 cm 3 cm 4 cm6.(2016四川高考改编)设直线l1，l2分别是函数f(x)ln x，0 x1图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是_.【导学号：24830092】【解析】精品教案可编辑由图象易知P1，P2位于f(x)图象的两段上，不妨设P1(x1，ln x1)(0 x11)，则函数f(x)的图象在P1处的切线l1的方程为yln x11x1(xx1)，即yxx11ln x1.则函数f(x)的图象在P2处的切线l2的方程为yln x21x2(xx2)，即yxx21ln x2.由l

5、1l2，得1x11x2 1，x1x2 1.由切线方程可求得A(0,1 ln x1)，B(0，ln x21)，由知l1与l2交点的横坐标xP2ln x1 ln x21x11x22x1x2.SPAB12(1 ln x1ln x2 1)2x1x22x1x22x11x1.又x1(0,1)，x11x12，02x11x11，精品教案可编辑即 0SPAB1.【答案】(0,1)7.内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为_.【解析】设圆柱的高为2h，则底面圆的半径为R2h2，则圆柱的体积为V(R2h2)2h 2R2h 2h3，V2R2 6h2.令V 0，解得h33R.h 0，33R时，V单调递增，h33R，

6、R时，V单调递减，故当h33R时，即 2h233R时，圆柱体的体积最大.【答案】233R8.某商场从生产厂家以每件20 元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8300 170pp2.则最大毛利润(毛利润销售收入进货支出)为 _.【解析】设毛利润为L(p)，由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8300 170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11700.令L(p)0，解得p 30 或p 130(舍去).因为在p30 附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0，所以L(30)

7、是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，此时，L(30)23 000.即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元.【答案】23 000元二、解答题9.设有一个容积V一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，则如何设计可使总造价最少？精品教案可编辑【解】设圆柱体的高为h，底面半径为r，设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，则y3mr2m(r2 2rh).由Vr2h，得hVr2，y4mr22mVr(r0)，y 8mr2mVr2.令y 0，得rV413.此时hVr24V413.该函数在(0，)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中总造价的最

8、小值显然存在.当rV413时，y有最小值，即hr41 时，总造价最少.10.(2016南京高二检测)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15 元，销售价是 20 元，月平均销售a件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0 x1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元).(1)写出y与x的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.【解】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1 x)，月平均销售量为a(1x2)件

9、，则月平均利润ya(1x2)20(1 x)15 元，所以y与x的函数关系式为y5a(14xx24x3)(0 x1).(2)由y 5a(42x12x2)0 得x112或x223(舍)，当 0 x12时，y 0；当12x1 时，y 0，所以函数y5a(14xx24x3)(0 x1)在x12处取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为20 11230(元)时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.能力提升 精品教案可编辑1.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为_.【解

10、析】设四角截去的正方形边长为x.铁盒容积V4(24 x)2x，所以V 4(24 x)28(24 x)x4(24 x)(24 3x)，令V 0，得x8，即为极大值点也是最大值点，所以在四角截去的正方形的边长为8 cm.【答案】8 cm2.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0).已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x，x(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为 _.【解析】依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x(0，0.0486).所以银

11、行的收益是y 0.0486kx2kx3(0 x0.0486)，则y0.0972kx3kx2.令y 0，得x 0.0324 或x 0(舍去).当 0 x0.0324 时，y 0；当 0.0324 x 0.0486时，y 0.所以当x0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益.【答案】0.03243.如图 3-4-2，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积最大值是_.图 3-4-2【解析】设CDx，则点C的坐标为x2，0，点B的坐标为x2，1x22.矩形ABCD的面积Sf(x)x 1x22x34x(x(0,

12、2).精品教案可编辑由f(x)34x210，得x123(舍去)，x223，当x0，23时，f(x)0，f(x)是递增的，当x23，2时，f(x)0，f(x)是递减的，当x23时，f(x)取最大值439.【答案】4394.甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失，并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足的函数关系是x2000t，乙方每年产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润W(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影

13、响的经济损失金额y0.002t2，在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？【解】(1)由题意，得W2000tstst103s2106s(t0)，当t103s，即t106S2时，W取得最大值，为106s2，乙方获得最大利润时的年产量为106s2吨.(2)设在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方在索赔中获得的净收入为V元.t106s2，Vst0.002t2106s22 109s4.精品教案可编辑V106s28 109s5，令V 0，得s20，当s20 时，V 0，V在(20，)上单调递减；当S20 时，V 0，V在(0,20)上单调递增.当s 20 时，V取得极大值，也就是最大值，在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是 20 元.