高中数学2_2几种常见的平面变换4旋转变、投影变换、切变变换学业分层测评苏教版选修4-2.pdf

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1、精品教案可编辑【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 2.2 几种常见的平面变换4 旋转变、投影变换、切变变换学业分层测评苏教版选修 4-2 学业达标 1.求出ABC在矩阵12323212作用下得到的图形，并画出示意图，其中A(0，0)，B(1，3)，C(0，2).【解】因为123232120000，123232121313，123232120231，所以ABC在矩阵12323212作用下变换得到的图形为ABC，其中A(0，0)，B(1，3)，C(3，1)，这是一个旋转变换，示意图如图所示.精品教案可编辑2.(1)直线xy3 在矩阵1 10 1作用下变成什么图形？(2)正方形ABCD在

2、矩阵M1 10 1作用下变成什么图形？这里A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1，1).【解】(1)直线xy3 在矩阵1 10 1作用下变成直线x 3.(2)在矩阵M1 10 1对应变换下，AA(2，1)，BB(0，1)，CC(2，1)，DD(0，1)，则变换所成图形为平行四边形ABCD，如图.3.椭圆x29y21 在矩阵1 00 0对应的变换作用下得到什么图形？【解】设(x，y)为椭圆x29y21 上的任意一点，则有x29.因为1 00 0 xyx0，所以矩阵1 00 0使得椭圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为0，所以椭圆x29y21 在矩阵1 00 0对应的变换作用下得到的图形

3、是线段y0(3x 3)，即椭圆长轴.4.在平面直角坐标系xOy内有一点P(2，3)，将该点沿平行于直线x2y0 的方向投影到x轴上，求P(2，3)在此投影变换下得到的点P的坐标.精品教案可编辑【解】设P(2，3)在此投影变换下得到的点为P(x，y)，则由题意知xx2y，y 0，即xyxyx2y0，从而可知此投影变换对应的矩阵为1 20 0，由1 20 02380，可知点P的坐标为(8，0).5.如图 2-2-4所示，已知ABC在变换T的作用下变成ABC，试求变换T对应的矩阵M.【导学号：30650020】图 2-2-4【解】从ABC到ABC对应的是x轴方向上的切变变换，因为A、B在x轴上，原地

4、不变，注意到C(1，1)C(1，1)，由此可知这个变换对应的矩阵为1 20 1.6.如图 2-2-5所示，已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形ABCD，试求变换T对应的矩阵M.图 2-2-5【解】从图可以看出，T是一个切变变换，且T：xyxyxy12x.精品教案可编辑故T对应的变换矩阵为M1 0121.我们可以进行如下验证：1 01212021，1 01212122，1 012121 20，1 01212021.所以矩形ABCD在矩阵1 0121的作用下变成了平行四边形ABCD.7.试分析平面上的变换将平面上的点沿垂直于直线yx的方向投影到直线yx上的矩阵表示.【解】不妨设P(x，y)是平

5、面上的任意一点，则它关于直线yx对称的点P的坐标为P(y，x)，PP的连线一定垂直于直线yx，且交点为Qxy2，xy2，如图所示.根据题意，该变换即为xyxyxy2xy212121212xy.因此，将平面上的点沿垂直于直线yx的方向投影到直线yx上的变换的矩阵表示精品教案可编辑为12121212.能力提升 8.运用旋转矩阵对应变换，求解下列问题：(1)求曲线xy2逆时针方向绕原点旋转90 所成的曲线方程.(2)求圆x2y21 绕原点逆时针旋转8后得到的曲线方程.【导学号：30650021】【解】(1)旋转变换矩阵为：cos 90 sin 90 sin 90 cos 90 0 11 0，设xy2

6、上任意一点(x0，y0)旋转变换后为(x0，y0)，则x0y00 11 0 x0y0y0 x0，所以x0y0y0 x0，故y0(x0)2，即旋转所成的曲线方程为yx2.(2)设x2y21 上的动点P(x，y)经过变换后得新曲线上的点为P(x，y).则有xycos 8sin 8sin 8cos 8xyxcos 8ysin 8xsin 8ycos 8，精品教案可编辑故xxcos 8ysin 8，yxsin 8ycos 8.从而xx cos 8y sin 8，yx sin 8y cos 8.代入x2y2 1 得(x cos 8ysin 8)2(x sin 8y cos 8)2 1，即x2y21.故所求曲线方程为x2y21.