(最新资料)山东省2020高考数学一轮考点扫描专题06函数的奇偶性与周期性【含解析】.pdf

《(最新资料)山东省2020高考数学一轮考点扫描专题06函数的奇偶性与周期性【含解析】.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(最新资料)山东省2020高考数学一轮考点扫描专题06函数的奇偶性与周期性【含解析】.pdf（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、山东省 2020 年高考数学一轮考点扫描专题 06 函数的奇偶性与周期性一、【知识精讲】1函数的奇偶性(1)奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于 y 轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件2函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期(2)

2、最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期3函数的对称性常见的结论(1)函数yf(x)关于xab2对称?f(ax)f(bx)?f(x)f(bax)特殊：函数yf(x)关于xa对称?f(ax)f(ax)?f(x)f(2ax)；函数yf(x)关于x0 对称?f(x)f(x)(即为偶函数)(2)函数yf(x)关于点(a，b)对称?f(ax)f(ax)2b?f(2ax)f(x)2b.特殊：函数yf(x)关于点(a,0)对称?f(ax)f(ax)0?f(2ax)f(x)0；函数yf(x)关于(0,0)对称?f(x)f(x)0(即为奇函数)

3、(3)yf(xa)是偶函数?函数yf(x)关于直线xa对称；yf(xa)是奇函数?函数yf(x)关于点(a,0)对称 知识拓展 1函数奇偶性常用结论(1)若奇函数f(x)在x 0处有定义，则f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(4)yf(xa)是奇函数，则f(xa)f(xa)；yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa)2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T 2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，

4、则T2a(a0)二、【典例精练】考点一判断函数的奇偶性例 1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)3x2x23；(2)f(x)lg(1 x2)|x2|2；(3)f(x)x2x，x0.【解析】(1)由3x20，x230，得x2 3，解得x3，即函数f(x)的定义域为 3，3，从而f(x)3x2x230.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由1x20，|x2|2，得定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称.x20，|x2|2x，f(x)lg（1x2）x.又f(x)lg1(x)2xlg（1x2）xf(x)，函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定

5、义域为(，0)(0，)，关于原点对称.当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0 时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数.【解法小结】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.考点二函数的周期性及其应用例 2.(1)(2018 全国卷)已知f(x)是定

6、义域为(，)的奇函数，满足f(1 x)f(1x).若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A.50 B.0 C.2 D.50(2)已知f(x)是 R 上最小正周期为2 的周期函数，且当0 x2 时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间 0，6 上与x轴的交点个数为_.【答案】(1)C(2)7【解析】(1)法一f(x)在 R上是奇函数，且f(1 x)f(1 x).f(x 1)f(x1)，即f(x 2)f(x).因此f(x4)f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1x)f(1x)，f(1)2，故令x1，得f(0)f(2)0 令x2，得f(3)f(1)f(1)2，令

7、x3，得f(4)f(2)f(2)0，故f(1)f(2)f(3)f(4)2 0200，所以f(1)f(2)f(3)f(50)120f(1)f(2)2.法二取一个符合题意的函数f(x)2sinx2，则结合该函数的图象易知数列f(n)(nN*)是以4 为周期的周期数列.故f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)122 0(2)0 2 02.(2)因为当 0 x0 B 减函数且f(x)0 D 增函数且f(x)0，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)在区间12，0 上也单调递增，且f(x)0.由f x32f(x)知，函数的周期为32，所以在区间 1，32上，

8、函数f(x)单调递增且f(x)0.【解法小结】周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【思维升华】1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ

9、且k0)也是函数的周期”的应用.【易错注意点】1.f(0)0 既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.三、【名校新题】1.(2019 衡水模拟)下列函数既是偶函数又在区间(0，)上单调递增的是()A.yx3B.yx14C.y|x|D.y|tan x|【答案】C【解析】对于 A，yx3为奇函数，不符合题意；对于 B，yx14是非奇非偶函数，不符合题意；对于 D，y|tan x|是偶函数，但在区间(0，)上不单调递增.

10、2(2019南昌联考)函数f(x)9x 13x的图象()A关于x轴对称 B 关于y轴对称C关于坐标原点对称 D 关于直线yx对称【答案】B【解析】因为f(x)9x13x3x3x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称3(2019河北“五个一”名校联盟二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)log3（x1），x 0，g（x），x0，则g(8)()A.2 B.3 C.2 D.3【答案】A【解析】法一当x0，且f(x)为奇函数，则f(x)log3(1 x)，所以f(x)log3(1 x).因此g(x)log3(1x)，x0，则x的取值范围为()A.x|0 x2 B.x|

11、x2 C.x|x3 D.x|x1【答案】A【解析】由题意知函数f(x)在(，0)上单调递增，且f(1)0，不等式f(x1)0?f(x 1)f(1)或f(x1)f(1).x11 或 0 x11，解之得x2 或 0 x1.6(2019益阳、湘潭调研)定义在 R上的函数f(x)，满足f(x 5)f(x)，当x(3,0 时，f(x)x 1，当x(0,2时，f(x)log2x，则f(1)f(2)f(3)f(2 019)的值等于()A403 B 405 C806 D 809【答案】B【解析】定义在 R上的函数f(x)，满足f(x5)f(x)，即函数f(x)的周期为 5.又当x(0,2时，f(x)log2x

12、，所以f(1)log210，f(2)log221.当x(3,0 时，f(x)x1，所以f(3)f(2)1，f(4)f(1)0，f(5)f(0)1.故f(1)f(2)f(3)f(2 019)403f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(2 016)f(2 017)f(2 018)f(2 019)4031f(1)f(2)f(3)f(4)40301 10405.7(2018石家庄一模)设f(x)是定义在 2b,3b 上的偶函数，且在 2b,0 上为增函数，则f(x1)f(3)的解集为()A 3,3 B 2,4 C 1,5 D 0,6【答案】B【解析】因为f(x)是定义在 2b,3b 上的偶函数，

13、所以有 2b3b0，解得b3，由函数f(x)在 6,0 上为增函数，得f(x)在(0,6上为减函数，故f(x1)f(3)?f(|x1|)f(3)?|x1|3，故 2x4.8(2019长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，)上单调递增的是()AyexexByln(|x|1)Cysin x|x|D yx1x【答案】D【解析】选项A，B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，yx1x是奇函数，且yx和y1x在(0，)上均为增函数，故yx1x在(0，)上为增函数，所以选项D正确9(2019合肥调研)定义在 R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x

14、)，且在 0,1上是减函数，则有()Af32f14f14Bf14f14f32Cf32f14f14Df14f32f14【答案】C【解析】因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x 2)f(x)，所以函数的周期为4，作出f(x)的草图，如图，由图可知f32f140，0，x0，x2mx，x0是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间 1，a2 上单调递增，求实数a的取值范围【解析】：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x1，a21，所以 1a3，故实数a的取值范围是(1,3 17.设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(

15、x)，当 0 x1 时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4 时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.【解析】(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2 f(x2)f(x)，所以f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数且f(x2)f(x)，得f(x1)2 f(x1)f(x1)，即f(1 x)f(1 x).故知函数yf(x)的图象关于直线x1 对称.又当 0 x1 时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示.当4x4 时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4S OAB41221 4.