【最新】不等式推理与证明知识点.pdf

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1、-1-/10 课题名称不等式教学目标同步教学知识内容1、不等式的性质2、一元二次不等式及其解法3、二元一次不等式与平面区域4、线性规划问题5、基本不等式定理及重要的不等式6、各类型不等式的解法个性化学习问题解决重视对基本定义、概念的理解，掌握基本的运算公式，掌握中等难度的常规题目的解题思路与方法并进行归纳总结。教学重点1、线性规划问题的求解2、基本不等式的灵活用3、掌握各类型不等式的解法4、不等式的证明教学难点线性规划问题的求解；灵活运用不等式的性质、基本不等定理及重要不等式证明不等式教务部主办审批一、基本知识点讲解1、实数a、b大小的比较：0abab；0abab；0abab比较两个数的大小可

2、以用相减法、相除法、平方法、开方法、倒数法 等。-2-/10 2、不等式的性质：对称性 abba传递性,ab bcac加法单调性 abacbc乘法单调性,0ab cacbc；,0ab cacbc同向不等式相加,ab cdacbd异向不等式相减dbcadcba,同向不等式相乘0,0abcdacbd异向不等式相除dbcacdba0,0倒数关系babababa110;110平方法则)1,(0nNnbabann开方法则0,1nnabab nn3、一元二次不等式及其解法：（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。（2）二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系判

3、别式24bac000二次函数2yaxbxc0a的图象一元二次方程20axbxc0a的根有两个相异实数根1,22bxa12xx有两个相等实数根122bxxa没有实数根一元二次不等式的解集20axbxc0a12x xxxx或2bx xaR20axbxc0a12x xxx-3-/10 4、线性规划问题：（1）二元一次不等式1 定义：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式2 二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组3 二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和 y 的取值构成有序数对,x y，所有这样的有序数对,x y 构成的集合（2）在平面直角坐标系中，已知直线0 xy

4、C，坐标平面内的点00,xy1 若0，000 xyC，则点00,xy在直线0 xyC的上方2 若0，000 xyC，则点00,xy在直线0 xyC的下方（3）在平面直角坐标系中，已知直线0 xyC1 若0，则0 xyC表 示 直 线0 xyC上 方 的 区 域；0 xyC表示直线0 xyC下方的区域2 若0，则0 xyC表 示 直 线0 xyC下 方 的 区 域；0 xyC表示直线0 xyC上方的区域（4）线性规划相关概念线性约束条件：由x，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式线性目标函数：目标函数为x，y 的一

5、次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解,x y 可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解（5）解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。5、基本不等式-4-/10（1）设a、b是两个正数，则2ab称为正数a、b 的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数（2）均值不等式：若0a，0b，则：2abab（当且仅当 a=b时取等号）注意：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17

6、字方针（3）基本不等式定理的形式1 整式形式：222,abab a bR；22,2ababa bR；20,02ababab；222,22ababa bR2 根式形式：2abab（0a，0b）a+b)a222b（3 分式形式：ab+ba2（a、b 同号）4 倒数形式：a0a+a12；ab 解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则：0)()(0)()(xgxfxgxf；0)(0)()(0)()(xgxgxfxgxf（3）无理不等式：转化为有理不等式求解)()(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf2)()(0)(0)()()(x

7、gxfxgxfxgxf或0)(0)(xgxf2)()(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf（4）.指数不等式：转化为代数不等式)10()()()1()()()()(axgxfaxgxfaaxgxf)0,0(lglg)()(babaxfbaxf（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log()log()(1)()0;log()log()(01)()0()()()()aaaaf xf xf xg x ag xf xg xag xf xg xf xg x（6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值；应用数形思想；应用化归思想等价转化-6-/10（7）含参不等式解法求解的通法是“定义域为

8、前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注:1,解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。2,按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集二、基础训练 A 1若 b0，则 ab的值()A大于 0B小于 0C等于 0 D不能确定2已知 Mx2y24x2y，N5，若 x2 或 y1，则()AMNBM0 的解集是()A(3,2)B(2，)C(，3)(2，)D(，2)(3，)4函数 yx x1 x的定义域为()Ax|x0B x|x1C x|x10D x|0 x1 5不论 x为何值，二次三项式ax2bxc 恒为正值的条件是()Aa0，b24ac0Ba0，b24ac0Ca0

9、，b24ac0 Da0，b24ac1 的解集是 x|x 1B不等式 44xx20 的解集是 RC不等式 44xx20 的解集是空集 D不等式 x22axa540 的解集是 R 7若关于 x 的不等式 2x1a(x2)的解集是 R，则实数 a 的取值范围是()Aa2 Ba2Ca10B3x02y08D3x02y08 9不等式组xy1 xy1 00 x2，表示的平面区域的面积是()A2 B4C6 D8 10在直角坐标系内，满足不等式x2y20 的点(x，y)的集合(用阴影表示)是()-7-/10 11一个两位数个位数字为a，十位数字为 b，且这个两位数大于 50，可用不等关系表示为_12已知 x1，

10、则 x22 与 3x 的大小关系为 _13设集合 Ax|(x1)20 的解集是 _15原点 O(0,0)与点集 A(x，y)|x2y10，yx2,2xy50所表示的平面区域的位置关系是 _，点 M(1,1)与集合 A 的位置关系是 _三、基础训练 B 1若02522xx，则221442xxx等于（）A54xB3C3Dx452下列各对不等式中同解的是（）A72x与xxx72B0)1(2x与01xC13x与13xD33)1(xx与xx1113若122x()142x，则函数2xy的值域是（）A1,2)8B1,28C1(,8D2,)4设11ab,则下列不等式中恒成立的是()Aba11Bba11C2ab

11、D22ab5如果实数,x y满足221xy,则(1)(1)xyxy有()A最小值21和最大值 1 B最大值 1 和最小值43C最小值43而无最大值 D最大值 1 而无最小值6二次方程22(1)20 xaxa,有一个根比 1大,另一个根比1小,则a的取值范围是()A31aB20aC10aD02a7 若方程2222(1)34420 xmxmmnn有实根，则实数m_；且实数n_。8一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为_。-8-/10 9设函数23()lg()4f xxx，则()f x的单调递减区间是。10当x_时，函数)2(22xxy有最_值，且最值是 _。11若

12、22*1()1,()1,()()2f nnn g nnnnnNn,用不等号从小到大连结起来为 _。12解不等式（1）2(23)log(3)0 xx（2）2232142xx13不等式049)1(220822mxmmxxx的解集为 R,求实数m的取值范围。14（1）求yxz2的最大值，使式中的x、y 满足约束条件.1,1,yyxxy（2）求yxz2的最大值，使式中的x、y 满足约束条件2212516xy15已知2a，求证：1loglog1aaaa四、综合训练1一元二次不等式220axbx的解集是1 1(,)2 3，则 ab 的值是（）。A.10B.10C.14D.142设集合等于则BAxxBxxA

13、,31|,21|（）A2131，B，21-9-/10 C，3131D，21313关于x的不等式22155(2)(2)22xxkkkk的解集是()A12xB12xC2xD2x4下列各函数中，最小值为2的是()A1yxxB1sinsinyxx，(0,)2xC2232xyxD21yxx5如果221xy,则34xy的最大值是()A 3B51C4 D 56已知函数2(0)yaxbxc a的图象经过点(1,3)和(1,1)两点,若 01c,则a的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C 2,3 D 1,37设实数,x y满足2210 xxy，则 xy的取值范围是 _。8若|3,Ax xababa bR，全集 IR，则IC A_。9若121logaxa的解集是1 1,4 2,则a的值为_。10当02x时，函数21cos28sin()sin2xxf xx的最小值是 _。11设,x yR且191xy,则 xy 的最小值为 _.12不等式组222232320 xxxxxx的解集为 _。13已知集合23(1)23211331|2,|log(9)log(62)2xxxAxBxxx,又2|0ABx xaxb,求 ab 等于多少？-10-/10 14函数4522xxy的最小值为多少？15已知函数224 31mxxnyx的最大值为 7，最小值为1，求此函数式。16设,10a解不等式：2log220 xxaaa