【最新】三角函数与解三角形中的高考热点问题.pdf

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1、三角函数与解三角形中的高考热点问题1/10 热点探究课(二)三角函数与解三角形中的高考热点问题命题解读 从近五年浙江卷高考试题来看，解答题第 1 题(全国卷 T17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图象与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用热点 1三角函数的图象与性质(答题模板)要进行五点法作图、图象变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其

2、化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换(本小题满分14 分)已知函数f(x)2 3sinx24 cosx24sin(x)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若将 f(x)的图象向右平移6个单位长度，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间 0，上的最大值和最小值.【导学号：51062131】思路点拨(1)先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f(x)化为正弦型函数，然后求其周期(2)先利用平移变换求出g(x)的解析式，再求其在给定区间上的最值规范解答(1)f(x)23sinx24 cosx24sin(

3、x)3 分 3cos xsin x2sin x3，5 分三角函数与解三角形中的高考热点问题2/10 于是 T212.6 分(2)由已知得 g(x)f x62sin x6.8 分 x0，x66，76，sin x6 12，1，10 分 g(x)2sin x61,2.13 分故函数 g(x)在区间 0，上的最大值为 2，最小值为 1.14 分答题模板 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤为：第一步(化简)：将 f(x)化为 asin xbcos x 的形式第二步(用辅助角公式)：构造f(x)a2b2sin xaa2b2cos xba2b2.第三步(求性质)：利用 f(x)a2b2sin(x)研

4、究三角函数的性质第四步(反思)：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范温馨提示 1.在第(1)问的解法中，使用辅助角公式asin bcos a2b2sin()其中tan ba，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注.2求 g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解对点训练 1(2017 石家庄模拟)已知函数 f(x)Asin x Bcos x(A，B，是常数，0)的最小正周期为2，并且当 x13时，f(x)max2.(1)求 f(x)的解析式；(2)在闭区间214，234上是否存在 f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说

5、明理由三角函数与解三角形中的高考热点问题3/10 解(1)因为 f(x)A2B2sin(x )，由它的最小正周期为2，知22，.2 分又因为当 x13时，f(x)max2，知13 2k 2(kZ)，2k 6(kZ)，4 分所以 f(x)2sin x2k 62sin x6(kZ)故 f(x)的解析式为 f(x)2sin x6.6 分(2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令 x6k 2(kZ)，解得 xk13(kZ).9 分由214k13234，解得5912k6512，11分又 kZ，知 k5，13 分由此可知在闭区间214，234上存在 f(x)的对

6、称轴，其方程为x163.14 分热点 2解三角形从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分 BAC，ABD 面积是ADC 面积的 2倍(1)求sin Bsin C；(2)若 AD1，DC22，求 BD 和 AC 的长解(1)S ABD12AB ADsin BAD，三角函数与解三角形中的高考热点问题4/10 S ADC12AC ADsin CAD.2 分因为 S ABD2S ADC，BADCAD，所以 AB2AC.由正弦定理，得sin Bsin

7、 CACAB12.6 分(2)因为 S ABDS ADCBDDC，所以 BD2.8 分在 ABD 和 ADC 中，由余弦定理，知AB2AD2BD22AD BDcos ADB，AC2AD2DC22AD DCcos ADC.12 分故 AB22AC23AD2BD22DC26.由(1)，知 AB2AC，所以 AC1.14 分规律方法 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息 一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显

8、时，则两个定理都有可能用到对点训练 2在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 asin 2B 3bsin A.(1)求 B；(2)若 cos A13，求 sin C 的值解(1)在 ABC 中，由asin Absin B，可得 asin Bbsin A2 分又由 asin 2B3bsin A，得2asin Bcos B3bsin A3asin B，三角函数与解三角形中的高考热点问题5/10 所以 cos B32，得 B6.6 分(2)由 cos A13，可得 sin A2 23，则sin Csin (AB)sin(AB)sin A632sin A12cos A2 61

9、6.14 分热点 3三角恒等变换与解三角形的综合问题以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化(2017 浙江高考冲刺卷(二)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 sin Acos A105，cos B2 55.(1)求角 C；(2)若ABC 的面积为 2，求 a 的值.【导学号：51062132】解(1)sin Acos A105，12sin Acos A25，2 分 2sin Acos A35，A 为锐角 sin Acos A12s

10、in Acos A2 105.3 分由sin Acos A105，sin Acos A2 105，得sin A1010，cos A3 1010.cos B2 55，B 为锐角，sin B1cos2B55.三角函数与解三角形中的高考热点问题6/10 则 cos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin B22，而 0C，C34.8 分(2)由正弦定理得basin Bsin A2，则 b2a.由(1)得 sin C22，ABC 的面积 S12absin C12a2a2212a22，a2.14 分规律方法 1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当

11、选择正、余弦定理2解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化对点训练 3在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知 tan 4A 2.(1)求sin 2Asin 2Acos2A的值；(2)若 B4，a3，求 ABC 的面积解(1)由 tan4A 2，得 tan A13，所以sin 2Asin 2Acos2A2tan A2tan A125.5 分(2)由 tan A13，A(0，)，得sin A1010，cos A3 1010.8 分由 a3，B4及正弦定理asin Absin

12、 B，得 b3 5.11分三角函数与解三角形中的高考热点问题7/10 由 sin Csin(AB)sinA4，得 sin C2 55.设ABC的面积为 S，则 S12absin C9.14分热点探究训练(二)三角函数与解三角形中的高考热点问题1在 ABC中，AC6，cos B45，C4.(1)求 AB 的长；(2)求 cos A6的值解(1)因为 cos B45，0B，所以 sin B1cos2B145235.2 分由正弦定理知ACsin BABsin C，所以 ABAC sin Csin B622355 2.6 分(2)在 ABC 中，ABC，所以 A(BC)，于是 cos Acos(BC)

13、cosB4cos Bcos 4sin Bsin 4.9 分又 cos B45，sin B35，故 cos A45223522210.12 分因为 0A，所以 sin A1cos2A7 210.三角函数与解三角形中的高考热点问题8/10 因此，cos A6cos Acos 6sin Asin 6210327 210127 2620.14 分2设 f(x)2 3sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移3个单位，得到函数yg(x)的图象，求 g6的值.【导学号

14、：51062133】解(1)f(x)23sin(x)sin x(sin xcos x)22 3sin2x(12sin xcos x)3(1cos 2x)sin 2x1 sin 2x3cos 2 x31 2sin 2x331，4 分由 2k 22x32k 2(kZ)，得 k 12xk 512(kZ)，所以f(x)的单调递增区间是k 12，k 512(kZ)或 k 12，k 512kZ.7 分(2)由(1)知 f(x)2sin 2x331，9 分把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，得到 y2sin x331 的图象，再把得到的图象向左平移3个单位，三角函数与解三角

15、形中的高考热点问题9/10 得到 y2sin x31 的图象，即 g(x)2sin x31，所以 g62sin 6313.14 分3设 f(x)sin xcos xcos2x4.(1)求 f(x)的单调区间；(2)在锐角 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 fA20，a1，求ABC 面积的最大值解(1)由题意知 f(x)sin 2x21cos 2x22sin 2x21sin 2x2sin 2x12.2 分由22k 2x22k，kZ，可得4k x4k，kZ；3 分由22k 2x322k，kZ，可得4k x34k，kZ.6 分所以 f(x)的单调递增区间是4k，4k(kZ)，

16、7 分单调递减区间是4k，34k，(kZ)(2)由 fA2sin A120，得 sin A12，由题意知 A 为锐角，所以 cos A32.9 分由余弦定理 a2b2c22bccos A，可得 13bcb2c22bc，12 分三角函数与解三角形中的高考热点问题10/10 即 bc23，当且仅当 bc 时等号成立因此12bcsin A234.所以 ABC 面积的最大值为234.14 分4(2017 浙江名校交流卷)在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知2abccos ACcos C.(1)求角 C 的大小；(2)若 c3，求使 ABC 周长最大时 a，b 的值解(1)2abccos ACcos C，2sin Asin Bsin Ccos ACcos C，2sin Acos Csin Bcos Csin Ccos B0，2sin Acos Csin A0，4 分又 sin A0，cos C12，C23.6 分(2)3sin 23asin Absin3A，a2sin A，b2sin3A，10分 ABC 的周长32sin A2sin3A3sin A3cos A32sin A3，当 A6时，ABC 的周长最大，此时ab1.14分