数学-高一数学竞赛抽屉原理专题培训.pdf

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1、打印版 打印版 抽屉原理 把八个苹果任意地放进七个抽屉里，不论怎样放，至少有一个抽屉放有两个或两个以上的苹果。抽屉原则有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要的原理。把它推广到一般情形有以下几种表现形式。形式一：证明：设把 n1 个元素分为 n 个集合 A1，A2，An，用 a1，a2，an表示这 n 个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个 ai大于或等于 2（用反证法）假设结论不成立，即对每一个 ai都有 ai2，则因为 ai是整数，应有 ai1，于是有：a1a2an111nn1 这与题设矛

2、盾。所以，至少有一个 ai2，即必有一个集合中含有两个或两个以上的元素。形式二：设把 nm1 个元素分为 n 个集合 A1，A2，An，用 a1，a2，an表示这 n 个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个 ai大于或等于 m1。（用反证法）假设结论不成立，即对每一个 ai都有 aim1，则因为 ai是整数，应有aim，于是有：a1a2anmmmnmnm1 n 个 m 这与题设相矛盾。所以，至少有存在一个 aim1 高斯函数：对任意的实数 x,x表示“不大于 x 的最大整数”.例如：3.53，2.92，2.53，77，一般地，我们有：xxx1 形式三：证明：设把 n 个元素分为 k 个集

3、合 A1，A2，Ak，用 a1，a2，ak表示这 k 个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个 ai大于或等于n/k。（用反证法）假设结论不成立，即对每一个 ai都有 ain/k，于是有：a1a2akn/k+n/k+n/k kn/kk(n/k)n k 个n/k a1a2akn 这与题设相矛盾。所以，必有一个集合中元素个数大于或等于n/k 形式四：证明：设把 q1q2qnn1 个元素分为 n 个集合 A1，A2，An，用 a1，a2，an表示这 n 个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个 i，使得 ai大于或等于 qi。打印版 打印版（用反证法）假设结论不成立，即对每一个 ai都有 a

4、iqi，因为 ai为整数，应有 aiqi1，于是有：a1a2anq1q2qnnq1q2qnn1 这与题设矛盾。所以，假设不成立，故必有一个 i,在第 i 个集合中元素个数 aiqi 形式五：证明：（用反证法）将无穷多个元素分为有限个集合，假设这有限个集合中的元素的个数都是有限个，则有限个有限数相加，所得的数必是有限数，这就与题设产生矛盾，所以，假设不成立，故必有一个集合含有无穷多个元素。例题：400 人中至少有两个人的生日相同.分析：生日从 1 月 1 日排到 12 月 31 日，共有 366 个不相同的生日，我们把 366 个不同的生日看作 366 个抽屉，400 人视为 400 个苹果，由

5、表现形式 1 可知，至少有两人在同一个抽屉里，所以这 400 人中有两人的生日相同.解：将一年中的 366 天视为 366 个抽屉，400 个人看作 400 个苹果，由抽屉原理的表现形式 1 可以得知：至少有两人的生日相同.例题：边长为 1 的正方形中，任意放入 9 个点，求证这 9 个点中任取 3 个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过 1/8.解：将边长为 1 的正方形等分成边长为21的四个小正方形，视这四个正方形为抽屉，9 个点任意放入这四个正方形中，据形式 2，必有三点落入同一个正方形内.现特别取出这个正方形来加以讨论.把落在这个正方形中的三点记为 D、E、F.通过这三点中的任意一

6、点（如 E）作平行线，如图可知：SDEFSDEGSEFG 2121h)h21(21214h814h81 E D C F G 打印版 打印版 例题：任取 5 个整数，必然能够从中选出三个，使它们的和能够被 3 整除.证明：任意给一个整数，它被 3 除，余数可能为 0，1，2，我们把被 3 除余数为 0，1，2 的整数各归入类 r，r1，r2.至少有一类包含所给个数中的至少两个.因此可能出现两种情况：.某一类至少包含三个数；.某两类各含两个数，第三类包含一个数.若是第一种情况，就在至少包含三个数的那一类中任取三数，其和一定能被 3 整除；若是第二种情况，在三类中各取一个数，其和也能被 3 整除.综

7、上所述，原命题正确.例题：九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为 23 的梯形，证明：这九条直线中至少有三条经过同一点.证明：如图，设 PQ 是一条这样的直线，作这两个梯形的中位线 MN ABCDPQMNEHFIKJ 这两个梯形的高相等 它们的面积之比等于中位线长的比，即|MH|NH|点 H 有确定的位置（它在正方形一对对边中点的连线上，并且|MH|NH|）.由几何上的对称性，这种点共有四个，即，图中的 H、J、I、K.已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须经过 H、J、I、K 这四点中的一点.把 H、J、I、K 看成四个抽屉，九条直线当成个苹果，即可得出必定有条分割线经过同一点.例

8、题：某校派出学生 204 人上山植树 15301 株，其中最少一人植树 50 株，最多一人打印版 打印版 植树 100 株，则至少有 5 人植树的株数相同.证明：按植树的多少，从 50 到 100 株可以构造 51 个抽屉，则个问题就转化为至少有 5人植树的株数在同一个抽屉里.(用反证法)假设无人或人以上植树的株数在同一个抽屉里，那只有人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参加植树的人数为 204 人，所以，每个抽屉最多有 4 人，故植树的总株数最多有：4(5051100)4251)10050(15300 15301 得出矛盾.因此，至少有人植树的株数相同.练习：1边长为 1 的等边三角形内有 5 个点，那么这 5 个点中一定有距离小于 0.5 的两点.2边长为 1 的等边三角形内，若有 n21 个点，则至少存在 2 点距离小于n1.3求证：任意四个整数中，至少有两个整数的差能够被 3 整除.4某校高一某班有 50 名新生，试说明其中一定有二人的熟人一样多.5某个年级有 202 人参加考试，满分为 100 分，且得分都为整数，总得分为 10101 分，则至少有 3 人得分相同.