数值分析作业答案part.pdf

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1、6.4.设5010010abbaA;0detA;用a;b表示解线性方程组fAx 的雅可比迭代与高斯塞德尔迭代收敛的充分必要条件.解 雅可比迭代法的迭代矩阵 050100100100000001010101abbaabbaBJ;1003|2abBIJ;10|3)(abBJ.雅可比迭代法收敛的充分必要条件是3100|ab.高斯塞德尔迭代法的迭代矩阵 0500010100001000000000100101021babababaabBS;1003|2abBIS;100|3)(abBS.高斯塞德尔迭代法收敛的充分必要条件是3100|ab.6.5.对线性方程组13212321xx;若用迭代法)()()(

2、)1(bAxxxkkk;,1,0k 求解;问在什么范围内取值可使迭代收敛;取什么值可使迭代收敛更快 解 迭代公式可以写成 bxAIxkk)()1()(;迭代矩阵为AIB.由)4)(1(452123|2AI;故矩阵A的特征值为 1 和 4;所以矩阵B的特征值为1;41;因而 41,1max)(B.这样 021141111)(B;所以当021时迭代收敛.当52时;达到最小值53;故52时收敛最快.6.6.用雅可比迭代与高斯塞德尔迭代解线性方程组bAx;证明若取212120203A;则两种方法均收敛;试比较哪种方法收敛快 解 雅可比迭代法的迭代矩阵 021121003200)(1ULDBJ;1121

3、1)(JB;故雅可比迭代法收敛.高斯塞德尔迭代法的迭代矩阵 12110021003200000100200212020003)(11ULDBS;11211)(SB;故高斯塞德尔迭代法收敛.因)(12111211)(JSBB;故高斯塞德尔迭代法收敛快.6.9.设有线性方程组bAx;其中A为对称正定矩阵;迭代公式)()()()1(kkkAxbxx;,2,1,0k;试证明当20时上述迭代法收敛其中)(0A.证明 将迭代公式写成 bxAIxkk)()1()(;,2,1,0k;迭代矩阵为AIB;其特征值)(1A.由1;即1)(1A;得)(20A;故当20时;有)(20A;即1;这时1)(B;故迭代收敛.

4、7.1.用二分法求方程012 xx的正根;要求误差小于 0.05.解 设1)(2xxxf;因为01)0(f;01)2(f;所以2,0为)(xf的有根区间.又12)(xxf;故当210 x时;)(xf单调递减;当21x时;)(xf单调递增.而4521f;1)0(f;由单调性知)(xf的唯一正根)2,5.1(*x.根据二分法的误差估计式;要求误差小于05.0;只需05.0211k;解得322.51k;故至少应二分 6 次.具体计算结果见下表.)(kxf的符号 0 1 2 1.5-1 1.5 2 1.75+2 1.5 1.75 1.625+3 1.5 1.625 1.5625-4 1.5625 1.625 1.59375-5 1.59375 1.625 1.609375-因此609375.15*xx.